基于光柵衍射的彈性模量小角度測量

孟 赟，鄧文浩，秦鵬程，周 昊，常相輝,d，劉其軍,d，樊代和,d

(西南交通大學(xué) a.物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；b.土木工程學(xué)院；c.茅以升學(xué)院；d.物理國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心,四川 成都 611756)

基于光柵衍射的彈性模量小角度測量

孟 赟a，鄧文浩a，秦鵬程b，周 昊c，常相輝a,d，劉其軍a,d，樊代和a,d

(西南交通大學(xué) a.物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；b.土木工程學(xué)院；c.茅以升學(xué)院；d.物理國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心,四川 成都 611756)

根據(jù)入射光偏轉(zhuǎn)角度與光柵旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了小角度的放大測量，并設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)裝置應(yīng)用于彈性模量中金屬絲微小伸長量的測量. 理論分析和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明其角放大倍數(shù)可超過傳統(tǒng)光杠桿法的放大倍數(shù).

彈性模量;光柵衍射;小角度測量

任何物體在外力的作用下都會(huì)發(fā)生形變，而彈性模量(楊氏模量)是表征固體材料在彈性限度內(nèi)抵抗縱向伸長或壓縮能力的物理量，是機(jī)械設(shè)計(jì)、建筑工程及材料性能研究中必須考慮的參量. 目前測量彈性模量的方法主要有拉伸法[1]、彎曲法[2]、動(dòng)態(tài)法[3]等，各自有不同的應(yīng)用場合. 在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常采用靜態(tài)拉伸法測量金屬鋼絲的彈性模量. 靜態(tài)拉伸法實(shí)驗(yàn)中給被測鋼絲施加一定的拉力F，在其彈性限度內(nèi)，鋼絲會(huì)有一定的伸長量ΔL. 彈性模量被定義為應(yīng)力(鋼絲橫截面上所受的拉力除以橫截面積)與應(yīng)變(伸長量ΔL與原長L的比值)的比值. 在通常的實(shí)驗(yàn)室條件下(1 kg砝碼對應(yīng)的拉力，鋼絲原長約0.6 m，直徑約0.7 mm)，此微小伸長量ΔL在10-4m甚至10-5m數(shù)量級[4]. 如此微小的伸長量，在實(shí)驗(yàn)中不易直接測量. 目前有報(bào)道利用光杠桿法、霍爾位移傳感器[5]、邁克耳孫干涉儀法[6]、光電法[7]等方法對此微小量進(jìn)行放大或者轉(zhuǎn)化來測量.

目前一些教材中采用傳統(tǒng)方法——光杠桿法測量微小量ΔL，原理如圖1所示[8]. 如考慮反射鏡與標(biāo)尺間的距離為D，光杠桿前后足距離為b，當(dāng)鋼絲有一定伸長量導(dǎo)致光杠桿旋轉(zhuǎn)一定小角度Δθ時(shí)，考慮一些近似，2D/b即為光杠桿微小伸長量的放大倍數(shù). 實(shí)驗(yàn)中為了能將微小伸長量放大到容易直接測量的數(shù)量級范圍，即要提高光杠桿的放大倍數(shù)，一般通過增加標(biāo)尺到光杠桿鏡面的距離D來實(shí)現(xiàn). 但是，由于增加了D的距離，導(dǎo)致學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中一方面要到鋼絲旁加載/減載砝碼、另一方面又要到望遠(yuǎn)鏡旁讀取放大后的讀數(shù)，這樣就導(dǎo)致了實(shí)驗(yàn)操作的不方便.

圖1 常用光杠桿放大微小伸長量原理圖

事實(shí)上，一維光柵在微小量測量領(lǐng)域中也有著廣泛應(yīng)用，例如有報(bào)道利用光柵的疊柵條紋效應(yīng)實(shí)現(xiàn)了金屬絲楊氏模量的測量[9]、利用激光雙光柵法實(shí)現(xiàn)了微小位移的測量[10]等. 本文提出基于光柵衍射的小角度放大方法，通過理論計(jì)算和實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，該方法可以有效地將微小伸長量放大到容易測量的范圍，同時(shí)可簡化實(shí)驗(yàn)的操作難度.

1 方案設(shè)計(jì)

利用光柵代替光杠桿測量微小伸長量的裝置如圖2所示,其中左側(cè)實(shí)線表示入射光線，右側(cè)實(shí)線表示入射光未偏轉(zhuǎn)時(shí)的零級衍射光，右側(cè)虛線表示第k級衍射光；G為未旋轉(zhuǎn)時(shí)的光柵,n為光柵G的法線，θ為未偏轉(zhuǎn)入射光與法線n的夾角；G′為旋轉(zhuǎn)后的光柵，n′為光柵G′的法線，θ′為偏轉(zhuǎn)后的入射光與法線n′的夾角；Δθ為入射光偏轉(zhuǎn)的角度，α為光柵轉(zhuǎn)動(dòng)的角度. 假設(shè)1束平行光(用黑色實(shí)線表示)以一定角度入射到一維光柵G的表面，若使第k級衍射光能夠沿垂直于光柵G表面的方向(水平方向)出射(圖2中黑色虛線所示)，則根據(jù)光柵方程[11]，入射光與光柵G的法線n的夾角需滿足：

dsinθ=kλ，k=0,±1,±2,…,

(1)

其中，d=1/N為光柵常量(N為光柵的線數(shù))，k為衍射光級次，λ為入射光波長.

圖2 方案設(shè)計(jì)圖

當(dāng)被測鋼絲受力有一定的伸長量時(shí)，導(dǎo)致入射光線將旋轉(zhuǎn)一定的角度Δθ(如圖2中紅色實(shí)線所示). 此時(shí)，為了能夠保證光柵的第k級衍射光依然能夠沿水平方向出射(圖2中黑色虛線所示)，則需要將光柵G轉(zhuǎn)動(dòng)α到G′位置. 此光柵轉(zhuǎn)過一定角度后的光柵方程將變?yōu)?/p>

d(sinθ′-sinα)=kλ,k=0,±1,±2,…

(2)

通過圖2可以得知，

α=θ′-θ-Δθ.

(3)

當(dāng)選汞燈的綠色譜線(546.1 nm)為入射光、衍射級次為+1級時(shí)，根據(jù)(1)～(3)式可以得到α及角放大倍數(shù)隨Δθ的變化關(guān)系如圖3所示.

從圖3可以看出，不論選取N=100 mm-1，N=300 mm-1還是N=500 mm-1線的光柵，α的值明顯比Δθ要大很多，也即利用本文提出的方案可以實(shí)現(xiàn)小角度的放大功能. 從圖3(a)中還可以看出，光柵常量越大，放大效果越好. 圖3中的紅色“+”表示了利用分光計(jì)在實(shí)驗(yàn)中實(shí)際測得的數(shù)據(jù)，測量過程如下：a.將分光計(jì)調(diào)至待測狀態(tài)，把光柵放到載物臺(tái)上，此時(shí)準(zhǔn)直管軸線、望遠(yuǎn)鏡中心軸線能夠垂直于光柵平面；b.轉(zhuǎn)動(dòng)望遠(yuǎn)鏡使得1級衍射光與望遠(yuǎn)鏡光軸重合，此時(shí)，可測量得到θ的值；c.調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡轉(zhuǎn)過一個(gè)小角度Δθ，此時(shí)1級衍射光將偏離望遠(yuǎn)鏡光軸，通過旋轉(zhuǎn)光柵，使1級衍射光能夠再次與望遠(yuǎn)鏡光軸重合，此時(shí)可以測量得出光柵的偏轉(zhuǎn)角度α，即圖3中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn).

(a)不同光柵常量的α-Δθ的曲線

(b)N=100 mm-1時(shí)角放大倍數(shù)隨Δθ的變化曲線圖3 α及角放大倍數(shù)隨Δθ的變化

可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論曲線吻合得比較好，進(jìn)一步證明了方案的有效性. 為了更直觀地體現(xiàn)本文提出的方案對小角度Δθ的放大效果，圖3(b)表示了當(dāng)選取入射光波長λ=546.1 nm、衍射級次為+1級、N=100 mm-1時(shí)，角放大倍數(shù)隨Δθ的變化關(guān)系曲線. 從圖中可以看出，Δθ在從0到30′的變化過程中，該方案均可以實(shí)現(xiàn)大于50倍的角放大功能，并且，Δθ越小，角放大倍數(shù)越大. 例如，當(dāng)Δθ變化4′時(shí)，此時(shí)的角放大倍數(shù)可達(dá)到約150倍. 因此本文提出的方案更適合于小角度的放大應(yīng)用中.

下面分析選擇光柵不同衍射級次以及使用不同入射光波長時(shí)，本文提出的方案對小角度的放大情況，如圖4所示. 從圖4(a)可以看出，當(dāng)選用N=100 mm-1光柵、入射光波長為λ=546.1 nm時(shí)，k=1級衍射的放大效果將優(yōu)于高級次衍射的放大效果. 從圖4(b)可以看出，當(dāng)選用N=100 mm-1光柵、衍射級次k=1時(shí)，入射光波長變化在約100 nm的范圍內(nèi)，對小角度的放大效果區(qū)別不是很明顯. 但不論哪種情況，均可以將小角度進(jìn)行角放大. 因此，可以利用本文提出的方案來實(shí)現(xiàn)彈性模量測量中小角度的放大功能.

(a)λ=546.1 nm

(b)k=1圖4 不同衍射級次、不同入射光波長對Δθ的放大情況

2 彈性模量實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)

如圖5所示，將光源連同一狹縫安裝在一旋轉(zhuǎn)臂上，旋轉(zhuǎn)臂一端與常用的采用拉伸法測量彈性模量實(shí)驗(yàn)中固定被測鋼絲的平臺(tái)相連接，另一端連接在光柵旋轉(zhuǎn)軸上. 同時(shí)，將光柵固定于一旋轉(zhuǎn)角度可讀的裝置上. 初始狀態(tài)下(鋼絲沒有被拉伸)，調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)儀器使光柵豎直放置，并使第k級衍射光能水平出射到望遠(yuǎn)鏡(望遠(yuǎn)鏡中設(shè)置有水平方向刻線的分劃板)的光軸，根據(jù)式(1)計(jì)算得出入射光與水平方向的夾角θ. 當(dāng)鋼絲受力被拉伸時(shí)，將導(dǎo)致入射光相對于初始狀態(tài)有一小角度Δθ的旋轉(zhuǎn)，此時(shí)，通過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)光柵，使第k級衍射光仍然能夠回到初始時(shí)望遠(yuǎn)鏡光軸的位置，并記錄光柵旋轉(zhuǎn)過的角度α. 通過α值的大小，即可判斷鋼絲被拉伸時(shí)導(dǎo)致光源旋轉(zhuǎn)過的小角度Δθ=arcsin (sinθ+sinα)-α-θ，結(jié)合圖5中鋼絲到光柵的距離b，則可得出鋼絲受力導(dǎo)致的小伸長量為

(4)

圖5 楊氏模量測量裝置

(4)式表明，實(shí)驗(yàn)中一旦確定了常量d,k,λ,b的值，只要能夠直接測得較大的角度α，則可以計(jì)算得出鋼絲受力產(chǎn)生的微小伸長量的值.

考慮到實(shí)際的實(shí)驗(yàn)過程，被測的鋼絲原長為20 cm、直徑為0.7 mm、彈性模量E=2×1011N/m2，當(dāng)受到相當(dāng)于1 kg砝碼的拉力時(shí)，其微小伸長量僅為0.026 mm. 如果使用傳統(tǒng)的光杠桿法測量(選取D=1 m，b=5 cm，對應(yīng)放大率為40倍)，則只能將此微小伸長量放大到1 mm左右，放大后的值依然較小，較難直接讀出. 而如果采用本文提出的裝置(選取b=5 cm，N=100 mm-1，λ=546.1，k=1)，相同情況下對應(yīng)的微小旋轉(zhuǎn)角度為1.77′，通過圖3(b)可知，本文的裝置此時(shí)對應(yīng)的放大率為216倍，也即可將此小角度放大到α=6°24′，事實(shí)上，此量級的角度可以容易地直接讀出. 由于裝置或部件的分量不確定度尚未能獲得可靠的技術(shù)參量，Δθ的不確定度尚未能作分析評定.

3 結(jié)束語

設(shè)計(jì)了基于光柵偏轉(zhuǎn)控制光衍射方向的測量小角度的實(shí)驗(yàn)方案，該方案還可應(yīng)用于測量彈性模量實(shí)驗(yàn)的微小伸長量測量中. 通過研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)選取N=100 mm-1的光柵，同時(shí)選取衍射級次為k=1、光源波長為λ=546.1 nm時(shí)，可將鋼絲受力導(dǎo)致產(chǎn)生的微小伸長量放大到傳統(tǒng)儀器可直接方便測量的范圍. 與傳統(tǒng)使用光杠桿放大的方法相比，本文提出的方案可縮短望遠(yuǎn)鏡到鋼絲的距離，降低實(shí)驗(yàn)的操作難度. 同時(shí)，也對理論方案的一種情形進(jìn)行了實(shí)際實(shí)驗(yàn)測量，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)期符合較好. 另一方面，本文提出的方案可獲得較大的角放大倍數(shù)，而且角度越小，角放大倍數(shù)越大，因此特別適合于相關(guān)小角度的測量應(yīng)用.

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[責(zé)任編輯：郭 偉]

Small-angle measurement for elastic modulus testbased on grating diffraction

MENG Yuna, DENG Wen-haoa, QIN Peng-chengb, ZHOU Haoc,CHANG Xiang-huia,d, LIU Qi-juna,d, FAN Dai-hea,d

(a.School of Physical Science and Technology; b.School of Civil Engineering;c. Mao Yisheng Honors College; d.National Demonstration Center for ExperimentalPhysics Education, Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756, China)

According to the relation between the diffraction angle of the incident light and the rotation angle of the grating, the small-angle measurement was realized. An experimental scheme for measuring the small elongation of metal wire in elastic modulus measurement was provided. Both the theoretical and experimental results showed that the angular magnification exceeded the traditional optical-lever’s magnification.

elastic modulus; grating diffraction; small-angle magnification

2017-03-17

西南交通大學(xué)個(gè)性化實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目(No.GX201611126)

孟 赟(1996-)，男，山東濟(jì)寧人，西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2014級本科生.

樊代和(1981-)，男，山西河曲人，西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院講師，博士，研究方向?yàn)楣鈱W(xué).

O436.1;O343

A

1005-4642(2017)06-0054-04