Massive MIMO系統(tǒng)低復(fù)雜度ZF檢測算法

謝時(shí)埸+曹海燕

摘 要：基于諾依曼級數(shù)展開算法，將矩陣求逆轉(zhuǎn)化為一序列矩陣求和，在一定程度上降低了算法的復(fù)雜度，但是在計(jì)算優(yōu)化因子上耗費(fèi)了大量的計(jì)算資源而產(chǎn)生延遲。提出一種改進(jìn)算法，其基于諾依曼級數(shù)近似，將大矩陣相乘轉(zhuǎn)化為對角矩陣和空心矩陣，進(jìn)一步降低ZF算法的計(jì)算復(fù)雜度，且提出一種簡化優(yōu)化因子的方法，提高收斂速度，有效減少延遲。仿真結(jié)果表明，隨著接收天線增加，改進(jìn)算法譯碼性能接近傳統(tǒng)ZF算法，而檢測算法的復(fù)雜度由O（k3）降到O（k2），其中k為用戶數(shù)。

關(guān)鍵詞：Massive MIMO；迫零算法；諾依曼級數(shù)近似；優(yōu)化因子

DOIDOI：10.11907/rjdk.171220

中圖分類號：TP312

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-7800（2017）007-0036-04

0 引言

無線通信技術(shù)已進(jìn)入4G/5G時(shí)代，人們對無線通信系統(tǒng)更高速率傳輸數(shù)據(jù)的需求與日俱增。研究表明，基站端采用成百上千根天線的大規(guī)模天線陣列可以在不增加系統(tǒng)帶寬的情況下，大幅度提高通信系統(tǒng)的容量、頻譜利用率和系統(tǒng)性能，Massive MIMO被認(rèn)為是現(xiàn)代無線通信的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。

目前，Massive MIMO系統(tǒng)中仍存在很多尚需解決和有待深入研究的關(guān)鍵問題，如Massive MIMO系統(tǒng)的容量分析、信道信息獲取、傳輸技術(shù)、資源分配技術(shù)等。隨著基站天線數(shù)和用戶數(shù)的大量增加，系統(tǒng)計(jì)算復(fù)雜度也是影響系統(tǒng)應(yīng)用實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵問題之一[2]。眾所周知最大似然檢測算法具有最優(yōu)譯碼性能，但由于其復(fù)雜度隨著天線數(shù)目指數(shù)增加，很難應(yīng)用于Massive MIMO系統(tǒng)中，因而傳統(tǒng)MIMO系統(tǒng)中性能劣于最大似然檢測算法的低復(fù)雜度檢測算法，如最小均方差算法（MMSE，Minimum Mean Square Error）、迫零（ZF，Zero Forcing）算法等重新得到研究者的重視。文獻(xiàn)[3]中研究了當(dāng)系統(tǒng)配有低一個(gè)數(shù)量級的天線數(shù)時(shí)，采用RZF（Regular ZF）預(yù)編碼或線性MMSE檢測，可獲得逼近容量的性能。但是線性檢測算法涉及復(fù)雜矩陣求逆運(yùn)算，其計(jì)算復(fù)雜度仍然很高。為了簡化矩陣求逆過程，學(xué)者提出了利用里查德森方法避免矩陣求逆運(yùn)算[4]。文獻(xiàn)[5]提出了基于諾依曼級數(shù)近似算法，將矩陣的逆運(yùn)算轉(zhuǎn)化為截?cái)喽囗?xiàng)式求和，從而降低復(fù)雜度。但是大矩陣相乘帶來很高的復(fù)雜度，計(jì)算優(yōu)化因子也耗時(shí)較長導(dǎo)致延遲，特別是在接收天線數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于用戶數(shù)時(shí)。

為了進(jìn)一步降低計(jì)算復(fù)雜度，本文提出的改進(jìn)ZF算法是在諾依曼級數(shù)基礎(chǔ)上展開的。將大矩陣分解為對角矩陣和空心矩陣，有效地降低計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)通過改進(jìn)算法快速收斂條件得出簡化的優(yōu)化因子表達(dá)式。優(yōu)化因子簡化表達(dá)式有效減少系統(tǒng)的譯碼延遲，提高系統(tǒng)實(shí)時(shí)性。仿真結(jié)果表明，Massive MIMO系統(tǒng)天線數(shù)越大，所提出的改進(jìn)ZF算法檢測性能越接近傳統(tǒng)ZF算法，而復(fù)雜度得到有效降低，且改進(jìn)后算法的復(fù)雜度隨著天線數(shù)目的增加其上升的速度遠(yuǎn)低于ZF算法。

1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)模型如圖1所示。本文主要考慮單小區(qū)Massive MIMO系統(tǒng)的上行鏈路，該系統(tǒng)包括一個(gè)配備M根天線的基站和K個(gè)配備單天線的用戶。令H表示信道矩陣，其中第（i，j）個(gè)元素hji表示第i個(gè)用戶和第j根接收天線之間的信道增益，i=1，2，…，K，j=1，2，…，M。將用戶放信號和相應(yīng)的接收信號分別表示為x=[x1，x2，…，xK]T和y=[y1，y2，…，yM]T，其中xi和yj分別表示第i個(gè)用戶的發(fā)射信號和第j根接收天線的接收信號。令zj表示第j根接收天線的加性高斯白噪聲，方差為σ2z，那么M×KMIMO系統(tǒng)可以表示為：

2 諾依曼級數(shù)近似

檢測算法最主要的計(jì)算復(fù)雜度在于矩陣求逆運(yùn)算操作。具體來說，如果計(jì)算K×K維矩陣Z的逆矩陣需要O（K3）操作數(shù)，在K值很大時(shí)將導(dǎo)致求逆復(fù)雜度的迅速增加。因此，為了追求硬件實(shí)現(xiàn)的成本效益，有效的求逆方法至關(guān)重要。Stewart G W提出了諾依曼級數(shù)展開算法[6]。將矩陣Z-1作諾依曼級數(shù)展開可得：

式（5）只需要O（K2）的操作數(shù)，K為矩陣維度。與傳統(tǒng)矩陣直接求逆O（K3）的復(fù)雜度相比，諾依曼級數(shù)近似求逆算法復(fù)雜度大幅度降低。

3 單小區(qū)Massive MIMO系統(tǒng)低復(fù)雜度ZF檢測算法

ZF檢測算法的濾波矩陣為[7]：

其中，（·）H為埃米特轉(zhuǎn)置。ZF檢測算法的復(fù)雜度為O（K3），但是對于Massive MIMO系統(tǒng)來說復(fù)雜度依然太高。計(jì)算復(fù)雜度主要來自檢測算法中涉及大矩陣的求逆運(yùn)算操作。為此，采用諾依曼近似算法降低ZF檢測算法的復(fù)雜度。采用諾依曼級數(shù)近似[8-9]將WZF簡化為：

3.1 基于Diagonal矩陣分解

當(dāng)用戶數(shù)即K值較大時(shí)，大矩陣（HHH）l相乘依然會(huì)帶來較大的計(jì)算復(fù)雜度。為進(jìn)一步降低檢測算法的復(fù)雜度，將大矩陣HHH進(jìn)行分解。令矩陣RZF=HHH，其中H為獨(dú)立同高斯分布。在Massive MIMO系統(tǒng)中，基站天線數(shù)大于小區(qū)用戶數(shù)即M>K時(shí)，矩陣RZF成為對角占優(yōu)矩陣[10]。可將RZF分解為：

其中，DZF為RZF的主對角矩陣，EZF為空心矩陣即對角線上的元素全部是0。

將R-1ZF作諾依曼級數(shù)展開可得：

將式（9）代入式（6）可得：

由式（10）可知，大矩陣（HHH）-1求逆運(yùn)算轉(zhuǎn)化為（-D-1ZFEZF）的乘積之和，且對角矩陣的求逆運(yùn)算只需將對角線上的元素求倒數(shù)，因此諾依曼近似算法可以有效減少求逆運(yùn)算復(fù)雜度。并且合適的優(yōu)化因子αn提高近似算法的精度與加快算法的收斂速度。

3.2 優(yōu)化因子

本小節(jié)討論改善優(yōu)化因子α=[α0，α1，…，αL-1]的值，使改進(jìn)算法在保證快速收斂基礎(chǔ)上提高檢測性能，令：

其中，I為單位矩陣。設(shè)AZF=-D-1ZFEZF，則式（11）的左邊為：

因此，將復(fù)雜的求逆運(yùn)算轉(zhuǎn)化為諾依曼近似展開，以降低檢測的復(fù)雜度，并通過提出的優(yōu)化因子方法確保檢測性能的基礎(chǔ)上進(jìn)一步降低復(fù)雜度。

3.3 復(fù)雜度分析與性能仿真

（1）復(fù)雜度分析。算法的復(fù)雜度通常可以由乘法器、除法器和加法器的數(shù)量來衡量。由于ZF檢測算法的復(fù)雜度主要來自于矩陣的求逆運(yùn)算。求逆運(yùn)算中乘法器和加法器是主要復(fù)雜度的來源。因此統(tǒng)計(jì)基于Cholesky分解的精確矩陣求逆運(yùn)算[12]和本文提出的低復(fù)雜度ZF檢測算法的實(shí)數(shù)乘法器（一個(gè)復(fù)數(shù)的乘法器相當(dāng)于4個(gè)實(shí)數(shù)乘法器）和實(shí)數(shù)加法器（一個(gè)復(fù)數(shù)的加法器相當(dāng)于2個(gè)實(shí)數(shù)加法器）的數(shù)量，比較算法復(fù)雜度，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

從表1可以看出，當(dāng)L=2時(shí)改進(jìn)算法的復(fù)雜度為O（K2），而當(dāng)L=3時(shí)改進(jìn)算法與基于Cholesky分解的矩陣精確求逆運(yùn)算的復(fù)雜度都是O（K3）。當(dāng)選擇L=2時(shí)，改進(jìn)ZF算法的復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于精確求逆的方法。（2）性能仿真。基于單小區(qū)Massive MIMO上行鏈路系統(tǒng)模型，信道為瑞利衰落信道且假設(shè)接收端已知CSI，采用QPSK調(diào)制，噪聲為獨(dú)立同分布加性高斯白噪聲，基站天線數(shù)分別為16，32，64，單天線用戶數(shù)為8。仿真結(jié)果如圖2～圖4所示，圖中DNS表示無優(yōu)化因子的改進(jìn)ZF檢測算法，DNS-opt表示帶優(yōu)化因子的改進(jìn)ZF檢測算法，ZF表示傳統(tǒng)ZF檢測算法。

圖2在L=1、2、3和β=MK=2、4、8下，分別給出帶有優(yōu)化因子改進(jìn)ZF算法的譯碼性能仿真。觀察圖2，當(dāng)β固定時(shí)，隨著L的增加，有優(yōu)化因子改進(jìn)ZF檢測算法的性能逐漸提高，特別是在β較大時(shí)即基站側(cè)接收天線數(shù)較多時(shí)，當(dāng)L=2時(shí)改進(jìn)ZF檢測算法比L=1時(shí)有了大幅度的提高。當(dāng)L固定時(shí)，隨著β的增加，改進(jìn)ZF檢測算法性能也越來越好，特別是β較大時(shí)，算法的性能改善速度越來越快。

由圖3可得，L=2時(shí)帶優(yōu)化因子的改進(jìn)ZF檢測算法具有低復(fù)雜度的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)檢測性能接近于L=3時(shí)無優(yōu)化因子算法的性能。當(dāng)L=1時(shí)，雖然其復(fù)雜度是三者之中最低的，但是其檢測性能較差，不滿足需求。當(dāng)L=2或3，特別是在接收天線數(shù)較大時(shí)，改進(jìn)ZF算法的性能得到大幅度提升。考慮到復(fù)雜度因素，L=2時(shí)算法的復(fù)雜度為O（K2），而L=3時(shí)算法的復(fù)雜度為O（K3），因此本文參數(shù)L選擇為2，可以取得檢測性能與算法復(fù)雜度的最佳折衷。

圖4為L=2，基站天線數(shù)為16、32、64時(shí)，分別對提出無優(yōu)化因子改進(jìn)ZF檢測算法、有優(yōu)化因子改進(jìn)ZF檢測算法、傳統(tǒng)ZF檢測算法的性能仿真。從圖4可以觀察到有優(yōu)化因子改進(jìn)ZF檢測算法的性能明顯優(yōu)于無優(yōu)化因子改進(jìn)ZF算法。并且隨著基站側(cè)的接收天線數(shù)的增加，改進(jìn)ZF檢測算法逐漸逼近傳統(tǒng)ZF檢測算法。仿真結(jié)果表明優(yōu)化因子可以提高改進(jìn)ZF算法檢測性能，且改進(jìn)ZF檢測算法適用于Massive MIMO系統(tǒng)。

4 結(jié)語

本文提出了一種基于諾依曼級數(shù)展開的將大矩陣相乘轉(zhuǎn)化為對角矩陣和空心矩陣相加的低復(fù)雜度的ZF算法，并且通過使改進(jìn)算法快速收斂的方法得到優(yōu)化因子表達(dá)式，同時(shí)給出計(jì)算優(yōu)化因子的簡化形式，充分縮短了由于計(jì)算優(yōu)化因子產(chǎn)生的延遲。通過理論分析和仿真實(shí)現(xiàn)，所提出的改進(jìn)算法復(fù)雜度遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)ZF算法，特別是接收天線數(shù)越大，性能越接近于傳統(tǒng)ZF算法。因此所提出的改進(jìn)ZF算法更適用于Massive MIMO系統(tǒng)。本文中對參數(shù)L選擇僅是從仿真數(shù)據(jù)中得出的結(jié)論，對通用參數(shù)L的選擇還有待進(jìn)一步完善。

參考文獻(xiàn)：

[1] NGO H Q，LARSSON E G，MARZETTA T L.Energy and spectral efficiency of very large multiuser MIMO systems[J].Communications IEEE Transactions on，2011，61（4）：1436-1449.

[2] RUSEK F，PERSSPON D，LAU B K，et al.Scaling up MIMO：opportunities and challenges with very large arrays[J].IEEE Signal Processing Magazine，2012，30（1）：40-60.

[3] MULLER A，KAMMOUN A，BJORNSON E，et al.Linear precoding based on polynomial expansion：reducing complexity in massive MIMO[J].Eurasip Journal on Wireless Communications & Networking，2016（1）：1-22.

[4] GAO X，DAI L，YUEN C，et al.Low-complexity MMSE signal detection based on richardson method for large-scale MIMO systems[C].Vehicular Technology Conference.IEEE，2014：1-5.

[5] YIN B，WU M，STUDER C，et al.Implementation trade-offs for linear detection in large-scale MIMO systems[C].IEEE International Conference on Acoustics，2013：2679-2683.

[6] STEWART G W.Matrix algorithms：basic decompositions[M].Soc Industrial & App，1998.

[7] 馬光彬.MIMO系統(tǒng)中信號檢測算法的研究[D].杭州：杭州電子科技大學(xué)，2013.

[8] MULLER A，KAMMOUN A，BJORNSON E，et al.Linear precoding based on truncated polynomial expansion -part I：large-scale single-cell systems[J].Flexible，2013，8（5）：861-875.

[9] KAMMOUN A，MULLER A，BJORNSON E，et al.Linear precoding based on truncated polynomial expansion-part II：large-scale multi-cell systems[J].Flexible，2013，8（6）：853-867.

[10] WU M，Yin B，WANG G，et al.Large-scale MIMO detection for 3GPP LTE：algorithms and FPGA implementations[J].Selected Topics in Signal Processing IEEE Journal of，2014，8（5）：916-929

[11] MARCHENKO V A，PASTUR L A.Distribution of eigenvalues for some sets of random matrices[J].Mathematics of the USSR-Sbornik，1967（1）：507-536.

[12] KRISHNAMOORTHY A，MENON D.Matrix inversion using cholesky decomposition[C].Signal Processing：Algorithms，Architectures，Arrangements，and Applications （SPA），2013：70-72.