大尺度有效引力的E(2)規范理論模型?

魏文葉 申佳音 吳奕暐 楊禮想 薛迅? 阮自強

1)(華東師范大學物理系,上海 200241)

2)(中央研究院物理研究所,臺北 11529)

大尺度有效引力的E(2)規范理論模型?

魏文葉1)申佳音1)吳奕暐1)楊禮想1)薛迅1)?阮自強2)

1)(華東師范大學物理系,上海 200241)

2)(中央研究院物理研究所,臺北 11529)

(2017年2月4日收到;2017年4月6日收到修改稿)

微波背景輻射的低l極矩的各向異性可能不能用微波背景輻射靜止系boost到本動參考系來解釋,我們推斷boost對稱性在宇宙學尺度上缺失,又由于單純結合廣義相對論和物質結構的標準模型不能解釋星系以上尺度的引力現象,需要引入暗物質和暗能量.而迄今為止所有尋找暗物質粒子的實驗給出的都是否定結果,暗能量的本質更是一個謎.因此,我們假設洛倫茲對稱性是從星系以上尺度開始部分破缺,以非常狹義相對論對稱群E(2)為例,用E(2)規范理論來構造大尺度有效引力理論,并分析了此規范理論的自洽性.從這些討論中發現,當物質源即使為普通標量物質時,contortion也一般非零,非零contortion的存在會貢獻一個等效能量動量張量的分布,它可能對暗物質效應給出至少部分的貢獻.我們從對稱性出發修改引力,有別于其他的修改引力理論.

E(2)群,非常狹義相對論,有效引力理論,洛倫茲破缺

1 引 言

廣義相對論從建立到現在的一百多年以來,一直經歷著各種檢驗,在太陽系范圍內弱場近似的檢驗達到了10-5精度的量級.但是在星系以上的尺度上,卻存在著一些明顯偏離廣義相對論的天文現象.例如,1933年Zw icky[1]按照后發座星系團中的運動星系的可視質量,推算了其運動速度,但是計算的結果要低于實際觀測的速度.他認為造成這種現象的原因是可視質量和實際質量不符.另一個實例是1980年有關螺旋星云的旋轉星系的觀測.美國天文學家Rubin[2]通過測量這個星系可見區域的旋轉速度得到了“星系旋轉曲線”.按照廣義相對論的預測,足夠遠的距離上環繞星系中心天體的平均軌道速度的平方與軌道距離是成反比的,但是曲線卻顯示隨著距離變大,旋轉速度趨向于一個定值.這明顯違背了理論預測的結果.在宇宙學尺度上,宇宙的加速膨脹也說明宇宙學常數具有很小的正值.

目前對于天文觀測與廣義相對論的偏離的解釋比較流行的有兩種.一種是直接修正愛因斯坦引力理論,比如2013年Shojai等[3]提出的f(R)理論; 2005年M off at[4]提出的標量-張量-矢量引力理論, 2004年Bekenstein[5]提出的相對論性修正的牛頓動力理論,以及二者的混合,都可以部分地解釋觀測數據.另一種是用暗物質來解釋缺失質量[6-8],暗能量的存在來解釋加速膨脹.但是到目前為止所有直接尋找暗物質的實驗都給出否定結果,暗物質的微觀起源還沒有得到證實[9,10],暗能量的本質更是晦澀難明.暗物質現象出現于星系以上一直到宇宙學尺度上,假設存在暗物質,則用帶正宇宙學常數的廣義相對論可以解釋大部分現象,但是暗物質的候選者全部沒有找到,所以將暗物質現象考慮成一種大尺度非局域效應的有效表現也是理解暗物質效應的一種思路.本文中我們構造修改引力的模型,試圖通過大尺度效應解釋暗物質、暗能量現象,而不是假設存在微觀起源的暗物質、暗能量.

由宇宙學原理知道,相對于微波背景輻射靜止系,宇宙是均勻各向同性的.也就是說,對于宇宙中的任意一點的觀測者,向各個方向進行觀測,會發現在足夠遠的地方(約30億光年的數量級),宇宙的形態大致相同.但是,宇宙學原理只是在微波背景輻射靜止系中成立.若一個觀測者相對于這個參考系沿著方向n高速運動,那么他將明顯看到方向n上的微波背景輻射強度更大,星光也更明亮[11].這就出現了與各向同性的偏離.宇宙學原理說存在一個宇宙均勻各向同性的宇宙標準參考系,這個參考系就是微波背景輻射靜止系,在這個參照系中時空度規為Roberson-Walker度規的形式,從宇宙標準參照系到運動的本動參照系的洛倫茲變換不是保度規變換,宇宙標準系有六個Killing矢量,即為宇宙時空中宇宙時為常數的三維子空間的K illing矢量,具有本動的參考系中宇宙物質分布能動張量也不能保持均勻各向同性的形式,所以在本動參考系看到的宇宙與宇宙標準系中看到得很不同,但宇宙的時空幾何是惟一的,不會因參考系的不同而改變,這就要求宇宙物質分布能動張量與度規張量和Ricci曲率張量一樣協變.

我們知道微波背景輻射的低l極距具有很多反常效應,二極矩反常現象不僅僅是單極矩的多普勒效應,還包括像差效應(其他方向的光子被擠壓,從而向本動方向靠攏)和強度調制效應(沿著本動方向的正方向放大,在本動方向的負方向上減小),這些效應來自于我們所在的太陽本動系相對微波背景系的運動.但四極矩反常平面和八級矩反常平面的法矢與偶極方向互不重合,如果這些反常都是由于觀測者的本動而引起,這就預示著,僅僅簡單地通過對共動參考系到本動參考系做boost變換無法解釋這些反常.當然,宇宙學原理是否嚴格成立也是可以討論的,所以我們在討論宇宙學物理時,不妨放棄boost不變性來作為一種等效描述[12-14].局域平直區域的物理規律是個經驗歸納,大尺度局域的對稱性不一定與小尺度局域的對稱性相同,尤其是在有暗物質、暗能量現象,僅依靠廣義相對論和粒子物理標準模型的物質結構理論不能給予解釋的情況下,大尺度局域的對稱性應該重新審視.而在宇宙尺度上boost對稱性可能缺失,一個合理的猜想就是在大尺度以上,比如星系尺度以上,局域洛倫茲對稱性開始破缺.

實際上,由于對量子引力理論的探索,使對洛倫茲對稱性破缺進行研究的科學家不在少數. 1997年以及1999年,Colem an和G lashow討論了用不變矢量描述由于微波背景輻射靜止系的存在導致的boost不變性的破缺[15].隨后Colladay和Kostelecky建立了標準模型拓展理論框架(SME),將可能的洛倫茲和CPT破缺效應納入了這個理論框架[16].2013年,也有研究者將廣義相對論的黎曼時空用Finsler時空取代作為大尺度有效引力[17].我們之前已經研究了大尺度上的洛倫茲對稱性的破缺[18,19],并且以非常狹義相對論的中的SIM(2)群為例,構造了SIM(2)規范理論作為大尺度有效引力理論[20].

2006年,Cohen和Glashow[21]提出了非常狹義相對論的理論模型.他們發現如果將連續的局域時空對稱群取為洛倫茲正規子群與時空平移群的的半直積,只要這個真子群加入P或T或CP能擴張成整個洛倫茲群,就可以描述已經觀測到的物理現象.如果CP是破缺的,局域對稱群連同分立對稱群就不再是整個洛倫茲群,于是洛倫茲破缺與CP破缺就產生了關聯.滿足上述條件的洛倫茲正規子群在同構的意義下有四個,分別是：T(2)群、E(2)群、HOM(2)群和SIM(2)群,如表1所列.洛倫茲群的李代數是6維線性空間,常用的一組基底是Jx,Jy,Jz,Kx,Ky,Kz,前三個表征轉動,后三個表征偽轉動.令T1=Kx+Jy,T2=Ky-Jx,非常狹義相對論的四個子群是由生成元T1,T2,Jz,Kz生成的.

表1 非常狹義相對論的四個子群Tab le 1.The fou r subgroups of very special relativity.

2 引力規范理論的建立

等效原理告訴我們,如果在每一點建立一個自由落體參考系,那么局域上物理規律遵從局域平直時空的物理規律.對于小尺度引力理論,這個局域時空的物理規律就是狹義相對論.這就是說,通過選取一個合適的標架場ha=hμa?μ,可以在每一點上消除引力的作用,使得局域時空對稱群為洛倫茲群.在這樣的標架下,度規的表現類似狹義相對論中的閔氏度規,

其中,

ha=是標架ha的對偶一形式.

一般而言,ha對應非完整坐標系,也就是說,不存在一個全局的坐標ya使得ha=d ya.

對于規范勢Aμ,需要確定體系的一個規范不變作用量.首先考慮Yang-M ills作用量,其量綱為-4,耦合常數無量綱,所以不能給出牛頓引力的極限.而且,由于連續洛倫茲群本身是非緊李群, Yang-M ills作用量不能給出正定的哈密頓量,所以選取Einstein-Hilbert作用量,

3 E(2)群上的引力規范理論

如果大尺度局域對稱性是E(2)對稱性,上面的對稱變換就要限制在E(2)群上,這樣我們就可以得到局域E(2)不變的理論.洛倫茲生成元Sab滿足的對易關系為

當協變導數作用在任意的洛倫茲矢量φ=φchc或一形式ψ=ψchc上,按生成元的矢量表示進行變換：

將Sab表示為更加熟悉的符號：

規范勢Aμ的具體展開形式為

由于變換群限制到了E(2)上,所以必須有

對比(8)和(9)兩式,容易得到“約束條件”

E(2)時空規范理論的作用量是由洛倫茲時空規范理論的作用量加上約束項組成,即

現在將作用量對規范勢做變分,注意到δAh=0可以得到

去掉表面項,可以得到關于規范勢的約束方程

同時對于a=1,b=2時得到一個約束方程

顯然規范勢可以分解為兩部分：Levi-Civita部分和contortion部分.令,那么

其中Levi-Civita部分僅由結構系數組成,

contortion部分僅由撓率張量組成

將(18),(19),(20)式代入約束條件(10)式,可以得到：

現在將作用量對4-標架場做變分,可以得到

借助規范勢的分解,曲率也可以做分解

由此,引力場方程可以寫為

其中,

由此可以看出,(32)式類似于一個能動張量為TE(2)的物質所提供的引力場,所以TE(2)可以看作由洛倫茲破缺提供的等效能量動量張量分布,這個等效能量動量張量分布是由真實的物質引發的,如果沒有真實的物質,也就沒有TE(2)項,自然方程的解仍然包括了了閔氏時空解.TE(2)可能就是大尺度上暗物質效應的來源.

對物質場分布部分SM,

其中,TM是物質的能量動量張量,CM=δASM.得到完整的引力場方程為

約束方程變為

4 自洽性分析

驗證E(2)群規范理論的自洽性是必要的.對E(2)規范引力理論需要檢驗Maurer-Cartan方程在E(2)代數上是封閉的：

另外還需要驗證Bianchi恒等式

4.1 Mau rer-Cartan方程

這樣可以達到一個局域E(2)不變的引力理論.首先考慮曲率的貢獻.的定義是

具體計算所有的曲率分量：

將上述結果全部代入曲率形式

我們可以清晰地看到,曲率形式的取值自動限制到了E(2)上,這代表了曲率對于E(2)群是封閉的.

其次考慮撓率.

由于E(2)群完整的保留了時空平移的作用,所以撓率在E(2)上自然是封閉的,不會發生任何改變.現在就來驗證M aurer-Cartan方程.

再利用協變導數的定義計算(44)式第三個等號右邊第三項,

綜合起來,我們就得到了M aurer-Cartan方程：

正如之前所證明的,隨著將規范勢以及協變導數限制到E(2)群上,曲率形式和撓率形式都自動限制到了E(2)群,從而Maurer-Cartan方程對于E(2)群同樣成立.

4.2 Bianchi恒等式

由撓率的定義出發,反復利用上面的輪換求和的性質,

這樣我們就證明了Bianchi第一恒等式在E(2)群上成立.由上面的結果容易發現,的取值也是在E(2)群中的.注意到上面的式子完全是時空指標,我們需要將其轉換為內部指標的Bianchi恒等式.

設{bcd}代表對內部指標b,c,d的輪換求和,即

容易得到

現在來計算內部指標下撓率的協變導數.

展開上面的式子,我們就得到了

重寫曲率的定義式,

注意到(53)式最后一個等號Dν代表只對的上指標起作用的協變微分,這里相當于把看作一個矢量.

這就證明了Bianchi第二恒等式在E(2)群上同樣成立.

綜合上面的計算,我們就證明了E(2)群作為時空對稱群是自封閉的,從而E(2)引力理論是自洽的.

5 總結與展望

為了解釋一些與廣義相對論出現偏離的天文觀測,提出了兩種方法：一種是用暗物質和暗能量來解釋,另一種是修正愛因斯坦引力理論.本文是從洛倫茲對稱性破缺的角度來修正引力理論.

假設洛倫茲對稱性是從星系尺度開始部分破缺,以非常狹義相對論中的一個對稱群E(2)群為例,構造了E(2)引力規范理論.可以發現,E(2)規范理論模型中,與廣義相對論不同的是,即使物質場為標量場的情況下,非零的時空contortion會給愛因斯坦方程提供一個非零的與物質能量動量張量伴隨的“有效能量動量張量分布”,這個“有效能量動量張量分布”的存在可能至少部分地貢獻了暗物質效應,定量的結果將是我們后繼研究的內容.最后對E(2)規范理論的自洽性進行了分析.

這種用對稱性破缺修改引力的嘗試在不同的尺度上contortion貢獻的有效能量動量張量分布的特征不同,在考察星系等尺度上的缺失質量問題時,它可能對缺失質量分布做出貢獻,在考慮宇宙尺度上的宇宙膨脹問題時,它有可能給出暗能量的貢獻,這暗示一個暗物質暗能量內在聯系的可能機制,如果這個猜測成立,將是對已有的暗能量與暗物質相互作用的唯象研究的一個支持.有關暗物質暗能量相互作用的進一步研究參見文獻[22,23].具體可以在滿足宇宙學原理的Robertson-Walker類型的度規的基礎上來求解.選擇這種類型的度規之后,與宇宙介質伴隨的contortion貢獻的有效能動張量場的效應,也就是TE(2),也可能就與暗能量效應有關,這將是我們后繼研究的內容.天文觀測與廣義相對論的偏離是否全部是來自于大尺度上洛倫茲對稱性的破缺?大尺度上的洛倫茲對稱性的喪失與微觀尺度上可能的洛倫茲破缺有何聯系,如何給出一個從宏觀局域洛倫茲對稱的廣義相對論過渡到宇觀尺度上的局域洛倫茲破缺的有效引力理論的機制都是需要進一步研究的課題.

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(Received 4 February 2017;revised manuscript received 6 April 2017)

E(2)gauge theory model of effective gravitational theory at large scale?

WeiWen-Ye1)Shen Jia-Yin1)Wu Yi-Wei1)Yang Li-Xiang1)Xue Xun1)?Yuan Tzu-Chiang2)

1)(Departm ent of Physics,East China Norm al University,Shanghai 200241,China)
2)(Institu te of Physics,Academ ia Sinica,Taipei 11529,China)

At the cosmological scale,there exist many anisotropic anomalies in the low-l multipoles of the CMB angular power spectrum.Especially,the norm als to the octopole and quad rupole p lanes are aligned with the direction of the cosm ological dipole at a level inconsistent with Gaussian random.The inconsistency indicates that the anom aliesm ay not be boost effect from the CMB rest frame to the peculiar frame.It hintsus that the boost invariancem ight be violated on a cosm ological scale.There are som e discrepancies between the astronom ical and cosm ological observations,and the predictions are solely based on general relativity and the standard model for elem entary particle physics.The solutions are the introduction of dark matter and dark energy.However,all the experiments aim ing at finding dark matter particles give negative result and it is stillam ystery:what the dark energy is com prised of.We suppose that the Lorentz symmetry begins to be violated partly from the scale of galaxy and utilize the very special relativity symmetry group E(2)as an exam p le to illustrate the Lorentz violation effect on the large-scale effective gravity.Alocal E(2)but Lorentz invariant gauge theory can be constructed based on the equivalence princip le and the gauge princip le.To realize the E(2)symmetry,the closure requirement of Maurer-Cartan eqnarray on E(2)algebra needs to be satisfied by postu lating constraint conditions am ong the com ponents of the Lorentz connection.The local Lorentz invariant gauge theory with a Hilbert-Einstein action is a theory with torsion in general case.However in the case of scalar m atter source,the theory is exactly the theory of general relativity with Levi-Civita connection and zero torsion.In the E(2)gauge theory case,the closure requirem ent of M aurer-Cartan eqnarray for E(2)algebra postulates 12 constraint eqnarrays am ong the com ponents of the Lorentz connection and the eqnarrays of m otion for connection reduce the number of independent com ponentsof connection to 12.The eqnarraysofmotion for the tetrad field do not contain only the involved tetrad field com ponents nor these relevant independent com ponents.So thewhole number of variables needed to be solved is 12more than that in general relativity while there are 12more eqnarrays in themeantime.The torsion or the contortion field of the E(2)gauge theory is non-trivial even in the case of scalarm atter source distribution.Decom pose the connection into Levi-Civita one and the contortion part and rew rite the eqnarrays for tetrad field in the form alism of general relativity, then there w ill appear an effective energy-momentum tensor contributed by the contortion distribution,in addition to the ordinary m atter source distribution even for the case of scalar m atter source.We expect it to contribute at least part of the dark m atter effect.We also exam ine the holding of the fi rst and second Bianchi identities induced by Jacobi identity of the E(2)gauge theory.The approach of our modified gravity is different from other approach ofmodified gravity in the sense that we construct them odified gravity by m odifying the spacetime symm etry on a large scale and the em ergence of effective energy-m om entum tensor caused by Lorentz violation effect is due to a purely large scale effect.

E(2)group,very special relativity,the effective gravitation theory,Lorentz violationPACS:03.30.+p,04.20.Cv,11.15.-q,11.30.Cp DO I:10.7498/aps.66.130301

PACS:03.30.+p,04.20.Cv,11.15.-q,11.30.Cp DO I:10.7498/aps.66.130301

?國家自然科學基金(批準號:11435005)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:xxue@phy.ecnu.edu.cn

*Pro ject supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant Nos.11435005).

?Corresponding author.E-m ail:xxue@phy.ecnu.edu.cn