含時驅動的Dicke模型的混沌特性?

劉妮梁九卿

(山西大學理論物理研究所,太原 030006)

含時驅動的Dicke模型的混沌特性?

劉妮?梁九卿

(山西大學理論物理研究所,太原 030006)

(2017年1月21日收到;2017年3月28日收到修改稿)

依據Dicke量子相變首次被觀測的實驗裝置,我們通過調節抽運激光強度來實現原子-場集體耦合強度的單頻非絕熱調制,即實現含時驅動的Dicke模型.當驅動的耦合強度為零時,系統回退到標準的Dicke模型.從刻畫的龐加萊截面圖觀測到:在臨近相變點附近系統由經典規則軌道向混沌變化,超輻射區對應著相空間的完全混沌;當靜態耦合和驅動耦合同時存在時,系統顯示出豐富的混沌運動.通過調節振蕩頻率,系統可在正常相區間從經典規則軌道變到混沌再變到經典規則軌道.

單頻非絕熱調制,Dicke模型,量子混沌,龐加萊截面圖

1 引言

很多量子系統都存在量子混沌,量子混沌是一種普遍存在的現象,它與相變、糾纏、隧穿等物理現象存在很多關聯.經典哈密頓系統是否可積與混沌直接相關.把經典力學中的可積性推廣到量子力學對量子混沌的研究是非常有益的.現在人們經常使用的量子可積性定義都是經典可積性的推廣.三十多年前,科學家已經預測到標準Dicke模型存在正常相到超輻射相的量子相變[1?3].同時,Dicke模型的量子混沌特性也早有研究[4?8],但是真正將其混沌特性與量子相變連接在一起的卻是從文獻[9]開始的.文獻[9]指出:標準Dicke模型會經歷從準可積到量子混沌的變化,而且這種變化是由與之完全對應的量子相變引起的.我們考慮一組四能級原子自發地與橫向抽運激光驅動的單模腔場進行相互作用的系統.最近,實驗上已在玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)與高精細光腔組合的實驗中實現了相似的裝置,而且在該裝置中觀測到了從正常相到超輻射相的Dicke量子相變[10].該裝置的一個直觀優點是:通過操縱抽運激光強度來實現可調諧的集體原子場耦合強度.本文的主要想法是:在實現的Dicke模型中引入含時依賴的原子場集體耦合項.我們發現:當含時系統回退到標準Dicke模型時,其量子混沌特性與前人的結果完全符合,在臨界相變點附近發生從規則周期軌道到完全混沌的變化.當我們引入原子場集體耦合強度的單頻非絕熱調制項后,系統的混沌特性變得非常復雜.為了更好地理解靜態耦合(?g=0)和驅動耦合(?=0),以及弱驅動(如:?g=0.2)和強驅動(如:?g=0.6)對含時Dicke系統混沌特性的影響,本文給出了一系列參數下系統的龐加萊截面圖,為研究含時Dicke系統提供了一種新的研究方法和研究手段.結果發現只有系統整體穩定,局部不穩定才會出現混沌.

2 含時驅動的Dicke模型

2.1 理論模型

Dicke模型描述單個二能級原子系綜集體耦合到一個單模量子化電磁場的情形,當原子-場集體耦合強度超過某個臨界值時系統會經歷一個零溫量子相變,發生從正常相到超輻射相的量子相變.該相變已于2010年由Baumann等首次在實驗上觀測到[10].這種集體量子現象所引起的超輻射-正常量子相變在原子物理和量子光學中被廣泛研究.此外量子混沌、基態糾纏、臨界行為等與量子相變相關的領域也為大家所關注.依據Baumann等[10]提出的實驗裝置(即一組Rb87的四能級超冷原子與單模光場發生集體相互作用,外加橫向抽運激光),每個原子有兩個穩定的基態,分別記為|0,0?和|±kpmk?,它們通過兩束拉曼通道耦合.在大失諧極限下,原子的激發態能被絕熱消除而成為有效的二能級系統[11?13],運用集體自旋算符Si(i=±,z)來表示,這樣我們實現了Dicke類型的哈密頓量(~=1):

其中,N是原子數;有效腔頻ω=ωc?ωp,而ωc是腔頻,ωp是橫向抽運激光頻率;有效原子頻率ω0=2ωr,而原子的反沖能量ωr=k2/2m;集體耦合強度,而ξ是抽運拉比頻率;a?和a代表光子的產生和湮沒算符;集體原子算符Si(i=±,z)滿足SU(2)角動量關系.

實驗上通過改變抽運激光強度來調節橫向抽運激光頻率ωp,進而調節集體原子-場耦合強度.那么將原子-場耦合強度調制成g(t)=g+?g cos(ηt)這樣的形式,我們將得到含時驅動的Dicke模型[14,15],即

哈密頓量(2)與哈密頓量(1)具有相同的形式,只是原子-場耦合強度g被取代為g(t).g(t)的最大值和最小值分別為g+?g和g??g.在后面我們會發現:規則軌道到量子混沌的臨界點并非僅僅由g+?g和g??g體現,這是不同于標準Dicke模型的混沌特性的.在熱力學極限,N→∞,無驅動的Dicke模型(?g=0)在臨界耦合時顯示一個量子相變,此時基態從無激發的正常相變到對稱破缺的超輻射相.在超輻射相區,場和原子集體都具有了宏觀占據.同時混沌特性也正是在相變點處從規則軌道變化到完全的混沌.我們通過調查無驅動下Dicke模型的龐加萊截面圖來開始我們的分析.

我們先使用Holstein-Primako ff變換[16,17],即用單一玻色模取代自旋算符的操作:

標準Dicke模型可以演化出許多不同的半經典模型[5],而且也發展了許多不同的研究方法.廣泛討論的方法是Hartree-Fork-type的近似,它是先得到系統的海森伯運動方程,并用期待值取代方程中的算符[4].它們被看作經典變量,并且得到它們的一系列非線性運動方程.依據這些運動方程可以得到一定參數區的經典混沌.盡管如此,在一定程度上,上面的方法并不能完全滿足僅依賴于原子數N變化的運動.Furuya等[5]研究了類似于Dicke模型的一個經典模型,通過在光子和原子相干態基失構成的態下評定系統的期待值,得到其半經典哈密頓量,并且展示出系統出現混沌.盡管文獻中的模型與我們的無驅動Dicke模型非常相似,但其并未完備地討論模型的混沌特性.而混沌特性是反映系統諸如量子相變、穩定性等基態特性至關重要的手段或特征.

2.2 運動方程

通過引入兩玻色模的坐標和位置算符關系,即兩維諧振子算符與坐標和位置的關系

將(5)式經過整理得到

將(6)式坐標-動量表示代入哈密頓量(4),得到如下形式的系統經典哈密頓量:

為了分析有限粒子數N的半經典系統的行為,我們從Hsc的偏導數給出了哈密頓量的運動方程:

3 系統的混沌特性

原則上由經典哈密頓量和運動方程就可以研究系統的混沌特性.我們在初始條件和各種變化參數下數值地調研了半經典系統的哈密頓量運動方程.為了分析系統的運動軌跡,我們使用四維相空間的龐加萊截面圖來刻畫.我們定義截面圖的表面為x=0,px由E(t)確定.作為例證,圖1給出了某參數下的無驅動Dicke系統的(y,py)平面的龐加萊截面圖.

圖1 無驅動Dicke模型隨參數變化的龐加萊截面圖,其中初始能量E=20,原子數N=1000,哈密頓量在共振情形ω=ω0=1Fig.1.The Poincaré sections of the undriven Dicke model in the resonance case of ω=ω0=1.The plotted parameters are given by the initial energy E=20 and the atomic number N=1000.

圖1清晰地描述出:在原子-場耦合強度g很小,即g 6 0.4(如圖1(a),(b))時,龐加萊截面圖是由一系列規則、周期或準周期軌道組成;接近臨界原子-場耦合強度,即g=0.44,g=0.50(如圖1(c),(d))時,我們看到周期軌道特征的改變,并且出現許多混沌軌跡,即軟混沌;增加原子-場耦合強度更導致殘余的周期軌道解體,并且整個相空間變成混沌區,即硬混沌,如原子-場耦合強度略微超過臨界值gc=0.50,即g=0.52,g=0.60(如圖1(e),(f)).該圖結果再一次驗證了文獻[9]中圖14的結果,也表明無論從理論計算還是數值模擬,無驅動結果回退的正確性,這也保證了我們后面給出驅動Dicke模型結論的可靠性.最重要的是,圖1表明:對于標準Dicke模型,量子相變點是系統由規則軌道向混沌轉變的指標.

圖2清晰地展示出,當靜態耦合不存在時,系統是沒有混沌特性的.驅動耦合的調節本質上并沒有改變系統的物理特性.該組圖告訴我們,此時的原子-場耦合強度本質上是由余旋函數?g cos(?t)調節的振蕩形式,且原子-場耦合強度取最大值g(t)max=0,0.4,0.6,0.8時,并沒有顯示出規則軌道或混沌圖像.可見,混沌圖像是與我們的靜態耦合g息息相關的.

圖2 靜態耦合為零(g=0),驅動耦合變化(?=0)時Dicke模型的龐加萊截面圖,其中初始能量E=20,原子數N=1000,振蕩頻率?=10,且哈密頓量在共振情形ω=ω0=1Fig.2.The Poincaré sections of Dicke model as the function of the driven coupling strength?g with the static coupling g=0 in the resonance case of ω=ω0=1.The plotted parameters are given by the initial energy E=20,the atomic number N=1000,and the oscillation frequency ?=10.

圖4主要展示的是不同靜態耦合和驅動耦合下系統的龐加萊截面圖.由圖4(a)可以看出,當靜態耦合g=0.2gc=0.5時,若驅動耦合?g=0,系統顯示的是完全混沌圖像,參看圖1(f);若調節驅動耦合?g=0.2,系統仍然顯示的是完全混沌圖像.可見,靜態耦合的大小對系統是規則軌道還是混沌起決定作用,而驅動耦合只是一定程度上起調節或者振蕩作用.

圖3 靜態耦合和驅動耦合為定值(g=?g=0.2)時含時Dicke模型隨振蕩頻率變化的龐加萊截面圖,其中初始能量E=20,原子數N=1000,振蕩頻率?=0.02,0.2,2,5,10,200,且哈密頓量是在共振情形ω=ω0=1Fig.3.The Poincaré sections of the driven Dicke model with time-dependent as a function of the oscillation frequency ? with the given coupling g=?g=0.2 in the resonance case of ω=ω0=1.The plotted parameters are given by the initial energy E=20 and the atomic number N=1000.

圖4 靜態耦合和驅動耦合影響下含時Dicke模型的龐加萊截面圖,其中初始能量E=20,原子數N=1000,振蕩頻率?=10,且哈密頓量是在共振情形ω=ω0=1Fig.4.The Poincaré sections of the driven Dicke model with time-dependent as the function of the static and driven coupling strengths in the resonance case of ω=ω0=1.The plotted parameters are given by the initial energy E=20,the atomic number N=1000 and the oscillation frequency ?=10.

圖5 給定的靜態耦合(g=0.6)下變化的驅動耦合對含時Dicke模型龐加萊截面圖的影響,其中初始能量E=20,原子數N=1000,振蕩頻率?=10,且哈密頓量是共振情形ω=ω0=1Fig.5.The Poincaré sections of the driven Dicke model with time-dependent as a function of the driven coupling strength with the given static coupling strength g=0.6 in the resonance case of ω=ω0=1.The plotted parameters are given by the initial energy E=20,the atomic number N=1000 and the oscillation frequency ?=10.

為了更好地說明驅動耦合?g對系統是否出現混沌的調節作用,圖5給出了靜態耦合為g=0.6時,不同驅動耦合下系統的龐加萊截面圖.圖5(a)說明當靜態耦合g=0.6>gc=0.5時,調節驅動耦合?g=0.2系統顯示的是完全混沌圖像,與無驅動情形完全一致,參看圖1(f);若調節驅動耦合?g=2.0,系統仍然顯示的是完全混沌圖像,但在中間區域出現一個很小的半月形區域,如圖5(b);隨著驅動耦合?g增大,在整個混沌空間內,中間區域越來越大,且越來越趨于規則圖像,參見圖5(c),(d);當驅動耦合?g增大至5.0時,整個區間變成規則圖像,系統顯示的是規則周期軌道.可見,靜態耦合g可以調節出混沌特性,但同時驅動耦合?g也可以使系統顯示混沌特性向規則周期軌道轉變.由此看來,含時系統的混沌特性要復雜于理想系統,而且含時規律的不同直接影響混沌圖.

4 結論

本文考慮了包含單頻非絕熱調制的原子-場耦合強度的Dicke模型的混沌特性.在經典系統從周期軌道到混沌變化可以反映出系統的量子特性,尤其量子相變點是我們分析規則軌道和混沌轉變的一個關鍵位置.如果僅有驅動耦合系統是不會出現混沌圖像的,僅是振蕩形式的余弦函數的體現;如果靜態耦合強度和驅動耦合強度共存時,系統的基態特性主要由靜態耦合決定,但驅動耦合在一定程度上可以調節系統的軌道.當系統的靜態耦合強度大于臨界耦合強度時,龐加萊截面圖顯示系統是完全混沌圖像,但強的驅動耦合也可以調節出規則軌道特性;當系統的靜態耦合強度小于臨界耦合強度時,通過調節驅動耦合強度和振蕩頻率,系統也能顯示出混沌圖像.

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PACS:05.45.Mt,42.50.Pq,73.43.NqDOI:10.7498/aps.66.110502

Chaos propeties of the time-dependent driven Dicke model?

Liu Ni?Liang Jiu-Qing
(Institute of Theoretical Physics,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

21 January 2017;revised manuscript

28 March 2017)

Now,many di ff erent approaches have been presented to study the di ff erent semi-classical models derived from the Dicke Hamiltonian,which re fl ect a fact that the quantum-mechanical spin possesses no direct classical analog.The Hartree-Fock-type approximation is one of the widely used approaches,with which we derive the Heisenberg equations of motion for the system and replace the operators in these equations with the corresponding expectation values.In the present paper,we investigate the role of quantum phase transition in determining the chaotic property of the timedependent driven Dicke model.The semi-classical Hamiltonian is derived by evaluating the expectation value of the Dicke Hamiltonian in a state,which is a product state of photonic and atomic coherent states.Based on the inverse of the relations between the position-momentum representation and the Bosonic creation-annihilation operators,the Hamiltonian is rewritten in the position-momentum representation and it undergoes a spontaneous symmetry-breaking phase transition,which is directly analogous to the quantum phase transition of the quantum system.In order to depict the Poincaré sections,which are used to analyze the trajectories through the four-dimensional phase space,we give the equations of motion of system from the derivatives of the semi-classical Hamiltonian for a variety of di ff erent parameters and initial conditions.According to the Dicke quantum phase transition observed from the experimental setup,we study the e ff ect of a monochromatic non-adiabatic modulation of the atom- fi eld coupling in Dicke model(i.e.,the driven Dicke model)on the system chaos by adjusting the pump laser intensity.The change from periodic track to chaotic fi gure re fl ects the quantum properties of the system,especially the quantum phase transition point,which is a key position for people to analyse the shift from periodic orbit to chaos.In an undriven case,the system reduces to the standard Dicke model.We discover from the Poincaré sections that the system undergoes a change from the classical periodic orbit to a number of chaotic trajectories and in the superradiant phase area,the whole phase space is completely chaotic.When the static and driving coupling both exist,the system shows rich chaotic motion.The ground state properties are mainly determined by the static coupling,while the orbit of the system is adjusted by the driving coupling.If the static coupling is greater than the critical coupling,the system displays completely chaotic images in the Poincaré sections,and the periodic orbits in the chaos can also be adjusted by the strong driving coupling.While the static coupling is less than the critical coupling,the system can also show the chaotic images by adjusting the driving coupling strength and oscillation frequency.Moreover,by tuning the oscillation frequency,the Poincaré sections may change from the classical orbits to the chaos,and back to the classical orbits in the normal phase of the system.

a monochromatic non-adiabatic modulation,Dicke model,quantum chaos,the Poincaré section

10.7498/aps.66.110502

?國家自然科學基金(批準號:11404198,11275118,91430109)、山西省高等學校科技創新項目(批準號:2014102)、山西大學科研啟動金(批準號:011151801004)和國家基礎科學人才培養基金(批準號:J1103210)資助的課題.

?通信作者.E-mail:317446484@qq.com

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11404198,11275118,91430109),the Scienti fi c and Technological Innovation Program of Higher Education Institutions in Shanxi Province(STIP),China(Grant No.2014102),the Launch of the Scienti fi c Research of Shanxi University,China(Grant No.011151801004),and the National Fundamental Training,China(Grant No.J1103210).

?Corresponding author.E-mail:317446484@qq.com