基于模型預測控制的無人駕駛汽車的軌跡跟蹤*

李金良 郝亮 曹植

（遼寧工業大學）

隨著計算機信息處理技術、傳感器技術和汽車控制技術的進步，基于高效環境感知的輔助駕駛技術或全自動駕駛技術迅速發展，以主動控制為核心的先進汽車安全技術必將是現代交通系統和未來高度智能化交通系統的核心技術之一[1-2]。實現對全自主無人駕駛汽車在高速和冰雪等復雜路面安全穩定的軌跡跟蹤控制具有十分重要的意義。由于線性時變模型預測控制算法相比于非線性模型預測控制算法具有計算簡單和實時性好等優點[3]，因此，文章通過MATLAB/Simulink軟件搭建基于運動學模型的線性時變模型預測控制算法，研究在給定工況下的軌跡跟蹤特性。

1 線性時變模型預測控制原理

以線性狀態控制模型為基礎，依次推導模型預測控制的預測方程、優化求解及反饋機制[4]。

1.1 預測方程

首先考慮離散線性化模型：

式中：x（k）——n維狀態變量；

u（k）——m維控制輸入變量；

Ak,t——狀態變量系數矩陣；

Bk,t——控制變量系數矩陣。

為了使整個離散化模型的關系更加明確，將系統未來時刻的輸出以矩陣的形式表達：

式中：η（t）——預測時域Np內的變形后系統輸出變量；

ξ（t）——預測時域Np內的變形后系統狀態變量；

Ct——輸出系數矩陣；

ΔU（t）——控制時域Nc內的系統輸入增量；

ψt——變形后的系統輸入變量狀態矩陣；

θt——變形后的系統輸入增量狀態矩陣。

通過觀察式（2），可以看到，在預測時域內的狀態量和輸出量都可以通過系統當前的狀態量（ξ（t｜t））和控制時域內的控制增量（ΔU（t））計算得到。這也就是模型預測控制算法中“預測”功能的實現。

1.2 QP（二次規劃）問題的轉化

系統控制時域（Nc）內的 ΔU（t）是未知的，通過設定合理的優化目標函數并使其最小化，可求得在Nc內滿足約束條件的最優控制序列。

考慮目標函數如下：

式中：η（t+i｜t）——參考輸出量，i=1,…,Np；

ηref（t+i｜t）——理想參考輸出量，i=1,…,Np；

Δu（t+i｜t）——輸入增量，i=1,…,Nc-1；

Q，R——權重矩陣。

其中，第1項（Q的2范數）用于懲罰系統在Np內，輸出量與參考輸出量之間的偏差，即反映了系統對參考軌跡的快速跟蹤能力；第2項（R的2范數）用于懲罰系統在Nc內的控制增量大小，即反映了系統對控制量平穩變化的要求；同時，在實際的控制系統中，往往需要滿足系統狀態量及控制量的一些約束條件，一般如下：

控制量約束：

控制增量約束：

輸出約束：

1.3 反饋控制

在每個控制周期內完成對式（5）求解后，得到了控制時域內的一系列控制輸入增量：

根據模型預測控制的基本原理，將該控制序列中第1個元素作為實際的控制輸入增量作用于系統，即：

式中：u（t）——系統的實際控制量。

系統執行這一控制量直到下一時刻。在新的時刻，系統根據狀態信息重新預測下一階段時域的輸出，通過優化過程得到一個新的控制增量序列。如此循環往復，直至系統完成控制過程。

2 線性時變模型預測控制仿真

2.1MATLAB仿真條件

無人駕駛汽車從坐標原點出發，以期望縱向速度（v=1m/s）跟蹤一條直線軌跡（y=3m），采樣時間為50ms，仿真總時間設定為20 s。

2.2 低速運動學模型線性化處理

由于控制目標是無人駕駛汽車在低速情況下的跟蹤控制，因此考慮以汽車運動學方程作為預測模型，低速情況下的汽車運動學方程形式如下[5]：

式中：xr，yr——汽車后軸軸心處的橫縱坐標；

φ——汽車航向角，（°）；

δf——前輪轉角，（°）；

l——汽車軸距，m；

vr——汽車后軸中心的速度，m/s。

對其進行線性化，得到線性時變模型為：

式中：T——采樣時間，s；

δf,r——汽車在r點的前輪轉角，（°）。

2.3 汽車運動學模型的驗證

為驗證所建立的汽車運動學模型，在MATLAB/Simulink環境中搭建該運動學模型，對無人駕駛汽車的直線軌跡跟蹤過程進行仿真驗證，其仿真結果，如圖1～圖4所示。

圖1 跟蹤理想軌跡的實際運行結果

圖2 系統狀態量隨時間的變化曲線

圖3 狀態量偏差隨時間的變化曲線

圖4 控制量隨時間的變化曲線

由圖1可以看出，實際軌跡從原點出發能夠跟蹤上真實直線軌跡（y=3 m）；由圖2和圖3可知，汽車的橫向、縱向位移和前輪轉角均能很好地跟蹤理想軌跡，最終達到穩定狀態；由圖4可知，無人駕駛的控制量縱向速度和角加速度均能最終達到穩定的狀態。

3 結論

文章通過線性時變模型預測控制仿真得出，無人駕駛的狀態量和控制量均能很好地反映出汽車在跟蹤過程中，實際狀態量均能實時跟蹤理想的狀態量實時狀態變化，最終達到穩定狀態，控制量也經過一定變化達到最終的穩定狀態，這說明在低速跟蹤過程中，線性時變模型預測控制算法能夠實時跟蹤汽車的行駛軌跡，并且保證汽車行駛過程中的實時性和穩定性。