從離散Wigner函數的角度探討量子相干性度量?

林銀 黃明達 於亞飛張智明

(華南師范大學,廣東省微納光子功能材料與器件重點實驗室(信息光電子科技學院),廣東省量子調控工程與材料重點實驗室,廣州 510006)

從離散Wigner函數的角度探討量子相干性度量?

林銀 黃明達 於亞飛?張智明

(華南師范大學,廣東省微納光子功能材料與器件重點實驗室(信息光電子科技學院),廣東省量子調控工程與材料重點實驗室,廣州 510006)

(2016年11月29日收到;2017年3月1日收到修改稿)

量子相干性是量子信息處理的基本要素,在量子計算中扮演著重要的角色.為了便于討論量子相干性在量子計算中的作用,本文從離散Wigner函數角度對量子相干性進行了探討.首先對奇素數維量子系統的離散Wigner函數進行了分析,分離出表征相干性的部分,提出了一種可能的基于離散Wigner函數的量子相干性度量方法,并對其進行了量子相干性度量規范的分析;同時也比較了該度量與l1范數相干性度量之間的關系.重要的是,這種度量方法能夠明確給出量子相干性程度與衡量量子態量子計算加速能力的負性和之間不等式關系,由此可以解析地解釋量子相干性僅是量子計算加速的必要條件.

量子相干性度量,量子計算加速,離散Wigner函數

1 引言

量子相干性作為量子力學的重要性質之一,在量子計算和量子信息等領域扮演著重要的角色,因此如何在理論上度量量子相干性程度一直是一個熱點問題.通常,人們定性地認為相干效應是由選定基矢下量子態密度矩陣的非對角元引起的.近期,類比糾纏度量,文獻[1,2]提出一個嚴格的量子相干性度量的資源理論框架,并驗證相對熵相干性度量及l1范數相干性度量滿足該框架要求.在此框架下,對合適的相干度量方法,非相干態的度量值為零,而且通過非相干信道后量子態的相干性度量值不會增加.在此框架的基礎上,一系列相干性度量方案被提出和驗證,例如文獻[3]中提出用可觀測量度量相干性并設計了實驗方案;文獻[4]提出通過糾纏度量相干性的方案;文獻[5]提出利用內在隨機度量相干性,以及文獻[6]中討論了用保真度和跡距離度量量子相干性.同時,文獻[7,8]討論了量子相干性和其他量子關聯形式(量子失諧,量子糾纏)之間的關系.

Wigner函數是研究連續變量量子系統的非經典性質的一個重要的工具.近年來人們將其推廣到有限維Hilbert空間來研究離散量子系統的非經典性質,稱作離散Wigner函數[9?16].離散Wigner函數可用于判定對穩定子量子計算提供量子計算加速的資源,如不能夠提供穩定子量子計算加速的量子態的Wigner函數取值非負[17?19];具有非負離散Wigner函數的量子操作或量子計算線路都可以通過經典有效模擬實現[20,21].如果能夠在離散Wigner函數的基礎上探討量子相干性,將可能在量子相干性及量子計算之間建立解析的聯系.

本文的結構如下:第二部分簡單介紹量子相干性度量的資源理論框架和離散Wigner函數;第三部分分析量子態對角項在相空間的表現,從而建議新的量子相干性度量方法,并對其進行量子相干性度量規范的分析,同時探討其與l1范數度量之間的聯系,最后基于我們的度量方法分析量子相干性在通用穩定子量子計算中的作用;第四部分對全文進行簡短的總結.

2 量子相干性度量與離散Wigner函數

2.1 量子相干性度量

在給定基矢{|i?}i=0···d?1下的d維Hilbert空間中,非相干態定義為

這里pi為布居概率.我們把非相干態的集合記為I,δ∈I.除此之外的量子態都為相干態,如?為最大相干態.由非相干態的定義可知量子相干性度量值大小是由基矢選擇決定的,在不同的參考基矢下同一個量子態的相干性大小不同,也即相干性的大小由所研究的物理問題決定.

類似于糾纏度量理論[23?25]中的局域操作與經典通信,引入非相干操作研究量子相干性度量的單調性.非相干操作定義為作用于非相干態不產生相干性的操作,設有滿足算子集合,若,該Kraus算子為非相干操作.非相干操作可分為兩種情況:第一種為沒有后選擇的非相干的正定保跡映射(ICPTP),輸出的量子態為;第二種考慮后選擇測量,測量后的結果可以保留,那么對應第n個Kraus操作后的輸出態可以相應地寫為ρ,相應概率上述的非相干操作定義保證了其作用于非相干輸入態不會產生相干性.

有了以上關于非相干態、相干態以及非相干操作的定義,Baumgratz等[2]根據量子資源理論提議下面3個條件作為量子相干性度量的準則.一個合適的量子相干性度量C是從量子態ρ到一個非負實數的映射,并遵循以下準則:

(C1)對于所有的非相干態相干性度量值為0,即C(ρ)=0,當且僅當ρ∈I;

(C2)量子相干性度量的凸性,即

pn為混合概率,

(C3)量子相干性度量的單調性,經過非相干操作后量子態的相干性不會增加.考慮是否有后選擇測量,可分為弱單調性

和強單調性

其中由(C3b)和(C2)可得到(C3a)[2].

2.2 離散Wigner函數

Wigner函數是研究連續變量系統量子態非經典性的重要工具[22].為了進一步研究有限維Hilbert空間量子態在相空間的分布,人們提出和研究了離散Wigner函數的概念,由于定義離散Wigner函數的出發點不同,其定義眾多.其中較為主流的有兩種:一種是由Wootters[9]提出,后來由Gibbons等[10],Cormick等[11]和Galvao[12]發展而來的基于共同無偏基的廣義Wigner函數.另一種是由Buot[13]提出,Cross[14]和Baron[15]加以發展的基于Weyl-Heisenberg算子的Wigner函數,該定義適用于奇素數維量子系統.最近文獻[16]證明上述兩種定義方法在Cli ff ord變換下是等價的.下面我們介紹基于Weyl-Heisenberg算子的離散Wigner函數的定義方式.

其中,(a,b)∈Zd×Zd.我們定義相空間點算子為

3 利用離散Wigner函數分析量子相干性

3.1 基于離散Wigner函數的量子相干性度量

在連續變量領域中,利用Wigner函數來度量量子相干疊加性的思想已經被提出和研究,如文獻[26]利用連續變量Wigner函數有效地度量宏觀量子疊加態.在連續變量Wigner函數表示的相空間中,宏觀量子疊加態會呈現出兩個或多個可區分的峰并且在它們之間會有一定的振蕩模式,這就類似于經典相干現象中的干涉條紋.文獻[26]中通過相應頻率下相干條紋的復振幅,即特征函數模方來度量宏觀量子疊加性.也有文獻試圖在離散相空間討論量子干涉,如文獻[27]研究了干涉現象在離散相空間中的表示,對于兩個穩定子態構成的相干疊加態,其干涉條紋分布在整個相空間中.

當a=0時,特征函數的值只與密度矩陣的對角元有關,與非對角元無關.我們知道量子相干性是由密度矩陣的非對角元產生的.為了不使密度矩陣對角元對度量造成影響,我們令a=0的離散特征函數值為0,把這樣處理后的離散特征函數記為χ′(a,b),對其做離散傅里葉變換:

這里(a,b)是離散Wigner函數的相空間,(a′,b′)是特征函數的相空間.我們發現上式可以直接通過離散Wigner函數得到.對密度矩陣ρ我們分離出其對角部分,定義正定厄米矩陣為|,表示對應于量子態ρ的非相干態,相應的離散Wigenr函數記為,則

度量量子態ρ在標準基中的量子相干性大小.

3.2 離散Wigner函數相干性度量的度量規范分析

基于離散Wigner函數量子相干性度量能很好地符合Baumgratz標準(C1)和(C2).從定義中顯然可以看出這種度量滿足(C1),對于凸性條件(C2),量子態處于混合態,我們有

從而CW(ρ)的凸性得證.

量子相干性度量CW(ρ)在計算基測量下符合相干性度量準則(C3).我們對單體系統和多體系統分別進行討論.首先看單體系統,初始量子態經過計算基測量后形式為,明顯只有對角元素,是非相干態,所以滿足準則(C3).再看多體系統的情況,整個系統在Hilbert空間可分為u,v兩個部分,我們對最后一個粒子進行計算基測量,則第i個測量算子Mi=I?|i??i|,測量前的狀態為,則測量后情況為

經過測量后第i個輸出態的概率為

經過測量后第i個輸出態為

相應的離散Wigner函數可表示為

同理可得

由以上證明結果可得CW相干性度量在計算基測量情況下滿足強單調性,即準則(C3b).

以上的8個系數ni,i=1,···,8是SU(3)群8個生成元對應的系數.基于離散Wigner函數的相干性度量為

考慮三維量子系統的非相干操作為

其中ci∈C,n=1,2,3,并且滿足是復數,寫成,其他的以此類推.在有后選擇的情況下,經過非相干信道后第n個輸出態為.根據CW的定義,我們可以計算非相干操作后系統的相干性度量的表達式.下面我們選擇兩種的量子態,通過數值驗證相干性度量CW符合準則(C3b).

我們選取兩種不同的量子態,分別觀察它們的度量結果.圖1選取的量子態為最大相干態,其中圖1(a)和圖1(b)分別是系統經過不同參數下非相干操作的度量情況,兩種情況下紅線始終處于藍線上方,表明CW度量滿足不等式,即符合相干性度量標準(C3b).圖2選取的量子態為混合量子態

p是最大相干態和最大混態所占的比例.由于圖2(a)和圖2(b)是在不同參數非相干操作下的度量情況,從圖2中可以看出綠色曲面始終處于藍色曲面上方,說明CW度量滿足不等式),即符合相干性度量標準(C3b).的值)(a)非相干操作的參數,(b)非相干操作的參數,

圖1 (網刊彩色)最大相干態經過非相干操作前后的度量情況(紅線為最大相干態的度量值,藍線為經過有后選擇非相干操作下

Fig.1.(color online)The quantum coherence CWof maximally coherent state under the incoherent operations(the red curve depicts the quantum coherence before incoherent operations,the blue curve represents the quantum coherence after incoh√erent operations where post-selection is enabled):(a)Parameters of incoherent opera√tions,經過非相干操作前后相干性度量值對比(綠色曲面代表未經過非相干操作的√度量結果,藍色曲面代表經過有后選擇下非相干操作的度√量結果)(a)非相干操作參數,

圖2 (網刊彩色)量子態

Fig.2.(color online)The quantum coherenceunder the incoherent operations(the green surface shows the quantum coherence before incoherent operations,The blue surface the quantum coherence after incohe√rent operations where post-selection is enabled):(a)Parameters of incoherent;(b)parameters of incoherent operations:

3.3離散Wigner函數相干性度量與l1范數相干性度量

l1范數相干性度量[1]定義為密度矩陣非對角元模和:

其中|ρi,j|為密度矩陣元的模,在文獻[2]中已經證明這種方案符合資源理論的相干性度量結構.離散Wigner函數相干性度量與l1范數相干性度量是從不同的角度對量子系統的相干性進行度量,它們之間也存在一定的聯系.這里令量子態的密度矩陣為

隨著p的增大,即最大相干態的比例增大,ρp的相干性也增加,所以度量值變大,滿足

圖3 (網刊彩色)藍線表示基于離散Wigner函數相干性度量CW(ρp),紅線表示l1范數相干性度量Cl1(ρp)Fig.3.(color online)The blue curve depicts quantum coherence CWof ρp,the red curve represents the l1norm coherence of ρp.

3.4 基于CW分析量子相干性在通用量子計算中的作用

通過穩定子量子計算模型我們可以將量子計算加速的資源鎖定于量子態的非經典性質[17?21].量子態的通用計算能力(提供穩定子量子計算加速的能力)可以通過離散Wigner函數負值的絕對值之和來度量[18],我們稱為負性和,記為NW,

由負性和的定義可以得到量子相干性度量CW和NW的不等式關系,即

在穩定子量子計算理論中,量子變換由Clifford操作實現,此不等式說明:如果對于一個量子態,存在一組Cli ff ord操作,使得此操作下的量子態的量子相干性CW=0,則此量子態的量子相干性不能向穩定子量子計算提供量子加速.文獻[14]指出Cli ff ord操作下量子態Wigner函數的各個格點取值相互換,即Wρ(v),v和v′分別為經過Cli ff ord操作前后的離散相空間,因此負性和NW的值不變.但經過Cli ff ord操作后量子態對角矩陣發生變化:,從而引起CW的變化,即

由CW和NW的不等式關系說明負性和是Cli ff ord操作下量子相干性的最小值,同時也表明量子態的相干性是其具有量子計算加速能力的必要條件.

4 結論

本文討論了奇素數維量子系統的離散Wigner函數,在離散相空間中分離出表征量子相干性的部分,從而建議了一種可能的量子相干性度量方法.我們證明了該方法滿足資源理論相干性度量框架中的準則(C1)和(C2),并且證明了在計算基測量下滿足準則(C3b),同時通過數值模擬驗證了3維量子系統在對應非相干操作下也符合準則(C3b).另外,本文還給出了這種度量方法與l1范數度量之間的聯系.更重要的是我們明確得到了該度量與衡量量子態計算加速能力的負性和之間的不等式關系,從而解析地解釋量子相干性僅是量子計算加速的必要條件.本文在討論強單調性證明時僅考慮一些特殊情況下的非相干操作及特定維度的量子態,對于任意奇素數維量子系統在任意非相干操作下的單調性證明還有待進一步研究.

[1]Aberg J 2006 arXiv:quant-ph/0612146v1

[2]Baumgratz T,Cramer M,Plenio M B 2014 Phys.Rev.Lett.113 140401

[3]Girolami D 2014 Phys.Rev.Lett.113 170401

[4]Streltsov A,Singh U,Dhar H S,Bera M N,Adesso G 2015 Phys.Rev.Lett.115 020403

[5]Yuan X,Zhou H Y,Cao Z,Ma X F 2015 Phys.Rev.A 92 022124

[6]Shao L H,Xi Z J,Fan H,Li Y M 2015 Phys.Rev.A 91 042120

[7]Xi Z J,Li Y M,Fan H 2015 Sci.Rep.5 10922

[8]Yao Y,Xiao X,Ge L,Sun C P 2015 Phys.Rev.A 92 022112

[9]Wootters W K 1987 Ann.Phys.176 1

[10]Gibbons K S,Ho ff man M J,Wootters W K 2004 Phys.Rev.A 70 062101

[11]Cormick C,Galvao E F,Gottesman D,Paz J P,Pittenger A O 2006 Phys.Rev.A 73 012301

[12]Galvao E F 2005 Phys.Rev.A 71 042302

[13]Buot F A 1974 Phys.Rev.B 10 3700

[14]Gross D 2006 J.Math.Phys.47 122107

[15]Baron T 2009 EPL 88 10002

[16]Zhu H J 2016 Phys.Rev.Lett.116 040501

[17]Veitch V,Ferrie C,Gross D,Emerson J 2012 New J.Phys.14 113011

[18]Veitch V,Mousavian S A H,Gottesman D,Emerson J 2014 New J.Phys.16 013009

[19]Galvao E F 2005 Phys.Rev.A 71 042302

[20]Mari A,Eisert J 2012 Phys.Rev.Lett.109 230503

[21]Pashayan H,Wallman J J,Bartlett S D 2015 Phys.Rev.Lett.115 070501

[22]Zhang Z M 2015 Quantum Optics(Beijing:Science Press)pp111–116(in Chinese)[張智明2015量子光學(北京:科學出版社)第111—116頁]

[23]Vedral V,Plenio M B 1998 Phys.Rev.A 57 1619

[24]Plenio M B,Virmani S 2007 Quantum Inf.Comput.7 1

[25]Vedral V,Plenio M B,Rippin M A,Knight P L 1997 Phys.Rev.Lett.78 2275

[26]Lee C W,Jeong H 2011 Phys.Rev.Lett.106 220401

[27]Cormick C,Paz J P 2006 Phys.Rev.A 74 062315

[28]Thew R T,Nemoto K,White A G,Munro W J 2002 Phys.Rev.A 66 012303

PACS:03.65.Aa,03.65.Ta,03.65.Yz,03.67.AcDOI:10.7498/aps.66.110301

Investigating quantum coherence from discrete Wigner function?

Lin YinHuang Ming-DaYu Ya-Fei?Zhang Zhi-Ming
(Guangdong Provincial Key Laboratory of Nanophotonic Functional Materials and Devices(SIPSE),Guangdong Provincial Key Laboratory of Quantum Engineering and Quantum Materials,South China Normal University,Guangzhou 510006,China)

29 November 2016;revised manuscript

1 March 2017)

Quantum coherence is an essential ingredient in quantum information processing and plays an important role in quantum computation.Therefore,it is a hot issue about how to quantify the coherence of quantum states in theoretical framework.The coherence e ff ect of a state is usually described by the o ff-diagonal elements of its density matrix with respect to a particular reference basis.Recently,based on the established notions from quantitative theory of entanglement,a resource theory of coherence quanti fi cation has been proposed[1,2].In the theory framework,a proper measure of coherence should satisfy three criteria:the coherence should be zero for all incoherent state;the coherence should not increase under mixing quantum states;the coherence should not increase under incoherent operations.Then,a number of coherence measures have been suggested,such as l1norm of coherence and the relative entropy of coherence[2].Wigner function is known as an important tool to study the non-classical property of quantum states for continuousvariable quantum systems.It has been generalized to fi nite-dimensional Hilbert spaces,and named as discrete Wigner function[9?16].The magic property of quantum states,which promotes stabilizer computation to universal quantum computation,can be generally measured by the absolute sum of the negative items(negativity sum)in the discrete Wigner function of the observed quantum states.In this paper we investigate quantum coherence from the view of discrete Wigner function.From the de fi nition of the discrete Wigner function of the quantum systems with odd prime dimensions,for a given density matrix we analyze in phase space the performance of its diagonal and o ff-diagonal items.We fi nd that,the discrete Wigner function of a quantum state contains two aspects:the true quantum coherence and the classical mixture,where the part of classical mixture can be excluded by only considering the discrete Wigner function of the diagonal items of the density matrix.Thus,we propose a possible measure method for quantum coherence from the discrete Wigner function of the o ff-diagonal items of the density matrix.We show that the proposed measure method satis fi es the criteria(C1)and(C2)of coherence measure perfectly.For the criteria(C3),we give a numerical proof in three-dimensional quantum system.Meanwhile,we compare the proposed coherence measure with l1norm coherence,and get an inequality relationship between them.Finally,an inequality is obtained to discuss the relation between quantum coherence and the negativity sum of discrete Wigner function,which shows that the quantum coherence is only necessary but not sufficient for quantum computation speed-up.

quantum coherence measure,quantum computation speed-up,discrete Wigner function

10.7498/aps.66.110301

?國家自然科學基金重大項目(批準號:91121023)、國家自然科學基金(批準號:11574092,61378012,60978009)、國家重點基礎研

究發展計劃(批準號:2013CB921804)和教育部“長江學者和創新團隊發展計劃”(批準號:IRT1243)資助的課題.

?通信作者.E-mail:yfyuks@hotmail.com

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the Major Research Plan of the National Natural Science Foundation of China(Grant No.91121023),the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11574092,61378012,60978009),the National Basic Research Program of China(Grant No.2013CB921804),and the Program for Changjiang Scholars and Innovative Research Team in University of Ministry of Education of China(Grant No.IRT1243).

?Corresponding author.E-mail:yfyuks@hotmail.com