基于MATLAB的支架裝配精度優化算法

郭閱

（中國第一汽車股份有限公司技術中心）

在轎車開發過程中，零部件與整車的連接是非常重要的一環，幾乎所有的零部件都是通過螺接、卡接或粘接等方式裝配到整車上。這些零部件的裝配精度直接影響了整車的品質。外觀件裝配精度差主要影響整車的美觀性，重要部件（如底盤件）裝配精度差會直接影響整車的性能。在工作中經常遇到由于尺寸鏈過長而導致零部件裝配精度很差或零部件裝配不上的情況。為了保證零部件的裝配精度，最好將零部件直接連接到整車上，但有時需要在該件與整車之間增加1個支架，增加的支架會導致尺寸鏈變長，影響最終的裝配精度。支架的裝配精度會直接影響待裝零部件的裝配精度。文章對支架不同定位方式對裝配精度產生的影響展開說明，提出了一種快速分析及優化零件裝配精度的方法。

1 支架的定位

為了減少在生產線上的調整和保證裝配精度，支架在裝配前需要進行定位，常見的定位方式有：圓孔和長圓孔定位，以及圓孔和圓孔定位等。

1.1 圓孔和長圓孔定位

一般零件設計中常用圓孔和長圓孔進行定位，如圖1和圖2所示。通常要求長圓孔的長軸與2個螺栓中心點連線同軸，如圖1a所示。在這種情況下，即使2個螺栓的實際距離與理論距離存在偏差，粉色件也會有很高的定位精度，如圖1b所示。若長圓孔長軸線與螺栓中心連線不平行時，粉件在裝配過程中會在其理論位置附近產生一定的偏差，根據假設做出存在裝配偏差時的數模，如圖2所示。實際上，隨著長圓孔長軸線與螺栓中心連線的夾角逐漸增大，零件裝配后的位置與其理論位置的偏差也會越來越大。在不同夾角且存在裝配偏差的條件下，粉件長圓孔幾何中心偏離其理論位置的曲線圖，如圖3所示。

圖1 長圓孔長軸與螺栓中心連線同軸示意圖

圖2 長圓孔長軸與螺栓中心連線不同軸示意圖

圖3 長圓孔長軸與螺栓中心連線夾角與粉件裝配偏差的關系曲線

1.2 小圓孔和大圓孔定位

采用小圓孔和大圓孔定位（如圖4所示）的精度不如圓孔和長圓孔定位。如圖4a所示，粉色件的主定位孔直徑為φ8.2，考慮到M8焊接螺栓與粉件的大孔均存在位置度偏差，假定偏差為±1 mm，則粉色件的大孔至少要開到φ12才能保證正常裝配。圖4b示出粉件在裝配后可能出現的極限情況，其裝配位置與理論位置的最大偏差為1.715 mm，定位精度較差。

圖4 小圓孔和大圓孔定位示意圖

1.3 2個等直徑圓孔定位

轎車中出現2個等直徑圓孔定位的情況很常見，如蓄電池托盤、發動機及變速箱等件均屬這種情況。為了滿足這些孔的裝配精度需要對該件的裝配偏差進行分析。

圖5示出某電動車的充電機支架，在其上面需要固定充電機等零件，需分析支架固定孔裝配偏差以確定充電機能否正常裝配。如不考慮螺栓位置度偏差時，充電機支架與螺栓的裝配關系可以進行簡化，如圖6所示，其中里面的2個小圓可視為2個螺栓，其軸心分別為O1，O2；外面的2個大圓可視為支架安裝孔，其軸心分別為B，C。顯而易見，支架出現最大裝配偏差位置時，4個圓一定處于兩兩相切狀態中。將4個圓兩兩相切的位置都做出來（B，C圓心的位置由4個圓心連線組成的四連桿系統的運動包絡可以求出），在其中就可以找到支架最大裝配偏差所在位置，即BC與水平軸夾角最大的位置。裝配所引起的最大偏差位置即可轉化為求解四連桿中的BC桿的最大偏差位置，為方便敘述，將該分析方法命名為四連桿分析法。

圖5 某電動車充電機支架示意圖

圖6 某電動車充電機支架裝配關系簡化圖

2 四連桿分析法

四連桿分析法就是用四連桿機構[1]的運動位置來模擬支架與螺栓裝配后的極限位置，從而分析出支架最大裝配偏差位置的一種方法。

2.1 四連桿算法及仿真分析

為了不失一般性，建立了充電機支架四連桿機構的通用模型，如圖7所示。其中AB桿為原動件（即曲柄），CD桿為從動件（即搖桿），BC桿為連桿，AD桿為機架。將平面四連桿機構看成一個封閉的矢量多邊形，可得到如下矢量方程：

圖7 四連桿機構通用模型

因各桿長度不變，當α和γ的值確定后，BC桿的位置（相當于圖5中B，C孔心連線的位置）將被確定下來。

各矢量分別向水平軸和豎直軸投影，可列出方程組：

式中：α，β，γ，δ——AB桿、BC桿、CD桿、AD桿與水平軸的夾角，（°）。

因δ是常量，在方程組中消去β便可簡化為一個只包含α和γ的方程：

將式（5）代入式（2），可得：

當α給定時，求出能使f(γ)=0的γ值即可。

為了求出γ值，在MATLAB軟件中編寫一段程序，并做出了四連桿的動態仿真效果。算法簡介：因AB桿做圓周運動，α可在（0，2π）內取一組等間距的值，針對每個確定的α值在MATLAB軟件中使用fzero[2]函數即可求出對應的γ值。求出所有的γ值后即可做出四連桿機構的動態仿真效果，如圖8所示。

圖8 四連桿機構動態仿真顯示界面

2.2 支架裝配偏差分析

圖9示出充電機支架的移動坐標系。實際上，文章更關注的是圖9中T，S孔裝配后的偏差，因為它們是充電機的安裝點。為了求解T，S孔裝配偏差的極限位置，可以將該支架視為四連桿機構中的BC桿，以B孔心為原點，BC孔心連線為O′X′軸建立直角坐標系。

圖9 充電機支架的移動坐標系

在模擬支架動態仿真裝配時，T，S孔隨著支架一起運動，且這2個孔心與O′點的相對位置固定不變?？梢酝ㄟ^坐標變換的方法求出T，S孔心的全局坐標，然后就可以方便地找出這2個孔偏差的極值。由分析易知，T，S孔心的最大裝配偏差會出現在全局坐標的Y方向上，如圖10所示。圖11示出充電機支架移動坐標系與全局坐標系的變換關系。

圖10 充電機支架所在全局坐標系

圖11 充電機支架移動坐標系與全局坐標系的變換關系

在圖11所示的二維坐標系中，移動坐標系O′X′Y′中某點的局部坐標（xr，yr）對應全局坐標系OXY中的坐標為（xw，yw），由此可得出2個坐標系之間的變換關系為：

式中：θ——局部坐標系X′軸與全局坐標系X軸的夾角，（°）；

tx，ty——移動坐標系O′點在全局坐標系中的X，Y值，mm。

可以將BC軸心連線作為移動坐標系中的O′X′軸建立局部坐標系，如圖9所示，則易求出T，S孔心的局部坐標，由坐標變換公式即可求出支架T，S孔心的全局坐標。

為了計算出T，S點的最大偏差值，文章用四連桿分析法以及坐標變換公式并使用MATLAB軟件編寫了一個通用化的程序。若某零件有多個安裝孔（如上述支架、發動機或變速箱端面的裝配孔），只要這個零件使用2個等直徑圓孔定位，這個程序就可以快速求出該零件中其余安裝孔孔心的最大裝配偏差值。這樣就可以迅速判斷出其余安裝孔是否能正常裝配，如無法正常裝配，可以調整相關的公差值后使用該程序重新計算，最終能夠指導用戶選擇一個合理的公差值。

若想得到更符合實際情況的結果，使用這個程序前需要考慮螺栓以及支架的極限公差（孔徑公差及位置度公差等），并在繪圖軟件（如CATIA）中做出二者兩兩相切位置的二維圖，然后得到考慮極限公差后的四連桿以及T，S點的相關信息。

運行MATLAB程序時只需輸入上述參數即可很方便地求出所關心安裝點的極限偏差值，圖12示出MATLAB優化算法程序運行界面。

圖12 MATLAB優化算法程序運行界面

最終求得S，T點軸心沿全局坐標Y方向與理論軸心的極限偏差分別為-1.15 mm和2.006 mm。

3 程序分析結果的驗證

為了驗證MATLAB程序計算結果的準確性，在CATIA軟件中做出帶有極限公差的相關數模并用四連桿分析法進行虛擬樣機仿真分析，即DMU[3]分析。

DMU分析后生成了S點和T點的軌跡，如圖13所示，在其中可找出極限位置點，如圖13中紅色“o”形點所示。S點和T點軌跡的斷開部分是無解區域，其斷點位置與MATLAB程序的分析結果一致。

圖13 虛擬樣機仿真分析中S點和T點的運動軌跡

在CATIA中測出S，T點軸心沿全局坐標Y方向與理論軸心的極限偏差分別為-1.15 mm和2.003 mm，與MATLAB程序的計算結果對比誤差非常小，可以認為MATLAB程序的計算結果準確。

4 尺寸公差優化及裝車驗證

因S，T點軸心偏差已超過充電機固定孔位置度要求（S點處裝配孔軸心偏差應＜1 mm，T點處裝配孔軸心偏差應＜2 mm），為保證正常裝配，將部分公差值進行優化后使用MATLAB程序重新進行了計算。結果為S，T點軸心沿全局坐標Y方向與理論軸心的極限偏差分別為-0.9 mm和1.7 mm，滿足充電機的固定要求。

通過實際裝車進一步驗證了上述優化結果，支架與充電機安裝孔匹配良好，驗證了相關固定孔尺寸及公差的設置均合理。

5 結論

1）文章對零件不同定位方式的裝配精度進行了分析，并提出了一種等直徑圓孔定位的裝配誤差分析方法，即四連桿分析法。

2）使用MATLAB程序計算極大地提高了工作效率。此類問題采用傳統手算的方法無法分析，在CATIA中建模與分析的過程大約需8 h，而使用程序計算時先要得到MATLAB程序輸入對話框中的相關參數（此過程＜20 min），輸入相應值后馬上能得出分析結果，為優化設計節省了大量的時間。