基于積分反步法的四旋翼飛行器軌跡跟蹤控制

石 川

(四川理工學(xué)院自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，四川 自貢 643000)

基于積分反步法的四旋翼飛行器軌跡跟蹤控制

石 川

(四川理工學(xué)院自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，四川 自貢 643000)

四旋翼飛行器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型是多輸入多輸出(MIMO)、強(qiáng)耦合和非線性的。首先，對(duì)四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模。接著，提出了一種基于積分型的反步控制方法應(yīng)用于四旋翼飛行器的穩(wěn)定飛行及軌跡跟蹤控制。通過引入跟蹤誤差的積分項(xiàng)，從而降低飛行器進(jìn)行軌跡跟蹤時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。整個(gè)控制系統(tǒng)采用雙閉環(huán)回路結(jié)構(gòu)，內(nèi)回路用于穩(wěn)定飛行器的姿態(tài)角，而外回路用于控制飛行器的高度和水平方向的位移。最后，通過與傳統(tǒng)的反步(Backstepping)控制法做實(shí)驗(yàn)對(duì)比，結(jié)果表明，應(yīng)用積分反步(Integral Backstepping，IB)控制算法的飛行器能夠較為精確地完成飛行器軌跡跟蹤的任務(wù)。

積分反步；四旋翼飛行器；軌跡跟蹤

引 言

四旋翼飛行器因其具有高度的機(jī)動(dòng)性，且可以根據(jù)工作需求改變機(jī)身大小，成為了越來越受歡迎的研究平臺(tái)[1]。為了執(zhí)行各種任務(wù)，如對(duì)自然災(zāi)害的監(jiān)視或軍事監(jiān)視，軌跡跟蹤是四旋翼飛行器的基本功能。

反饋線性化方法[2-3]是為克服四旋翼飛行器的非線性和欠驅(qū)動(dòng)而提出的。相較于自適應(yīng)滑模控制器[2]，線性化反饋在嘈雜環(huán)境下顯示出良好的效果。文獻(xiàn)[3]提出了一種線性化H∞控制器，其對(duì)參數(shù)和擾動(dòng)的不確定性具有魯棒性。反步法[4-12](Backstepping)是以Lyapunov控制理論為基礎(chǔ)，要求系統(tǒng)方程為嚴(yán)反饋形式，一種由前向后遞推的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[13-15]分別將自適應(yīng)控制方法和模糊控制方法與傳統(tǒng)的反步控制相結(jié)合，使控制器更具魯棒性與抗干擾性，從而更好地完成對(duì)飛行器的軌跡跟蹤任務(wù)。

本文提出的積分反步法(Integral Backstepping，IB)，是在傳統(tǒng)的反步法基礎(chǔ)上添加了跟蹤誤差的積分項(xiàng)，以此來彌補(bǔ)穩(wěn)態(tài)誤差，用于控制飛行器穩(wěn)定飛行及飛行器的軌跡跟蹤。

1 四旋翼飛行器的建模

四旋翼飛行器的動(dòng)態(tài)建模在很多方面得到了很好的解決。首先，定義飛行器的參考系。通常認(rèn)為慣性坐標(biāo)系固定于地球，即E(OE,X,Y,Z)。機(jī)體坐標(biāo)系則是以飛控板為重心、以XYZ為軸向定義的，即B(OB,x,y,z)，如圖1所示。

圖1 四旋翼飛行器的參考坐標(biāo)系

四旋翼飛行器可以看作是一個(gè)具有六個(gè)自由度和四個(gè)輸入項(xiàng)的欠驅(qū)動(dòng)的剛體，其動(dòng)力學(xué)模型則是描述其空間姿態(tài)和位置信息的一個(gè)數(shù)學(xué)方程組。這四個(gè)輸入項(xiàng)Ui(i=1,2,3,4)與四個(gè)電機(jī)的旋轉(zhuǎn)角速度ωi(i=1,2,3,4)的關(guān)系為：

(1)

本文中，做出了如下假設(shè)：(1)結(jié)構(gòu)體是呈剛性且對(duì)稱的；(2)螺旋槳也是剛體；(3)電機(jī)的推力和阻力正比于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的平方；(4)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)軸平行并平行于Z軸方向；(5)忽略地面效應(yīng)；(6)慣性矩陣時(shí)不變；(7)忽略飛行器的彈性變形和所受沖擊。

為了便于后續(xù)對(duì)飛行器的位置、航向、速度和角速度的研究。根據(jù)上述假設(shè)，通過Newton-Euler方程，可以獲得飛行器的空氣動(dòng)力學(xué)方程：

(2)

其中，fB、τB分別是飛行器機(jī)體坐標(biāo)系的外力和扭矩，I表示慣性矩陣，即：

(3)

圖1中，機(jī)體主軸與機(jī)體坐標(biāo)系坐標(biāo)軸互相重合，所以式(3)改寫成：

(4)

通過以上公式以及配置空間的運(yùn)動(dòng)方程[8]，可以針對(duì)四旋翼飛行器的線性運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。因?yàn)樵趹T性坐標(biāo)系中，列寫飛行器的線性運(yùn)動(dòng)方程式簡單，而且在機(jī)體坐標(biāo)系中列寫飛行器的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方程也很方便，所以可以圍繞飛行器的重心來表示旋轉(zhuǎn)：

(5)

式中，ωd=ω4+ω2-ω1-ω3。

2 基于積分型的反步控制

2.1 四旋翼飛行器的狀態(tài)方程

(6)

其中,

其中，Xi(i=1～12)分別對(duì)應(yīng)狀態(tài)向量X中的12個(gè)具體狀態(tài)。

2.2 控制策略

四旋翼飛行器是一個(gè)強(qiáng)耦合、非線性以及欠驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)。本文采用的控制策略如圖2所示。

圖2 控制流程結(jié)構(gòu)圖

2.3 控制器設(shè)計(jì)

本文采用的積分型反步控制法是在傳統(tǒng)的反步控制[7-12]算法基礎(chǔ)上引入跟蹤誤差的積分項(xiàng)，以此更好地消除穩(wěn)態(tài)誤差。

2.3.1 高度控制器

首先設(shè)計(jì)基于積分型的反步控制器的四軸飛行器高度位置控制器。

針對(duì)二階系統(tǒng)：

(7)

首先，定義一個(gè)跟蹤誤差以及其積分項(xiàng)：

(8)

定義一個(gè)Lyapunov函數(shù)：

(9)

可以很明顯看出V(K5,e5)≥0，即正定，對(duì)式(9)進(jìn)行求導(dǎo)可得：

(10)

其中，f1是虛擬控制量，令

(11)

其次，定義一個(gè)二階的跟蹤誤差：

(12)

則

(13)

(14)

定義一個(gè)Lyapunov函數(shù)：

(15)

顯然是正定的，同樣求導(dǎo)可得：

(16)

(17)

系統(tǒng)穩(wěn)定。此時(shí)可得：

(18)

2.3.2 水平位置控制器

水平位置控制器分為X方向控制與Y方向控制，由于兩者算法推導(dǎo)類似于Z方向。故這里只給出X與Y方向控制方法的結(jié)論：

(19)

(20)

其中

最后，通過反解模塊就可將俯仰角和橫滾角的期望值求出，即：

(21)

其中

2.3.3 姿態(tài)控制器

內(nèi)環(huán)的姿態(tài)控制中，亦采用基于積分型的反步控制，且由于對(duì)俯仰角、航向角和橫滾角的算法推導(dǎo)近似，故只列寫俯仰角θ的推導(dǎo)公式。

假設(shè)二階虛擬系統(tǒng)：

(22)

同理可定義并推導(dǎo)得：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

X8X12a3-X8a4ωd-b2U3

(28)

定義一個(gè)Lyapunov函數(shù)：

(29)

顯然是正定的，求導(dǎo)可得：

(30)

(31)

同理可知，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由式(31)可得：

(32)

同理可得：

(33)

其中

最后通過式(1)反解并開方可得飛行器的四個(gè)電機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)速度，即：

(34)

3 仿真與分析

本文實(shí)驗(yàn)仿真平臺(tái)為MATLAB，程序以m文件的形式進(jìn)行編寫。四軸飛行器的相關(guān)物理參數(shù)見表1。為了驗(yàn)證本文控制算法的收斂性以及控制性能，設(shè)定的期望軌跡如式(35)，初始狀態(tài)為：X=[012×1]。

表1 四軸飛行器參數(shù)

(35)

經(jīng)過反復(fù)調(diào)試，最終運(yùn)用仿真參數(shù)見表2與表3。仿真結(jié)果如圖3～圖12所示。

表2 IB法仿真參數(shù)

表3 Backstepping法仿真參數(shù)

圖3 飛行器的速度

圖4 飛行器的速度絕對(duì)誤差

圖5 飛行器的位置

圖6 飛行器的位置絕對(duì)誤差

圖7 三維軌跡

圖8 飛行器的姿態(tài)角

圖9 飛行器的姿態(tài)角絕對(duì)誤差

圖10 飛行器的角速度

圖11 飛行器的角速度絕對(duì)誤差

圖12 飛行器的控制輸入

從圖5～圖9可知，采用傳統(tǒng)的Backstepping控制算法時(shí)的Z方向位置和航向角均存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，值分別為0.2和0.05，其余姿態(tài)角也存在小幅波動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差，而IB控制效果較為理想，無論是速度、位置還是姿態(tài)和角速度，跟蹤的絕對(duì)誤差極小，且保持在很小的范圍內(nèi)。圖12給出飛行器的四個(gè)控制輸入仿真圖。實(shí)驗(yàn)證明，應(yīng)用本文提出的IB控制算法的飛行器，飛行更加穩(wěn)定，軌跡跟蹤性更好。

4 結(jié)束語

本文提出的基于積分型的反步的控制算法應(yīng)用于MIMO且呈非線性強(qiáng)耦合的四旋翼無人機(jī)飛行控制系統(tǒng)中，能有效減小穩(wěn)態(tài)誤差。通過與Backstepping算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較，充分證明了系統(tǒng)收斂性好且穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)誤差極小，控制效果較為理想，軌跡跟蹤特性較強(qiáng)。后續(xù)工作將考慮陣風(fēng)等外界干擾因素，對(duì)參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)，提高抗干擾性能與魯棒性。

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Trajectory Tracking Control of Quadrotor Based on Integral Backstepping

SHIChuan

(School of Automation & Information Engineering, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong 643000, China)

The attitude dynamics model of the quadrotor is multi-input multiple output (MIMO), strong coupling and nonlinear. The dynamics of quadrotor is modeled firstly. Then, a kind of backstepping control method based on integral type is proposed to apply the stable flight and trajectory tracking control to the quadrotor aircraft. By adopting the integral term of the tracking error, the steady-state error of the trajectory tracking is reduced. Double closed loop structure is used in the entire control system. The inner loop is used to stabilize the attitude angle of the aircraft, and the outer loop is used to control the height and horizontal displacement of the aircraft. Finally, by comparing with the traditional backstepping control method, the results show that the application of Integral Backstepping (IB) control algorithm can complete the task of vehicle trajectory tracking more accurately.

Integral Backstepping；quadrotor；trajectory tracking

2017-05-05

四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)基金(2016JY0179)

石 川(1992-),男,河北邯鄲人,碩士生,主要從事無人機(jī)自適應(yīng)控制方面的研究,(E-mail)1102sc@sina.cn

1673-1549(2017)04-0029-07

10.11863/j.suse.2017.04.06

TP242; TP391.9

A