極化碼在衰落信道中的性能分析

陳文強(qiáng)+戴曙光

摘 要：通信傳輸過程中信號(hào)干擾衰落現(xiàn)象無可避免，信道編碼技術(shù)可以增加編碼增益，提高通信系統(tǒng)傳輸信道容量。極化碼理論上可以達(dá)到香農(nóng)信道容量極限，且具有較低的編譯碼復(fù)雜度，因此引入極化碼信道編碼技術(shù)。基于Matlab計(jì)算機(jī)仿真系統(tǒng)搭建衰落信道仿真模型，在接收端進(jìn)行去干擾處理，通過對(duì)比分析誤碼率和信噪比仿真曲線，發(fā)現(xiàn)誤碼率能夠降低30%，表明極化碼具有較好的抗衰落性能。

關(guān)鍵詞：極化現(xiàn)象；極化編碼；SC譯碼；衰落信道

DOIDOI：10.11907/rjdk.171241

中圖分類號(hào)：TP302

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-7800（2017）007-0023-03

0 引言

信道編碼技術(shù)可以增加編碼增益，節(jié)省寶貴的功率資源，已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)字通信系統(tǒng)中必不可少的關(guān)鍵技術(shù)[1]。極化碼是基于信道極化現(xiàn)象提出的一種新的信道編碼技術(shù)，在信息傳輸速率小于信道容量時(shí)，可以使信息的差錯(cuò)概率變得很小[2]。長(zhǎng)期以來人們致力于發(fā)掘可靠的信道編碼技術(shù)，從1950年Hamming的“檢錯(cuò)碼與糾錯(cuò)碼”開始，編碼技術(shù)水平逐漸提高，Turbo碼[3]和LDPC碼[4]的出現(xiàn)使編譯碼效率達(dá)到了一個(gè)新高度。但是眾多編碼方案從理論上未被證明可達(dá)到香農(nóng)信道容量極限[5]，編譯碼復(fù)雜度也較大。而極化碼信道編碼技術(shù)理論上可以達(dá)到香農(nóng)信道容量極限，且很大程度上降低了編譯碼復(fù)雜度。因此，研究極化碼編譯碼原理和極化碼在衰落信道[6]中的抗干擾性能，基于信道編碼技術(shù)構(gòu)建高質(zhì)量的通信系統(tǒng)則非常有價(jià)值。

1 信道極化

信道極化[7]是從給定的N個(gè)獨(dú)立的二進(jìn)制離散無記憶（Binary-Discrete Memoryless Channel，B-DMC）信道W中產(chǎn)生另一組N個(gè)信道{W（i）N ：1≤i≤N}的一個(gè)操作，該過程顯示了極化效應(yīng)，隨著N值增大，對(duì)于指數(shù)i，除了一部分被刪除的指數(shù)，對(duì)稱容量{I（W（i）N）}都無限接近"0"或"1"。由信道結(jié)合和信道分裂過程中產(chǎn)生信道極化現(xiàn)象。信道結(jié)合將N個(gè)B-DMC信道W融合為N維矢量信道WN：χN→yN，其中N=2n，n≥0。由N個(gè)信道W合成的信道為WN，WN可以遞歸地由兩個(gè)WN/2信道得到，依此類推。信道WN的輸入向量uN1首先轉(zhuǎn)換為中間變量sN1。轉(zhuǎn)換公式為：s2i-1=u2i-1⊕u2i，s2i=u2i。其中1≤i≤N/2。為使sN1轉(zhuǎn)換為vN1=（s1，s2，s3，...，sN），借助RN進(jìn)行置換操作，vN1則成為兩個(gè)獨(dú)立信道的輸入。在信道合并認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上研究信道分裂[8]，極化碼的信道分裂是把合成的信道WN分裂成一組N個(gè)同等的二進(jìn)制輸入信道W（i）N：χ→yN×χi-1，1≤i≤N。分離信道的轉(zhuǎn)移概率定義為：

式（1）中，（yN1，ui-11）和ui分別是W（i）N的輸出和輸入。

在這些信道結(jié)合和信道分裂的過程中，信道產(chǎn)生了一些特殊性質(zhì)[9]，稱為極化現(xiàn)象。具體表現(xiàn)為一部分信道容量{I（W（i）N）}趨于"1"，另一部分信道容量{I（W（i）N）}趨于"0"。如圖1為N=210，刪除率為0.5的信道極化圖形。

2 極化碼編碼

極化編碼是在信道極化現(xiàn)象基礎(chǔ)上構(gòu)造的一種接近于對(duì)稱信道容量的編碼。最主要的思想是構(gòu)建一個(gè)編碼系統(tǒng)，選擇通過信道結(jié)合、信道分裂后的信道來發(fā)送數(shù)據(jù)。極化碼是一種線性分組碼，編碼的核心內(nèi)容是構(gòu)造生成矩陣GN和選取信息位[10]。

在GN矩陣生成過程中，給出GN的數(shù)學(xué)定義，對(duì)于N≥2有：

式（2）中F=1 01 1，BN=RN（I2RN/2）（I4RN/4）……（IN/2R2）。

這里BN是一個(gè)置換運(yùn)算操作，稱為比特翻轉(zhuǎn)運(yùn)算。對(duì)于編碼而言，比特翻轉(zhuǎn)運(yùn)算可以省略，不改變編碼復(fù)雜度。

信息位的選擇對(duì)極化碼編碼有著重要影響[11]。挑選對(duì)稱容量大的信道作為信息位來傳輸信息，而相對(duì)小的作為凍結(jié)位。一般情況下，凍結(jié)位對(duì)于發(fā)送和接收端都是已知信息，則可以取為比特"0"。當(dāng)編碼塊長(zhǎng)度達(dá)到一定范圍時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)可靠的通信傳輸。

對(duì)于極化碼的構(gòu)造，極化碼編碼塊長(zhǎng)度N要求為2的冪次方，即N=2n。對(duì)于一個(gè)給定的N，按下式對(duì)信息比特進(jìn)行編碼：

式（3）中，uN1傳遞的是信息比特，GN為生成矩陣。

給定一個(gè){1，2，…N} 的子集A，記A的補(bǔ)集為Ac，結(jié)合式（3）有：

式（4）中，GN（A）為GN的子矩陣，如果固定A和uAc，而uA作為自由變量，即可得到從uA到xN1的一種編碼。

3 極化碼的SC譯碼

對(duì)于帶有參數(shù)的（N，K，A，uAc）的GN（A）陪集碼[12]，信息向量uN1由隨機(jī)部分uA（信息位）和固定部分uAc（凍結(jié)位）組合而成。信息向量編碼后得到的χN1經(jīng)過信道WN輸出得到y(tǒng)N1。譯碼的任務(wù)是生成uN1的一個(gè)估計(jì)值N1。若i∈Ac，則對(duì)于接收端而言，發(fā)送的ui為已知，結(jié)果則直接發(fā)送給相應(yīng)的判決元素；若i∈A，則第i個(gè)判決元素要依據(jù)已經(jīng)判決出來的i-11得到[13]。首先定義似然值（LR）：

采用一種遞歸的思想來解碼，這種遞歸算法運(yùn)算復(fù)雜度較低，加大了解碼速率[14]。遞歸式如下：

從上式可以看出，LR可以由一個(gè)長(zhǎng)度為N轉(zhuǎn)化為兩個(gè)長(zhǎng)度為N/2的計(jì)算，一直遞歸到長(zhǎng)度為1時(shí)停止，從而簡(jiǎn)化了復(fù)雜度，降低了硬件要求。當(dāng)N=1時(shí)，直接代入計(jì)算LR，公式為：

綜上述，采用這種遞歸算法的復(fù)雜度為O（Nlog2N），對(duì)極化碼解碼研究有很大貢獻(xiàn)。

4 極化碼衰落信道性能分析

4.1 極化碼衰落信道仿真系統(tǒng)

極化碼衰落信道仿真系統(tǒng)是建立在MATLAB語言基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的[15]，主要概括為5部分：①極化碼編碼前的準(zhǔn)備，要定義碼長(zhǎng)、碼率和信道的實(shí)現(xiàn)等；②編碼過程。編碼過程主要估計(jì)信息位集合A和子矩陣GN（A），構(gòu)建生成矩陣GN；③BPSK調(diào)制信號(hào)以及加性噪聲的加入，并且加入乘性干擾h因子（h為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)分布數(shù)，給信號(hào)帶來干擾，主要產(chǎn)生正負(fù)變換干擾），對(duì)應(yīng)的信道模型為y=hs+n；④解碼過程，即極大似然比計(jì)算；⑤仿真結(jié)果分析，即通過抽取信息位和計(jì)算極化碼編碼誤碼率來探討性能。

編碼準(zhǔn)備：在極化碼仿真系統(tǒng)的建立過程中，需要定義碼長(zhǎng)和碼率，這是編碼階段生成矩陣GN和信息位選擇的前提條件，因此必須固定。作為一個(gè)通信系統(tǒng)搭建信道的條件，極化碼仿真系統(tǒng)的信道噪聲是在二進(jìn)制對(duì)稱信道條件下的加性高斯白噪聲。

編碼過程：按第2章節(jié)所述構(gòu)建生成矩陣GN并選取信息位。

調(diào)制過程：系統(tǒng)輸入端輸入的信息是單極性的"0"和"1"，但是雙極性的"-1"和"+1"會(huì)使信道利用率增加[16]，因此采用BPSK調(diào)制，主要用來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)0→-1，1→1的轉(zhuǎn)換，同時(shí)加入乘性干擾h因子。核心代碼段是：“h=randn（size（encoded_bits）），received_sample=h.*encoded_bits+noise”，造成輸入信號(hào)的衰落。

信道模型：y=hs+n。給輸入信號(hào)乘以一個(gè)h因子（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)分布數(shù)），隨機(jī)數(shù)值有正有負(fù)，從而對(duì)s的符號(hào)產(chǎn)生影響，不能判決s的正負(fù)性，導(dǎo)致通信系統(tǒng)癱瘓，這就是構(gòu)建的衰落信道模型。

解碼過程：譯碼即給出對(duì)接收的信息集A一個(gè)估計(jì)A。該仿真系統(tǒng)的譯碼方式是SC譯碼，采用遞歸算法可大大減少計(jì)算量。

4.2 極化碼在衰落信道的仿真結(jié)果分析

為了分析極化碼在衰落信道的性能，采用將計(jì)算機(jī)仿真和理論分析相結(jié)合的方法進(jìn)行研究。雖然計(jì)算機(jī)仿真存在一定誤差，但是通過大量的數(shù)據(jù)仿真還是可以獲得可信度較高的結(jié)果。所以在軟件仿真系統(tǒng)代碼中加入h（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)）因子作為乘性干擾得到第一條仿真曲線，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)輸出信號(hào)消除h帶來的正負(fù)變換干擾的影響得到第二條仿真曲線。同時(shí)，又在不加乘性干擾的情況下直接在高斯白噪聲信道上得到第三條仿真曲線，將三條曲線放在一起作對(duì)比分析。如圖2所示是在BPSK調(diào)制下，碼率為12，碼長(zhǎng)為16，極化碼在衰落信道的仿真曲線。

每次調(diào)試運(yùn)行代碼含有16個(gè)信息位，每條曲線程序代碼循環(huán)次數(shù)為10 000次，得到較為平滑的曲線。對(duì)于信道模型，上文已給出數(shù)學(xué)表達(dá)式y(tǒng)=hs+n。對(duì)于通信傳輸系統(tǒng)接收端，要對(duì)s有一個(gè)準(zhǔn)確判斷，但隨機(jī)數(shù)h因子是隨機(jī)產(chǎn)生的，有正有負(fù)，從而干擾了對(duì)s的正確判斷接收。由圖2曲線（in fading without CSI）可以看出，當(dāng)加入h因子后，相比于高斯白噪聲信道下，系統(tǒng)已經(jīng)崩潰，失去了傳輸有效信息的作用，誤碼率接近60%，此時(shí)系統(tǒng)已失去了使用價(jià)值。因此，嘗試消除h帶來的符號(hào)判斷問題，即接收端實(shí)現(xiàn)y=|h|s+n。由圖2曲線（in fading with CSI）可知，系統(tǒng)得到一定程度恢復(fù)，誤碼率減少到接近30%，能夠進(jìn)行一定的信息傳輸。

5 結(jié)語

極化碼編碼的核心在于生成矩陣的構(gòu)造和信息位的選取，完成從源碼塊到分組碼塊的一個(gè)映射，編碼過程方便快捷。SC譯碼采用遞歸算法，各節(jié)點(diǎn)的判決值由上一節(jié)點(diǎn)直接調(diào)用，避免了對(duì)各節(jié)點(diǎn)判決值的反復(fù)計(jì)算，很大程度上降低了計(jì)算復(fù)雜度，加快了譯碼進(jìn)程。本文主要研究了極化碼在衰落信道的性能，通過構(gòu)建衰落信道仿真系統(tǒng)，在信號(hào)接收端消除乘性干擾。通過研究誤碼率曲線，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)傳輸效果有一定程度恢復(fù)，能夠進(jìn)行一定的信息傳輸，可見極化碼的抗衰落性能較好，但信號(hào)幅度有所衰減，平均能量被降低，傳輸過程中造成了能量損失。要研發(fā)出更好、更實(shí)用的極化碼通信系統(tǒng)，還需要更多學(xué)者不懈地探索。

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