層層遞進 橫縱擴展

呂蓮花

摘要：本文涵蓋了初中三年多個教學中的知識點，多種初中數學學習的數學方法和思想。在初三復習時是一個舉一反三的例題，也是教師對初中教學研究的一個參考。

關鍵詞：初中數學；教學研究

一、生活中小數學：

如圖①在一條河流的兩側，有兩個村莊，現在需要在河邊修建一送水站P，使得送水站到兩個村莊的距離和最短，求P點的位置？（河流寬度忽略不計）

解決辦法：如圖②連接AB兩點，交l與點P，P為所求。

此題是在學習過滬科版第4章《直線與角》中4.2線段、射線、直線后，直接利用了 “兩點之間、線段最短”這個知識點應用到圖形中，即可得出作法。七年級學生在剛接觸線段的相關定理時也可以很輕松的完成此題。

等到八年級上冊學習過第15章《軸對稱圖形和等腰三角形》中的15.1軸對稱圖形后，可將題目變形為：

二、與函數的聯系應用：

滬科版八年級上冊還學習了第11章《平面直角坐標系》，第12章《一次函數》，這兩章是學生第一次接觸、學習函數，也是對數形結合能力的重要考察。將上面的問題直接應用到平面直角坐標系中，將圖形和函數結合，即可變形為數形結合題：

3、如圖⑤，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），B（8，8），你能在x軸上找到一點P，使得PA+PB的值最小嗎？求出點P的坐標。

此時，可以將x軸看做是河流l，直接應用第2題的結論，就可以通過作圖的方式找出點P：如圖⑥，點A（0，2）關于x軸的對稱點是A（0，-2），連接AB，與x軸的交點就是點P。

在第2題的情境下，是無法得出有關點P的代數內容，但是將情境改在平面直角坐標系中，AB也就可以看做是一個一次函數，只要求解出一次函數解析式，再求解出一次函數與x軸的交點既可以求出點P的坐標。解題過程如下：

解：設 ，經過A（0，-2），B（8，8）得：

解得：

∴

當 時， ，解得：

∴P

此題除了考察了“兩點之間、線段最短”、“軸對稱性質”，還使用了“待定系數法求一次函數解析式”、“一次函數性質”等知識點，使用了轉化、數形結合等思想綜合解決問題。

三、與根與系數的關系的聯系應用：

圓與直線的交點可以分為三種情況：兩個交點；一個交點；沒有交點，正如代數知識中的一元二次方程，可以有：兩個不相等的根；兩個相等的根；沒有實數根，所以上題可以繼續變形為：

7、如圖⑨，在線段CD上找一點P，使得點△PAC和△PBD相似，請問當l，m，n滿足什么條件時，這樣的點有1個？有2個？有3個？（ ）

首先還是需要分類討論：△PAC和△PBD相似可以理解為：（1）△PAC∽△PBD；（2）△PAC∽△BPD；

如圖?，設CP= ，則PD= ，∵∠ACP=∠PDB=90°，

（1）當 時，△PAC∽△PBD

即： ，

解得： （ ）

（2）當 時，△PAC∽△BPD

即： ，化簡得：

∴當 時，有兩個不相等的解；

當 時，有兩個相等的解；

當 時，無實數解；

綜合上面兩種情況，可得：

當 時，有3個點，使得點△PAC和△PBD相似；

當 時，有2個點，使得點△PAC和△PBD相似；

當 時，有1個點，使得點△PAC和△PBD相似；

此題也是特殊到一般的過程，首先還是根據相似三角形的知識分類討論。第（1）種分類利用了 “相似三角形的判定—兩組對應邊的比相等，且夾角相等的兩個三角形相似”、“一元一次方程的解法”等知識點，第（2）種分類還使用了“一元二次方程中根與系數的關系”等知識點解決問題。此題的主要解法與第6題不同，主要是從代數內容入手，幾何知識使用了相似三角形的判定來輔助解決問題，與第6題的解法對比強烈。

上述的第7題，從一個圖形出發，橫向可以擴展為與函數相關的求解題型，縱向可以擴展為相似形相關的知識，在證明相似的時候又可以橫向發展以代數方法為主，和以幾何方法為主的兩種不同求解辦法。過程中涵蓋了初中三年多個教學中的知識點，多種初中數學學習的數學方法和思想。在初三復習時是一個舉一反三的例題，也是教師對初中教學研究的一個參考。