基于響應面法的微操作平臺可靠性穩健設計

胡俊峰， 楊展宏， 徐貴陽

(江西理工大學 機電工程學院， 江西 贛州 341000)

基于響應面法的微操作平臺可靠性穩健設計

胡俊峰， 楊展宏， 徐貴陽

(江西理工大學 機電工程學院， 江西 贛州 341000)

以一種新型微操作平臺為對象，考慮其結構參數的隨機波動，提出一種基于6σ穩健設計思想和響應面法的可靠性穩健優化設計思路。采用篩選實驗設計方法確定設計變量，采用中心組合試驗設計方法建立反映平臺性能指標的響應面模型。基于該模型采用一次二階矩法得到反映平臺可靠性和穩健性的性能指標，即平臺位移放大倍數、固有頻率和可靠性靈敏度的概率分布及可靠度。基于6σ穩健設計思想建立以平臺位移放大倍數、固有頻率和可靠性靈敏度的穩健性為目標，平臺可靠度為約束的可靠性穩健優化模型，采用序列二次規劃法對平臺進行優化。將穩健優化和確定性優化結果進行比較分析可知，平臺位移放大倍數、固有頻率和可靠性靈敏度的方差分別減小了40.9 %、49.4 %、33.6 %，可靠度由61.36 %提高到99.78 %，實現了可靠性穩健優化的設計要求，說明了設計思路和理論模型的有效性。

微操作平臺； 可靠性； 穩健設計； 響應面法； 實驗設計

微操作平臺廣泛應用于生物工程、醫療科學、微機械制造、超精密加工、集成電路制造、掃描探針顯微鏡、光纖對接、光學微處理、航空航天等前沿領域[1-3]。柔順機構是以柔性鉸鏈代替傳統運動副，利用柔性鉸鏈的彈性變形傳遞或轉換運動和力的一種新型機構，具有無摩擦、無間隙、分辨率高、一體化加工和免裝配等優點，適宜作為微操作機器人執行機構[4-5]。

目前，國內外學者對微操作平臺研究主要集中于構型設計、理論建模、力學性能的分析和優化設計[6-9]，但由于平臺的加工制造精度或其他隨機波動因素的存在，如平臺的結構參數與理想值存在偏差，平臺所要求的性能指標難以得到保證。所以，如何減小結構參數的隨機波動對平臺性能的影響對其實際工程應用具有重要的意義。微操作平臺在實際應用中對其設計和性能要求越來越高，不僅要具有微納米級的運動精度，而且要有較大的運動空間，同時，還要具有較大的強度及快速的響應等。但這些性能均與結構參數有關，當結構參數隨機變化，平臺的靜態性能與動態性能也會發生波動，這種波動對于要實現微納米級操作精度的平臺來說是不可忽略的，需要采用穩健設計思想以減小平臺性能對噪聲因素的敏感。同時，由于微操作平臺是通過柔性鉸鏈的變形傳遞運動和力，而且鉸鏈的厚度較小，平臺在操作過程中易發生斷裂，使得平臺失效。為了保證微操作平臺的使用壽命，需要對平臺進行可靠性穩健優化設計。

為了對微操作平臺進行可靠性穩健優化設計，需要建立反映其性能與結構參數之間關系的理論模型。目前，建模方法主要為偽剛體法和有限元法。由于偽剛體法是將柔性鉸鏈視為傳統運動副建立平臺的力學模型，該方法適宜于描述其靜態力學性能，所建立的模型精度低。有限元法是將柔順機構的柔性鉸鏈和桿件劃分為按一定方式相互聯結的單元，具有多個自由度，該方法描述平臺的力學性能具有精度高，但計算量大，計算效率低，不能得出機構參數與其性能之間的封閉形式的函數關系，不便于進行可靠性穩健優化設計。由于微操作平臺結構復雜，鉸鏈和桿件數量多，結構參數多，采用偽剛體法或有限元法均難以建立其精確的封閉形式的理論模型。響應面法是一種采用試驗設計理論對指定的設計點集合進行試驗，以預測非試驗點的響應值的建模方法，具有計算方便，易于迭代等優點[7]，所以可采用響應面方法得到平臺性能參數和極限狀態函數的顯式表達式，以進行可靠性穩健優化設計。

本文以一種新型1維微操作平臺為對象，采用響應面法建立反映平臺性能的模型，基于6σ穩健設計思想，考慮平臺結構參數的隨機波動，以平臺的位移放大倍數、固有頻率性能的穩健為優化目標，以可靠度為約束，建立微操作平臺多目標可靠性穩健優化數學模型，采用序列二次規劃法得到穩健優化最優解，并將穩健優化結果和確定性優化進行比較分析，以說明可靠性穩健設計優化的有效性。

1 微操作平臺的結構

圖1為1維微操作平臺，平臺由4組直圓型柔性鉸鏈和2組直梁型鉸鏈組成的兩條完全對稱的運動支鏈組成。平臺采用對稱結構且通過整體加工的方式使得平臺結構更為緊湊，同時由于對稱結構的互補性，可以消除機構的側向附加位移，具有較好的運動精度。平臺采用兩級杠桿放大原理以實現平臺的大操作空間，如圖1所示，桿II和直圓型柔性鉸鏈C、D和E組成一級杠桿放大機構，其以鉸鏈C為支點在鉸鏈E得到一級放大；桿I和直圓型柔性鉸鏈E、F和H組為二級杠桿放大機構。該平臺具有結構緊湊、放大倍數大、固有頻率和運動精度高等特點。

圖1 微操作平臺

微操作平臺結構參數如表1所示，r,t分別表示直圓型柔性鉸鏈半徑與厚度，Lm表示桿件間的間隙，L,b分別表示桿II、III的長度和寬度，LH表示鉸鏈H的長度；tH、tF分別表示鉸鏈H和F的厚度，LV表示桿V的長度；LR表示減重孔之間的距離，LF表示鉸鏈F的長度，d表示桿I的寬度，R表示減重孔的半徑，h表示平臺的厚度。

表1 微操作平臺結構參數

2 平臺可靠性穩健優化流程

6σ穩健優化設計是將可靠性設計和穩健性設計相結合的一種設計方法[10-12]，當產品的性能受隨機因素影響，能夠通過優化實現性能指標的均值達到理想值并使其方差最小化，從而將隨機變量對產品性能的影響控制在許可的范圍內。所以，基于6σ穩健優化設計思想對微操作平臺進行設計可以滿足平臺的可靠性和穩健性要求。圖2描述了平臺的6σ穩健優化設計思想，圖中點①表示平臺的確定性優化解，確定性優化為不考慮結構參數的隨機變化進行優化的結果，優化過程參考文獻[7]。但由于平臺的加工誤差會使其結構參數X在±ΔX范圍內隨機波動，則平臺在點①處的性能指標將會有一個較大波動Δf1。為了減小性能的波動，從圖2可看出，點①右邊存在一個相對平緩的區域，通過對微操作平臺進行穩健優化設計，得到這個區域的點②作為穩健優化解，當結構參數在相同的范圍±ΔX隨機波動時，此時性能指標的波動量為Δf2，由圖可知，Δf2明顯小于Δf1，說明點②相對于點①更為穩健，但是，點②處的性能指標的均值比點①處的均值更大。另外，點②右邊為更平緩的區域，這個區域的性能指標的波動更小，但是性能指標的均值遠離確定性優化解。因此，需要通過優化設計使得平臺性能指標的均值最優且波動最小。

圖2 平臺的穩健優化設計思想

微操作平臺的操作空間和動態響應速度是其性能好壞的兩個重要指標，可用位移放大倍數和固有頻率表征該兩個指標，需要保證平臺位移放大倍數和固有頻率的穩健性。可靠性穩健優化流程如圖3所示，首先，確定對穩健優化目標影響較大的隨機波動參數，將其作為優化設計變量。然后，為了防止平臺斷裂失效，基于最大應力響應面模型得到平臺可靠度，獲得可靠性設計的指標；采用一次二階矩法得到平臺可靠性靈敏度的均值及方差，基于平臺位移放大倍數和固有頻率的響應面模型得到其均值及方差，得到滿足穩健性的指標；最后，基于6σ穩健設計思想，以平臺位移放大倍數、固有頻率和可靠性靈敏度的穩健性為目標，平臺的可靠度為約束，建立平臺可靠性穩健優化模型。采用序列二次規劃法求解優化模型，將可靠性穩健優化與確定優化結果的進行比較分析以驗證可靠性穩健優化的可行性。

3 確定設計變量

由于微操作平臺具有較多的結構參數，如均作為設計變量，會影響所建立的反映平臺性能指標與結構參數的響應面模型的精度和優化結果的準確性。因此，需要選取對平臺性能指標有較大影響的結構參數作為設計變量。篩選試驗設計是一種確定因子對于響應值是否顯著的試驗設計方法，具有試驗次數少、操作簡單等優點[12-13]，下面采用篩選試驗設計方法篩選對平臺位移放大倍數和固有頻率均有顯著影響的結構參數。

圖3 平臺可靠性穩健優化流程

篩選試驗設計是2水平的部分實驗設計，通過對每個因子取2水平進行分析，通過比較各個因子2水平之間的差異來確定因子的顯著性。根據平臺的13個結構參數范圍選取2水平，即高水平(+)和低水平(-)如表2所示。根據篩選試驗設計規則，對于N次試驗至多可分析N-4個因子的顯著性，且試驗次數N為4的倍數，需3個以上虛擬變量用于估計試驗誤差，所以，取N為20，虛擬變量為6，試驗點如表3所示，采用有限元軟件ANSYS分析可得對應于各試驗點的平臺位移放大倍數和固有頻率如表3所示。為了分析平臺各結構參數對平臺性能指標是否顯著，根據表3所示的試驗數據進行方差分析，得到各結構參數的偏回歸系數、平方和、及反映顯著性的概率如表4和表5所示，其中概率可表示為

Ps=P{F≤Fα(r-1,n-r)}

(1)

式中:Fα(r-1,n-r)表示在顯著水平α=0.05時F(r-1,n-r)分布的臨界值，r=2為水平數，n=19。由方差分析理論可知，根據Ps可確定各因子對響應是否顯著性，它們的關系為

(2)

由式(2)可得各結構參數對放大倍數和固有頻率的顯著性分別如表4和表5所示，由表4和5可知，對平臺位移放大倍數的顯著因素為tH、r、t、tF、LH、d、L，對固有頻率的顯著因素為b、tH、r、t、tF、LH、L、LF、R。選擇對放大倍數和固有頻率影響均較大的結構參數為設計變量X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]=[tH,r,t,tF,LH,L]T，設計變量取值范圍如表6所示。

表2 結構參數的2水平

表3 試驗點和響應值

表4 結構參數對位移放大倍數的顯著性

表5 結構參數對固有頻率的顯著性

表6 設計變量取值范圍

4 建立可靠性穩健優化模型

4.1 建立響應面模型

響應面法是一種采用試驗設計方法對指定的設計點集合進行試驗，得到目標函數和約束函數的響應面模型，以預測非試驗點的響應值的方法。具有k個設計變量的二階響應面模型為

(3)

為建立反映微操作平臺的性能指標與設計變量之間關系的響應面模型，采用中心組合試驗設計方法(CCD)產生試驗點，由于設計變量數為6，CCD試驗設計如果采用全因子試驗，析因試驗點較多，因此可忽略某些高階交互效應，采用1/2分式析因設計。同時為使二階響應面模型中的一階項系數及交叉項系數可估，試驗的分辨度應盡可能高，選用6個設計變量水平全為1的試驗點作為析因設計的試驗點，分辨度為VI。利用有限元得到各試驗點對應的固有頻率、位移放大倍數和最大應力的響應值，并根據試驗點和響應值進行回歸分析建立平臺的固有頻率、放大倍數和最大應力二階多項式響應面模型分別為

(4)

A(X)=9.34-3.57tH-0.3r-2.88t-2.16tF+ 3.92×10-3LH+0.14L-0.7r·LH+ 0.25r·L+0.09LH·L-0.87r2-0.02L2

(5)

σmax(X)=562.96-114.97tH+103.39r+891.99t- 622.52tF+19.66LH-42.69L- 336.88r·t+217.79r·tF+ 6.62r·L-38.54r2+0.32L2

(6)

為了評價響應面函數對響應值擬合的程度，可用評價指標復相關系數R2檢驗，其表達式為

(7)

由式可計算得平臺的固有頻率、放大倍數和最大應力的響應面模型的評價指標如表7所示，由表7可知，3個性能指標的響應面模型評價指標R2值均接近于1，說明所建立平臺的固有頻率、放大倍數和最大應力的響應面模型擬合度高，能準確反映3個性能指標和設計變量之間的關系。

表7 響應面模型的評價指標

4.2 平臺可靠度

由于微操作平臺通過厚度小的柔性鉸鏈傳遞運動和力，主要失效形式為柔性鉸鏈由于應力集中而發生塑性變形甚至斷裂。令極限狀態函數為

g(X)=σmax-στ

(8)

式中，στ為材料許用應力。平臺可靠度可表示為

R=P(g(X)<0)

(9)

由式(6)表示的最大應力響應面模型可得極限狀態函數為

g(X)=422.96-114.97tH+103.39r+891.99t- 622.52tF+19.66LH-42.69L-336.88r·t+ 217.79r·tF+6.62r·L-38.54r2+0.32L2

(10)

為了求解平臺的可靠度，采用一次二階矩法確定g(X)的分布，將g(X)進行泰勒展開可得

(11)

式中:Rn為余項;μi和σi(i=1,2,…6)分別為各結構參數的均值和方差。

對式(11)取數學期望，可求得極限狀態函數的均值和方差的表達式分別為

(12)

(13)

綜合式(12)和(13)，由可靠性指標定義可得平臺的可靠度指標為

(14)

則平臺可靠度可表示為[14]

R=Φ(β)

(15)

式中，Φ(·)為標準正態分布函數。

4.3 平臺可靠度靈敏度的均值與方差

為了保證平臺可靠度的穩健性，將其可靠度對設計變量的靈敏度作為目標，使得平臺的可靠度隨設計變量的波動變化小。

對式(14)求偏導可得可靠度指標對各設計變量的靈敏度為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

其中，

k=19.66LH-42.69L+103.39r+891.99t- 622.52tF-114.97tH+6.62Lr-336.88rt+ 217.79rtF+0.32L2-38.54r2+422.96

(22)

為了實現平臺可靠度波動小，可靠性指標對每個設計變量的靈敏度均要求最小化，因此，定義可靠性靈敏度為

(23)

由式(16)～(23)可知，平臺可靠性靈敏度為隨機量，可采用均值和方差表達其特征，綜合式(12)、(13)和式(23)，采用一次二階矩法可求得可靠性靈敏度的均值和方差分別為

(24)

(25)

4.4 平臺性能指標均值及方差

對于微操作平臺可靠性穩健設計，在保證平臺可靠性穩健的同時，需要考慮結構尺寸波動對于平臺性能的影響，因此，需要分別求解出位移放大倍數、固有頻率的均值和方差。

對于位移放大倍數，根據式(5)表示的位移放大倍數響應面模型，采用一次二階矩法可得其均值和方差分別為

(26)

(27)

同理，可由式(4)可得固有頻率的均值和方差為

(28)

(29)

4.5 可靠性穩健優化模型

對于微操作平臺，位移放大倍數和固有頻率分別反映了平臺的操作空間和響應速度，優化目標之一是希望其均值越大越好，波動小，即其方差越小越好，以保證平臺性能的穩健性。為了保證平臺的可靠度，將可靠度的靈敏度的均值及方差最小作為目標之二。同時，為了滿足可靠性要求，將平臺可靠度作為約束。由此可知，該優化問題為屬于多目標優化，根據各目標的重要性及其數量級的不同，采用目標權重系數和歸一化系數將多目標優化問題歸一化處理為單目標優化問題，則該可靠性穩健優化模型可表示為

minF(X)=

(30)

微操作平臺的可靠性穩健優化問題屬于非線性約束優化問題，采用序列二次規劃法求解式表示的優化模型，目標值在優化迭代中的變化如圖4所示，從該圖可知，在迭代過程中，目標值逐漸變小，滿足優化設計要求。

為了說明可靠性穩健優化設計的有效性，將穩健優化結果與確定性優化結果進行比較分析。由于平臺采用電火花加工，加工精度較高，設平臺制造允許誤差Δ采用公差等級為T10，且設其結構參數服從正態分布，設計變量的初始均值為[0.51,2.6,0.5,0.52,3.3,29.4]，選取各變量標準差σ=Δ/6，由標準公差表可查得在平臺制造允差為T10情況下各變量標準差分別為[0.004 2,0.004 2,0.004 2,0.004 2,0.005,0.008 7]。

確定性和穩健優化結果如表8所示，從表8可看出，它們存在差別。首先比較分析平臺的穩健性，分別將確定性和穩健優化結果代入式(24)～(29)分別可得位移放大倍數、固有頻率和可靠性靈敏度的分布如圖5所示，各指標的均值和方差如表9所示。從圖5和表9可得出如下結論：① 穩健優化后的位移放大倍數、固有頻率和可靠性靈敏度的方差分別減小了40.9 %、49.4 %、33.6 %，說明平臺的性能波動更小，提高了其穩健性；② 固有頻率均值增加了3.9 %，但位移放大倍數均值減小了7.3 %，說明穩健優化的結果與確定性優化接近，能滿足平臺的性能要求。然后比較分析可靠性指標，將確定性和穩健優化結果代入式(14),(15)可得平臺的可靠度指標與可靠度如表10所示，由該表可知，平臺可靠度由61.36 %提高到99.78 %，說明能保證平臺的可靠性要求。

圖4 優化目標值在優化迭代過程中的變化

Fig.4 Changes of the optimal values in the process of optimization iteration

(a)

(b)

(c)

設計變量tHrttFLHL穩健優化0.552.70.530.473.127.4確定優化0.472.30.450.413.526.2

表9 確定性優化與穩健優化的穩健性指標

表10 確定性優化與穩健優化的可靠性指標

5 結 論

以一種新型的微操作平臺為對象，考慮平臺結構參數的隨機波動，提出一種基于6σ穩健設計思想和響應面法的可靠性穩健優化設計思路，以提高其穩健性和可靠性。建立以平臺位移放大倍數、固有頻率和可靠度靈敏度的穩健性為目標，以平臺可靠度為約束的可靠性穩健優化模型，采用序列二次規劃法求解該模型。與確定性優化相比穩健優化后的位移放大倍數、固有頻率和可靠性靈敏度的方差均比確定性減小了40.9 %、49.4 %、33.6 %，平臺可靠度由61.36 %提高到99.78 %，實現了可靠性穩健優化的設計要求。所提出設計思路和理論模型可用于其他微操作平臺的可靠性設計。

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Reliability-based robust design of a micro-manipulation Stage with response surface method

HU Junfeng, YANG Zhanhong, XU Guiyang

(School of Mechanical & Electrical Engineering, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, China)

A novel micro-manipulation stage was taken as a design object, a reliability-based robust optimization design method was proposed based on the 6σ robust design idea and the response surface method considering random fluctuations of its structural parameters. The design variables were determined with screening tests. The response surface model reflecting the stage’s performance indexes was built with the central composite design. Based on this model, the first-order second moment method was used to obtain performance indexes to reflect the stage’s reliability and robustness, they are probability distributions of the stage’s displacement amplification factor, its natural frequencies and its reliability sensitivity and the stage’s reliability. Based on the 6σ robust design idea, the stage’s reliability-based robust optimization model was established taking robustness of the stage’s displacement magnification factor, its natural frequencies and its reliability sensitivity as the objective, and the stage’s reliability as the constraint. The sequential quadratic programming method was adopted to solve this optimization problem. Comparing the results of this robust optimization with those of the deterministic one, it was shown that the variances of the stage’s displacement magnification factor, its natural frequencies and its reliability sensitivity decrease by 40.9%, 49.4% and 33.6%, respectively; the stage’s reliability increases from 61.36 % to 99.78 %; so the proposed design meets the design requirements of reliability-based robust optimization, the effectiveness of the proposed design idea and theoretical model is verified.

micro-manipulation stage; reliability; robust design; response surface method; test design

國家自然科學基金(51265016; 51565016)

2015-12-30 修改稿收到日期：2016-06-19

胡俊峰 男, 博士,副教授，1978年生

TH122

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.037