《信號分析與處理》教學理論框架建立

鄔世英

(長江大學地球物理與石油資源學院，湖北 武漢 430100)

《信號分析與處理》教學理論框架建立

鄔世英

(長江大學地球物理與石油資源學院，湖北 武漢 430100)

《信號分析與處理》是勘察技術與工程專業一門重要的基礎課程，涉及的內容抽象、公式繁多，理論分析與實際應用結合困難。根據該課程多年的講授經驗，并結合學生反饋的接受情況，闡述了《信號分析與處理》理論框架建立的必要性，重點提出了該課程的2個理論框架——基于抽樣定理的理論框架和正交變換的理論框架，并以該課程的主要知識點為例，詳細講解了基于2個理論框架的各知識點的關系梳理。

信號分析與處理；理論框架；抽樣定理；正交變換

勘查技術與工程專業的《信號分析與處理》課程，其主要內容是將《信號與系統》和《數字信號處理》2本書的內容結合起來，涉及的課程內容多、公式多、定義多、推導多，知識點容易混淆，學生普遍反映學習難度大。

筆者通過多年的教學實踐，充分認識到《信號分析與處理》是門具有思想性、方法性的課程，要做到課程教學系統性、條理性和易接受性，授課教師必須在授課過程中注重理論框架的建立，進而通過該理論框架系統地梳理整個課程的知識點，將各相關知識點有機地聯系起來。通過建立理論框架，達到提綱挈領、總攬全局的效果。

在《信號分析與處理》課程中，需要建立怎樣的理論框架呢？根據多年的教學實踐，筆者以為該課程的理論框架主要是基于抽樣定理和正交變換。

1 基于抽樣定理的理論框架

在工程中的許多信號實際是連續時間信號，但是用計算機處理上述信號時，首先需要對連續信號進行抽樣得到離散信號，離散信號和連續信號就是局部和整體的關系[1]。離散信號可以恢復為連續信號的條件就是時域抽樣定理的內容，即：一個最高頻率為fm的頻帶有限信號f(t)，在抽樣頻率fs≥2fm的條件下，可由它在均勻間隔點的抽樣值進行唯一的確定[2]。

抽樣定理是連續信號與離散信號的橋梁，通過抓住抽樣定理這個理論基點，可以很好地將連續信號和離散信號的各個知識點、各種變化系統地進行梳理：①離散信號的頻譜是連續信號頻譜的周期延拓，延拓周期是抽樣頻率；②整個課程可以分為連續時間部分和離散時間部分，信號可以分成連續信號和離散信號，系統可以分成連續系統和離散系統；③針對連續信號的變換，有連續時間信號傅里葉級數分解(CTFS)、連續時間信號傅里葉變換(CTFT)、拉氏變換，針對離散信號的變換有離散時間信號傅里葉級數分解(DTFS)、離散時間信號傅里葉變換(DTFT)、離散傅里葉變換(DFT)、快速傅里葉變換(FFT)及Z變換。

有了抽樣定理的橋梁作用，在連續時間信號傅里葉變換的基礎上，很容易推導出離散時間信號的傅里葉變換公式，理解離散信號的頻譜。這樣，學生就可以輕松地從連續信號的傅里葉變換學習過渡到離散信號的傅里葉變換的學習，易于知曉上述各種變換的區別和聯系。

圖1(a)是連續非周期信號，其頻譜也是連續非周期信號(圖1(b))。通過抽樣定理將連續非周期信號進行等間隔抽樣得到離散時間信號(圖1(c))，其傅里葉變換的頻譜是連續周期信號(圖1(d))。抽樣定理指出，信號時域的抽樣會導致頻域的周期性。通過該結論就可以判斷出離散信號頻譜的特征是周期性的。

圖1 CTFT和DTFT關系示意圖

連續、離散時間信號的傅里葉變換的正、反變換公式為：

(1)

(2)

(3)

(4)

結合抽樣定理，對比CTFT正、反變換式(1)、(2)與DTFT正、反變換式(3)、(4)之間的差異，可以發現，經過抽樣后，t改為n，Ω改為ω，式(1)的積分形式變成了式(3)的累加形式，其他形式是一致的。

2 基于正交變換的理論框架

信號正交分解在信號系統理論中占有重要地位。信號的正交分解猶如矢量的正交分解，是把信號分解成一系列正交分量之和。進行信號的正交分解是先選一組正交基底(信號)，再找出待分解信號在各基底上的投影，從而將信號表示為各基底信號的加權線性組合。在處理信號時，由于信號的各分量正交，互不影響，處理得以簡化[3]。在《信號分析與處理》課程中，涉及到的變換都屬于正交變換，只是采用的正交基函數不同，導致變換的不同。因此，在講解各種信號變換之前，提綱挈領地講述信號的正交分解，使得后面的各種變換容易引出，從而使學生對各種變換有總體的認識，不會孤立地看待每種變換。

在具體的講授過程中，首先講解正交變換的理論、正交信號集的概念、正交的組合系數的推導；然后詳細講述課程中出現的所有正交信號集以及與該集相對應的組合系數。在正交變換章節的授課中，將課程中除了Z變換的其他變換的理論公式全部推導出來，在后續課程的講解中，就不需要重新進行變換公式的推導，而且學生也易于接受，明白上述變換都是服從于正交變換這一基本原理。

《信號分析與處理》課程中用到的正交信號集主要有三角函數集、三角序列集、虛指數函數集和虛指數序列集。

三角函數集：

三角序列集：

虛指數函數集：

虛指數序列集：

式中：Ω0是基波頻率；kΩ0是諧波頻率；N為周期；k為頻率域的自變量。

對于周期CTFS，采用三角函數集得到三角函數形式的傅里葉級數，采用虛指數函數集得到指數形式的傅里葉級數；對于周期DTFS，采用三角序列集得到三角函數形式的傅里葉級數，采用虛指數序列集得到指數形式的傅里葉級數；DFT采用的是虛指數序列集。

3 結語

通過將基于抽樣定理和正交變換的2個理論框架應用到《信號分析與處理》課程教學中，可以很好地將課程的各個知識點和變換進行系統的梳理，使課程內容成為一介有機整體，讓學生更易于掌握和學習。

[1]程乾生. 數字信號處理[M].北京：北京大學出版社，2010.

[2]張華清, 許信玉，趙志軍. 信號與系統分析[M].北京：機械工業出版社，2006.

[3]吳京，果明明，徐忠富，等. 信號與系統分析[M].長沙：國防科技大學出版社，1999.

[編輯] 龔丹

2016-08-27

鄔世英(1978-)，女，博士，講師，主要從事地震信號處理的教學與研究工作，wushiyingok@163.com。

G642.0

A

1673-1409(2017)15-0040-03

[引著格式]鄔世英.《信號分析與處理》教學理論框架建立[J].長江大學學報(自科版), 2017,14(15):40～42.