球在水平旋轉(zhuǎn)圓盤上的運動分析

竇保英，魯 晨，黃志豪，李 琳，倪冰清，王春亮,b

(東北師范大學(xué) a.物理學(xué)院;b.物理學(xué)國家級實驗教學(xué)示范中心(東北師范大學(xué))，吉林 長春 130024)

球在水平旋轉(zhuǎn)圓盤上的運動分析

竇保英a，魯 晨a，黃志豪a，李 琳a，倪冰清a，王春亮a,b

(東北師范大學(xué) a.物理學(xué)院;b.物理學(xué)國家級實驗教學(xué)示范中心(東北師范大學(xué))，吉林 長春 130024)

研究了輕質(zhì)球在水平旋轉(zhuǎn)的圓盤上做無滑滾動時的運動情況,探究了圓盤轉(zhuǎn)速、輕質(zhì)球初始位置和速度等條件的影響. 實驗結(jié)果表明：小球在圓盤上做圓周運動，其運動周期是圓盤運動周期的7/2倍(實心球)或5/2倍(空心球)，運動軌跡與初始時刻小球釋放的位置、速度和圓盤的角速度有關(guān).

矢量分析；無滑滾動；運動軌跡

當(dāng)把輕質(zhì)小球放在水平旋轉(zhuǎn)的圓盤上，會發(fā)生有趣的現(xiàn)象：物體可以在圓盤上運動而不離開圓盤. 如果小球在圓盤上做無滑滾動，那么當(dāng)球被放置在轉(zhuǎn)盤某一位置時，小球會做圓周運動[1-2]. 小球運動的分析需要綜合運用理論力學(xué)中的許多知識，因此這既是一個有趣的小實驗，又是一道綜合性很強的力學(xué)題目，2016年國際青年物理學(xué)家競賽(IYPT)就將其列為題目之一[3]. 運用物理知識解釋小球不離開圓盤運動這一特殊的現(xiàn)象，可以充分鍛煉學(xué)生解決實際問題的能力. 此類題目探究性較強，屬于開放性問題，可切入的角度較多，有利于開展啟發(fā)式、探究式教學(xué)，促進大學(xué)物理教學(xué)改革[4]. 本文觀測了輕質(zhì)小球在旋轉(zhuǎn)圓盤上的運動，探討了相關(guān)的影響因素，并用剛體力學(xué)中的矢量分析對小球的運動進行了理論研究，解釋了實驗中觀察到的現(xiàn)象.

1 實驗觀測

實驗裝置如圖1所示，采用直徑為40 cm的木質(zhì)圓盤作為轉(zhuǎn)盤，用功率為40 W電機(含調(diào)速器)來驅(qū)動轉(zhuǎn)盤. 在轉(zhuǎn)盤的邊緣有光電門，用于測量轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速. 為了減少小球?qū)A盤轉(zhuǎn)動慣量的影響，實驗采用乒乓球作為觀測對象.

(a)示意圖

(b) 實物圖圖1 實驗裝置

實驗中，用固定在圓盤正上方的攝像機來拍攝小球的運動，然后在得到的視頻中用Tracker軟件[5-6]追蹤小球的運動，得到小球的運動軌跡.

2 實驗結(jié)果與討論

當(dāng)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速為6 rad/s，小球初始距離圓盤中心約為15 cm時，觀察到了圖2所示的軌跡：小球剛開始做圓周運動，隨著時間的推移，半徑逐漸變大，最后飛出圓盤. 經(jīng)過多次實驗，猜想小球運動軌跡半徑變大可能與圓盤平面不夠水平有關(guān)，在理想情況下小球會保持穩(wěn)定的圓周運動. 為減小實驗誤差，采用前幾圈的軌跡半徑并取平均.

圖2 小球的運動軌跡

為了研究影響小球運動軌跡的因素，改變圓盤轉(zhuǎn)速，并將小球從同一位置以相同速度釋放，發(fā)現(xiàn)小球剛開始做圓周運動，后來軌跡半徑逐漸變大，與圖2相似. 進一步測量在不同轉(zhuǎn)盤角速度下，小球在做圓周運動時的半徑ρ，得到的數(shù)據(jù)如表1所示. 顯然，角速度Ω越大，ρ越小，二者是負(fù)相關(guān).

表1 不同轉(zhuǎn)速下小球的軌跡半徑

對數(shù)據(jù)進一步擬合，得到圖3，小球的軌跡半徑和轉(zhuǎn)盤的角速度近似為反比關(guān)系，擬合的相關(guān)系數(shù)為0.993.

圖3 小球軌跡半徑隨轉(zhuǎn)盤角速度的變化

改變初位置時，得到下列結(jié)果：

1) 如果將小球在圓盤中心靜止釋放，那么小球?qū)⒃谠擖c保持繞自身豎直軸旋轉(zhuǎn).

2) 在距離圓盤中心約8 cm以內(nèi)釋放小球，且釋放前球有旋轉(zhuǎn)時(保證無明顯滑動)，球會圍繞1個點做圓周運動.

3) 如果在距離圓盤中心超出8 cm的位置釋放球，球會飛出圓盤.

此外，還發(fā)現(xiàn)球的運動軌跡與小球的初始速度有關(guān). 在保持圓盤轉(zhuǎn)速、小球初始位置不變的前提下，如果增大球的初速度，那么球的運動軌跡半徑會變大.

3 理論分析

用矢量分析方法[7]分析旋轉(zhuǎn)圓盤上小球的運動軌跡，建立如圖4所示的模型. 圓盤的角速度為Ω，小球的轉(zhuǎn)動慣量為kma2，半徑為a，C點為小球的質(zhì)心，P點為球與圓盤的接觸點，小球?qū)點、P點的角動量分別為LC和LP.

圖4 運動模型示意圖

假設(shè)小球在圓盤上做無滑滾動，則小球在P點的速度和圓盤在P點的速度相等，即

(1)

(2)

LC=kma2(ω1i+ω2j+ω3k),

(3)

球相對P點的角動量等于質(zhì)心相對P點的角動量與球相對質(zhì)心的角動量之和，因此

(4)

所以有：

(5)

聯(lián)立(2)式和式(5)得到:

(6a)

(6b)

將(6a)兩邊求導(dǎo)得

(7)

將(6b)代入(7)式得

或

(8)

(8)式的解為

(9)

將(9)式代入(6a)式可得

(10)

由此可見，當(dāng)小球在圓盤上做無滑滾動時，只要滿足一定的條件，小球就可以不離開圓盤做圓周運動，圓心(x0,y0)由初始條件決定，實心球的運動周期是圓盤運動周期的7/2，空心球的運動周期是圓盤運動周期的5/2.

小球在圓盤上圍繞任意一點做圓周運動，角速度為ω，半徑為ρ，圓心的位置矢量為r0，顯然|ρ|和|r0|不變(如圖5所示)，且r=r0+ρ.

本論文中理論與實驗的結(jié)果并不完全一致，主要來自于以下幾方面實驗誤差：一是轉(zhuǎn)盤的水平問題，圓盤很難達(dá)到絕對平整，給實驗造成一定的影響；二是采用相機拍攝有視差，相機的幀數(shù)不夠高也帶來一定的誤差；三是Tracker模擬計算軌跡半徑有一定誤差.

圖5 圓軌跡運動模型

4 結(jié) 論

本文從實驗和理論兩方面研究了輕質(zhì)小球在水平旋轉(zhuǎn)圓盤上的運動軌跡. 影響小球運動軌跡的因素有初始時刻小球釋放的位置、速度和圓盤的角速度，其中小球運動軌跡的半徑只與小球釋放的初速度以及圓盤的角速度有關(guān)，圓心坐標(biāo)與初始時刻小球釋放的位置、速度和圓盤的角速度均有關(guān). 特別是小球做圓周運動時，軌跡半徑與圓盤轉(zhuǎn)速之間呈反比例關(guān)系. 假如圓盤面積足夠大，那么小球則可以不離開圓盤做圓周運動，其運動周期是圓盤運動周期的7/2倍(實心球)或5/2倍(空心球).

[1] Gersten J, Soodak H, Tiersten M S. Ball moving on stationary or rotating horizontal surface[J]. Am. J. Phys., 1992,60(1):43-46.

[2] Weltner K. Stable circular orbits of freely moving balls on rotating discs [J]. Am. J. Phys., 1979,47(11):984-985.

[3] http : // www.kit. ilyam. org / Draft_2016_IYPT_Reference_kit.pdf [EB/OL].

[4] 郭玉英. 以研究促改革:美國物理教學(xué)的發(fā)展變化及啟示[J]. 物理教師,2005,26(6):1-2.

[5] Brown D. Sharing video experiments with Tracker digital libraries[R]. AAPT Winter Meeting 2013CE01, 2013.

[6] Brown D.Video modeling: combining dynamic model simulations with traditional video analysis [R]. AAPT 2008 Summer Meeting, Edmonton Poster PST3-15,2008.

[7] 周衍柏. 理論力學(xué)[M]． 北京：高等教育出版社，2009：91-92．

[8] 肖士珣. 理論力學(xué)[M]. 2版. 長春：東北師范大學(xué)出版社，1983:120-121.

[責(zé)任編輯：任德香]

Analyzing the movement of a ball on a horizontal rotating plate

DOU Bao-yinga, LU Chena, HUANG Zhi-haoa,LI Lina, NI Bing-qinga, WANG Chun-lianga,b

(a.School of Physics； b.National Demonstration Center for Experimental Physics Education(Northeast Normal University), Northeast Normal University, Changchun 130024, China)

The movement of a light ball rolled without sliding on a horizontal rotating plate was studied experimentally. The influences of the rotating speed of the plate and the initial position and velocity of the ball were explored. The experimental results showed that the ball on the plate did a circular motion. The period was 7/2 (solid ball) or 5/2 times (hollow ball) that of the plate, and the trajectory was affected by the rotating speed of the plate and the initial position and velocity of the ball.

vector analysis; rolling without sliding; trajectory

2017-03-08

竇保英(1996-)，女，河南新鄉(xiāng)人，東北師范大學(xué)物理學(xué)院2014級本科生.

指導(dǎo)教師：王春亮(1980-)，男，吉林長春人，東北師范大學(xué)物理學(xué)院副教授，博士，從事光電材料研究.

O313.3

A

1005-4642(2017)08-0033-03