淺析高考試題中的數學學科素養

王中華?お?

這兩年教育的流行語排行榜中“核心素養”一定榜上有名.核心素養著力解決的是提高學生面對復雜情境下的問題解決能力，使之能夠適應飛速發展的信息時代和復雜多變的未來社會.學生發展核心素養，主要指學生應具備的，能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.

現代數學的發展表明，數學的研究源于對現實世界的抽象，通過基于抽象結構的符號運算、形式推理、一般結論等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系與規律.因此，數學不僅是自然科學的重要基礎，而且在社會科學中發揮越來越大的作用，數學的應用已滲透到現代社會及人們日常生活的各個方面.

數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用.數學素養也是現代社會每一個公民應該具備的基本素養.通過高中數學課程的學習，尤其通過高考的選拔，提升學生作為現代社會公民所應具備的數學素養，促進學生自主、全面、可持續地發展.

（1）獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗；提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.

（2）提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習的習慣；樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實、一絲不茍的科學精神；認識數學的科學價值、應用價值和人文價值.

（3）逐步學會用數學的眼光觀察世界，發展數學抽象、直觀想象素養；用數學的思維分析世界，發展邏輯推理、數學運算素養；用數學的語言表達世界，發展數學建模、數據分析素養.增強創新意識和數學應用能力.

故在新的“高中數學課程標準”中提出了以下六大數學核心素養.

一、數學抽象

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征.

新課程標準對高考水平數學抽象要求：

能夠在現實情境或數學情境中抽象出一般的數學概念和規則；能夠將已知數學命題推廣到更一般的情形；能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題.

能夠從多個角度理解數學概念、規則和命題；能夠運用多種形式表示數學命題的條件與結論，并建立相關命題的聯系；能夠理解和構建相關數學知識之間的聯系.

能夠用準確的數學語言表達學過的數學概念、規則、命題與模型；能夠提煉出解決一類問題的數學方法，理解其中的數學思想.

在交流的過程中，能夠用一般的概念解釋具體現象.

例1＼[2016·全國課標卷Ⅲ＼]定義“規范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數不少于1的個數.若m=4，則不同的“規范01數列”共有（）.

A.18個B.16個C.14個D.12個

圖1解析由題意，得必有a1=0，a8=1，則具體的排法列表如表1，答案：C.

方法歸納本例是由特定的數學情景和規則出發，提煉“規范01數列”的定義及其簡單的應用.本題的解題關鍵是對新的數學情景的理解或對新概念的提煉升華，考查考生數學抽象的素養.

二、邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內成立的命題的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從大范圍成立的命題推斷小范圍內也成立的推理，推理形式主要有演繹推理.

新課程標準對高考水平邏輯推理要求：

在實際情境和數學情境中，能夠發現蘊含的數學規律，提出有價值的數學問題，并予以數學表達；能夠理解歸納、類比是發現和提出數學命題的重要途徑.

對于給定的與學過知識有一些關聯的數學命題，能夠通過對條件與結果的分析，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明，并能用準確的數學語言表述論證過程.

能夠理解相關概念、命題、定理之間的邏輯關系，初步建立網狀的知識結構.

能夠在交流的過程中，圍繞討論問題的主題，觀點明確，論述有理有據.

例2＼[2016·課標全國卷Ⅱ＼]有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是.

解析由題意分析可知甲的卡片上數字為1和3，乙的卡片上數字為2和3，丙卡片上數字為1和2.

答案：1和3

方法歸納邏輯推理包括歸納和演繹.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：數的歸納包括數字歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等.形的歸納主要包括圖形數目歸納和圖形變化規律歸納.由于歸納的前提是特殊，是立足于觀察、經驗或實驗的基礎上的，因此歸納的結論不一定完全正確.但是在進行歸納推理的過程中，具有由特殊到一般，由具體到抽象的認識功能，故歸納推理對于發現問題的結論和探索解題思路有獨到的作用.

三、數學建模

數學建模是對現實問題進行抽象，用數學語言表達和解決問題的過程.具體表現為：在實際情境中，從數學的視角提出問題、分析問題、表達問題、構建模型、求解結論、驗證結果、改進模型，最終得到符合實際的結果.

新課程標準對高考水平數學建模要求：

能夠在熟悉的情境中，發現問題、轉化為數學問題，知道數學問題的價值與作用.

能夠選擇合適的數學模式表達所要解決的數學問題；理解模式中參數的意義，知道如何確定參數，建立模型，求解模型；能夠根據問題的實際意義檢驗結果，完善模型，解決問題.

能夠在類似的情境中，經歷建模的過程，理解建模的意義.能夠運用數學語言，表述數學建模過程中的問題以及解決問題的過程和結果，形成研究報告，展示研究成果.

在交流的過程中，能夠用模型的思想說明問題.例3 ＼[2016·四川卷＼]設函數f（x）=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

（Ⅰ）討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）確定a的所有可能取值，使得f（x）>1x-e1-x在區間（1，+∞）內恒成立（e=2.718…為自然對數的底數）.

解析（Ⅰ）由題意，f ′x=2ax-1x=2ax2-1x，x>0.

①當a≤0時，2ax2-1≤0，f ′x≤0，fx在0，+∞上單調遞減.

②當a>0時，f ′x=

2ax+12ax-12ax，

當x∈0，12a時，

f ′x<0；

當x∈12a，+∞時，f ′x>0.

故fx在0，12a上單調遞減，在12a，+∞上單調遞增.

（Ⅱ）原不等式等價于fx-1x+e1-x>0在x∈1，+∞上恒成立.

一方面，令gx=fx-1x+e1-x=ax2-lnx-1x+e1-x-a，只需gx在x∈1，+∞上恒大于0即可.

又∵g1=0，故g′x在x=1處必大于等于0.

令Fx=g′x=2ax-1x+1x2-e1-x，

g′1≥0，可得a≥12.

另一方面，

當a≥12時，F′x=2a+1x2-2x3+e1-x≥1+1x2-2x3+e1-x=x3+x-2x3+e1-x

∵x∈1，+∞故x3+x-2>0，又e1-x>0，故F′x在a≥12時恒大于0.

∴當a≥12時，Fx在x∈1，+∞單調遞增.

∴Fx>F1=2a-1≥0，故gx也在

x∈1，+∞單調遞增.

∴gx>g1=0，即gx在x∈1，+∞上恒大于0.

綜上，a≥12.

方法歸納數學建模要在理解問題實質的基礎上，構造恰當的數學模型.如本例，若解題中遇到有關不等式、方程及最值之類問題，構造輔助函數是解決問題常用的方法.設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，通過研究函數的單調性、最值等問題，常可使問題變得明了化.如研究不等式f（x）>g（x）在區間D上恒成立時，可以構造函數h（x）=f（x）-g（x），然后根據函數的單調性，或者函數的最值證明函數h（x）>0，其中一個重要技巧就是找到函數h（x）在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口.

四、數學運算

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果.

新課程標準對高考水平數學運算要求：

能夠在數學情境中明晰運算對象，提出運算問題，探究運算的方向和目標.

能夠針對運算問題，正確分析運算條件、確定運算方向；能夠合理選擇運算方法、設計運算程序，綜合利用運算法則解決問題.

能夠理解運算法則與運算方法之間的關系，知道運算是一種演繹推理；能夠在綜合利用運算方法解決問題的過程中，體會程序化思想的意義和作用.

在交流的過程中，能夠借助運算探討問題.

例4＼[2016·四川卷＼]在平面內，定點A，B，C，D滿足DA =DB=DC，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，動點P，M滿足AP =1，PM=MC，則BM2的最大值是（）.

A.434B.494C.37+634D.37+2334

圖1

解析由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，DA=DB=DC=2.如圖1所示，以D為原點，直線DA為x軸建立平面直角坐標系，則A2，0，B-1，-3，

C-1，3.

設Px，y，由已知AP=1，得x-22+y2=1，

又PM=MC，

∴Mx-12，y+32，

∴BM=x+12，y+332，

∴BM2=x+12+y+3324，它表示圓x-22+y2=1上點x，y與點-1，-33距離平方的14，∴BM2max=1432+-332+12=494.

答案：B

方法歸納課程標準及高考大綱對數學運算的要求較高，復習備考時要根據個人的實際情況，進行有針對性地訓練.

五、直觀想象

直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何圖形理解和解決數學問題.主要包括：利用圖形描述數學問題，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

新課程標準對高考水平直觀想象要求：

能夠在實際和數學情境中，想象并構建相應的幾何圖形，借助圖形提出數學問題，發現圖形與圖形、圖形與數量的關系，探索圖形的運動規律.

能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數量關系的基本方法；能夠借助圖形性質探索數學規律；能夠通過計算、分析、論證，解決實際問題或數學問題.

能夠通過直觀想象提出數學問題；能夠用圖形探索解決問題的思路；能夠形成數形結合的思想，體會幾何直觀的作用和意義.

在交流的過程中，能夠利用直觀想象探討數學問題.

例5 ＼[2016·天津卷＼]已知f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間（-∞，0）上單調遞增，若實數a滿足f（2a-1）>f（-2），則a的取值范圍是（）.

A.（-∞，12）B.（-∞，12）∪（32，+∞）

C.（12，32）D.（32，+∞）

解析由f（x）是偶函數，可知在（-∞，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，由題意得f（-2|a-1|）>f（-2），∴-2|a-1|>-2，∴2|a-1|<212，∴|a-1|<12，解得12

答案：C

方法歸納函數圖象在方程、不等式中的應用策略：（1）研究兩函數圖象的交點個數：在同一坐標系中分別做出兩函數的圖象，數形結合求解；

（2）確定方程根的個數：當方程與基本函數有關時，可以通過函數圖象來研究方程的根，方程f（x）=0的根就是函數f（x）圖象與x軸的交點的橫坐標，方程f（x）=g（x）的根就是函數f（x）與g（x）圖象交點的橫坐標；

（3）研究不等式的解：當不等式問題不能用代數法求解但其對應函數的圖象可做出時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象的上、下關系問題，從而利用數形結合求解.

利用函數的圖象解決以上問題時的總原則是數形結合，故作出的函數圖象一定要準確.

六、數據分析

數據分析是指從數據中獲得有用信息，形成知識的過程.主要包括：收集數據提取信息，利用圖表展示數據，構建模型分析數據，解釋數據蘊含的結論.新課程標準對高考水平數據分析要求：

能夠在生活情境中，識別隨機現象，知道隨機現象與隨機變量之間的關聯，發現并提出概率或統計問題.能夠針對具體問題，選擇離散型隨機變量或連續型隨機變量刻畫隨機現象，運用適當的概率或統計模型解決問題；掌握概率或統計解決問題的基本方法.能夠在運用統計方法解決問題的過程中，感悟歸納推理的思想，理解統計結論的意義；能夠用統計概率的思維來分析隨機現象，用統計概率模型表達隨機現象的統計規律.

在交流的過程中，能夠用數據呈現的規律解釋隨機現象.

例6＼[2016·全國卷Ⅰ＼]某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得如圖2所示柱狀圖.

圖2

以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；

（Ⅲ）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n=19與n=20之中選其一，應選用哪個？解析（Ⅰ）每臺機器更換的易損零件數為8，9，10，11

記事件Ai為第一臺機器3年內換掉i+7個零件i=1，2，3，4

記事件Bi為第二臺機器3年內換掉i+7個零件i=1，2，3，4

由題知PA1=PA3=PA4=PB1=

PB3=PB4=0.2，PA2=PB2=0.4

設2臺機器共需更換的易損零件數的隨機變量為X，則X的可能的取值為16，17，18，19，20，21，22

PX=16=PA1PB1=0.2×0.2=0.04

PX=17=PA1PB2+PA2PB1=0.2×0.4+0.4×0.2=0.16

PX=18=PA1PB3+PA2PB2+PA3PB1=0.2×0.2+0.2×0.2+0.4×0.4=0.24

PX=19=PA1PB4+PA2PB3+PA3PB2+PA4PB1=0.2×0.2+0.2×0.2+0.4×0.2+0.2×0.4=0.24

PX=20=PA2PB4+PA3PB3+PA4PB2=0.4×0.2+0.2×0.4+0.2×0.2=0.2

PX=21=PA3PB4+PA4PB3=0.2×0.2+0.2×0.2=0.08

PX=22=PA4PB4=0.2×0.2=0.04

離心率是圓錐曲線的一個重要性質，在高考中頻繁出現，求雙曲線離心率的取值范圍問題涉及到解析幾何、平面幾何、代數等多個知識點，綜合性強、方法靈活，解題關鍵是挖掘題中的隱含條件，構造不等式.現以2008年福建卷中一選擇題（求雙曲線離心率的取值范圍）為例，探索求解該類題的解題方法.

題目雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩個焦點為F1、F2，若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）.

A.（1，3）B.（1，3]

C.（3，+∞）D.[3，+∞）

解法1設點P的橫坐標為x0，由|PF1|=2|PF2|，即ex0+a=2（ex0-a），解得x0=3ae ，又|x0|≥a，即|3ae |≥a，所以e≤3.

而雙曲線的離心率e>1，故1

點評利用雙曲線：若點P在雙曲線x2a2-y2b2=1上，則|x|≥a，構造不等式求解.

解法2設點P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），由|PF1|=2|PF2|，則

（x+c）2+y2=2（x-c）2+y2（x-5c3）2+y2=16c29，則13c≤x≤3c，又點P（x，y）在雙曲線x2a2-y2b2=1上，則x≥a或x≤-a，

∴c3≤a≤3c即13≤e≤3，而雙曲線的離心率e>1，故1

點評由|PF1|=2|PF2|這一條件轉化為點P在圓上運動，構造不等式求解.

解法3在△PF1F2中，記∠F1PF2=θ，由余弦定理，知

cosθ=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|

=（4a）2+（2a）2-（2c）22·4a·2a=5-e24

根據余弦函數的有界性，得-1≤5-e24≤1，考慮雙曲線的離心率e>1，得1

點評在焦點三角形中，根據余弦函數的有界性求解.

解法4在ΔPF1F2中，記∠F1PF2=θ，根據雙曲線焦點三角形的面積公式S=b2cotθ2，得

b2cotθ2=12×4a×2asinθ，

故X的分布列為：

X16

171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04

（Ⅱ）要令Px≤n≥0.5，∵0.04+0.16+0.24<0.5，0.04+0.16+0.24+0.24≥0.5

則n的最小值為19.

（Ⅲ）購買零件所需費用含兩部分，一部分為購買機器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用：

當n=19時，費用的期望為19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040；

當n=20時，費用的期望為20×200+500×0.08+1000×0.04=4080；

所以應選用n=19.

方法歸納解答統計與概率綜合問題的注意事項：（1）從統計圖表中準確獲取相關信息是解題關鍵；（2）明確頻率與概率的關系，頻率可近似代替概率；（3）此類問題中的概率模型多是古典概型，在求解時，要明確基本事件的構成.

回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的方法，需要注意的是，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義.（1）求回歸方程時，關鍵在于正確求出系數a，b，由于a，b的計算量大，計算時應仔細謹慎，分層進行，避免因計算而產生錯誤.（2）根據回歸方程進行預報，僅是一個預報值，而不是真實發生的值.

（收稿日期：2017-04-12）