非確知目標先驗知識條件下MIMO雷達穩健波形設計

周子昂+徐坤+劉玉春+王洪雁

摘 要： 考慮穩健波形優化問題以提高多輸入多輸出雷達最差條件下參數估計精度。基于最小?最大方法，將初始參數誤差模型顯式包含進波形優化問題，并基于克拉美?羅界得到穩健波形設計。為求解得到的復雜非線性優化問題，基于哈達瑪不等式將其轉化為半定規劃問題，從而可高效求解。仿真結果表明，與不相關發射波形以及非穩健方法相比，所提方法可顯著改善最差條件下參數的估計性能。

關鍵詞： 多輸入多輸出雷達； 穩健波形設計； 凸松弛； 參數估計； 半定規劃

中圖分類號： TN951?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）17?0011?04

Optimization design for robust waveform of MIMO radar under condition

of uncertain target prior knowledge

ZHOU Ziang1， XU Kun2， LIU Yuchun1， WANG Hongyan3

（1. School of Mechanical and Electrical Engineering， Zhoukou Normal University， Zhoukou 466000， China；

2. School of Network Engineering， Zhoukou Normal University， Zhoukou 466000， China；

3. College of Information and Engineering， Dalian University， Dalian 116622， China）

Abstract： The robust waveform optimization is considered to improve the parameter estimation accuracy of multiple?input and multiple?output （MIMO） radar under worst condition. On the basis of the min?max approach， the initial parameter error model is contained in the waveform optimization explicitly， and the robust waveform design is obtained on the basis of Cramér?Rao bound （CRB）. To solve the obtained complicated and nonlinear optimization problem， it is converted into the semi?definite programming （SDP） problem by means of Hadamard′s inequality to get the efficient solution. The simulation results show that， in comparison with the uncorrelated transmitted waveform and non?robust method， the method can improve the parameter estimation performance under worst condition.

Keywords： multiple?input and multiple?output radar； robust waveform design； convex relaxation； parameter estimation； semi?definite programming

0 引 言

近些年來，收發器均采用多個天線單元的多輸入多輸出（MIMO）雷達，其已成為國內外雷達信號處理領域的研究熱點[1?8]。MIMO雷達可以利用發射單元發射任意波形，即波形分集 [1]。根據收發陣元間距，MIMO雷達可分為分置MIMO雷達[2]及共置MIMO雷達[1]兩類。MIMO雷達相對于相控陣雷達具有明顯優勢，比如更好的參數辨識性能[3]及更加靈活的波束方向圖設計[4?8]。本文考慮共置MIMO雷達。

由上述可知，發射波形在較大程度上決定了MIMO雷達的性能。因而，近年來波形設計已然成為MIMO雷達領域中的關鍵問題之一[4?8]。根據優化目標，現有方法可分為僅設計波形[4?5]及波形和接收器聯合設計[6?8]兩類。文獻[4]設計波形相關陣（WCM），文獻[5]則考慮了恒模信號設計。基于不同設計準則，如最小化克拉美?羅界（CRB）跡，文獻[6]在無雜波場景下優化波形，文獻[7]則基于約束CRB（Constrained CRB）在雜波場景下優化波形。文獻[8]采用發射波形和接收器的聯合優化以改善系統的參數估計性能。

文獻[6]優化發射波形以改善系統參數估計性能，文獻[7]則在雜波場景下考慮了此問題。很明顯，求解此類問題需要某些參數的確切值，比如目標位置等，然而，這些參數在工程中只能通過估計獲得，從而存在不確定性。正如文獻[6?7]仿真所述，基于優化波形得到的參數估計精度對此參數不確定性比較敏感，這說明基于某一參數估計值得到的優化波形會在更合理的估計值條件下表現出較差的參數估計性能。

綜上所述提出了如下問題：目標先驗知識不確知場景下如何通過波形設計改善系統在最差條件下參數的估計性能。針對此問題，基于最小?最大方法，本文通過將參數估計誤差模型顯式地包含進波形設計中，基于最小化最差條件下Constrained CRB跡[9]準則，考慮了穩健波形優化問題，以減緩系統參數估計性能對初始參數估計誤差的敏感性。在發射功率及參數不確定的凸集約束下，可得到穩健波形優化的數學表達，然而，此數學表達較為復雜[10]。為求解此復雜非線性優化問題，首先利用哈達瑪不等式（Hadamard′s Inequality）[11]將目標函數分解為相互獨立的子問題，而后，內層優化問題可轉化為最小化問題。接著，內外層優化可聯合轉化為半定規劃（SDP）問題[10]，從而此優化問題可利用諸如CVX等成熟優化工具箱得到高效求解[12]。endprint

1 問題描述

本文采用的MIMO雷達信號模型與文獻[7]相似，惟一不同的是此處模型不考慮雜波。在此條件下，MIMO雷達接收的信號可表述如下：

（1）

式中：為發射波形矩陣，為第個發射單元發射信號的離散基帶表示，且采樣數為和分別為個感興趣目標的復幅度以及目標位置參數；為噪聲加干擾，其每列可建模為獨立同分布的圓對稱復高斯隨機向量，其均值為協方差矩陣為未知矩陣[6]表示第個目標信道矩陣，分別表示位于的目標接收和發射導向矢量。

現在考慮已知的條件下，未知參數的CRB，即所謂的Constrained CRB[9]，其可表示為（關于Constrained CRB的推導可見文獻[7]）：

（2）

（3）

從式（3）可以看出，Constrained CRB是關于及噪聲加干擾的函數。實際應用中，這些參數只能通過估計得到，因而存在誤差。因此，基于某估計值的CRB得到的波形會在更合理的估計值條件下表現出較差的估計性能，此已在仿真中得到論證[6?7]。本文假設目標信道矩陣導數不確定但屬于某一凸緊支集，可建模為：

（4）

式中：以及分別表示第個目標矩陣的真實和假設導數；為的誤差，屬于如下凸緊支集合：。為了不產生平凡解，本文假設。

基于以上討論，改善最差條件下參數估計性能的穩健波形設計問題可簡述如下：在關于WCM功率約束下，優化WCM以最小化凸集上最差條件下的CRB。基于跡準則[6]，此優化問題可描述為：

（5）

式中為總發射功率；第三個約束是由于實際中任意陣元發射功率大于等于0。明顯地，式中的目標函數是關于以及的復雜非線性函數。因此，利用諸如凸優化[10]等傳統方法比較難以求解。

2 基于Hadamard不等式的波形優化方法

本部分考慮如何得到非線性優化問題的一個最優解。為此，基于如下引理考慮目標函數：

引理1：（Hadamard不等式）[11]： 設為半正定厄米特矩陣，那么，成立，當且僅當為對角矩陣時，上述不等式成立。

根據引理1，式（5）中的最大化問題可松弛為：

（6）

從式（6）可知，第項加項僅依賴于。因此，此問題可表示為如下個相互獨立的問題：

（7）

式中待優化參數為復數。為了方便求解，可將其轉化為如下關于實數的問題：

（8）

式中：。由于為正定矩陣，因而亦為正定矩陣[11]。

明顯地，為關于的凸函數[10]，則式（8）可等價為關于的最小化問題，即：

（9）

式中：為輔助變量；第一個約束可基于Schur補定理[11]，改寫為如下線性矩陣不等式（LMI）：

（10）

式（10）可重寫為：

（11）

式中：。

根據文獻[13]中的引理2，式（11）可改寫為如下LMI （）：

（12）

綜上所述，優化問題式（5）可等價為如下的SDP問題：

（13）

為了得到最差條件下的信道矩陣導數，給定最優條件下，可得：

（14）

類似地，此問題等價于如下SDP問題：

（15）

將式（15）得到的以及式（13）得到的代入式（5），可得最差條件CRB。利用諸如文獻[12]的CVX優化工具箱，式（13）以及式（15）可獲得高效求解。

3 仿真結果及分析

基于文獻[7]中的非穩健方法（忽略雜波）以及不相關波形，本節通過數值仿真從最差條件下參數估計改善性能及算法穩健性兩個方面驗證所提算法的有效性。

本實驗基于3發3收MIMO雷達，其具有如下兩種配置：MIMO雷達A（0.5，0.5）以及MIMO雷達B（1.5，0.5），括號中的參數分別為發射、接收陣列相鄰陣元的間距（以波長為單位）。陣列信噪比（ASNR）為取值為其中為白噪聲方差。干擾位于目標位于。從第2節可知，構建CRB須基于初始目標位置參數估計，有許多方法可對目標位置進行估計（參見文獻[14]）。

以下仿真中，考慮僅存在初始角度估計誤差場景下的算法有效性（其他未知參數情況類似）。在此場景中，假設初始角度估計值具有如下誤差：，即，其中為的估計值。經過計算可得，對于MIMO雷達（0.5，0.5），而對于MIMO雷達（1.5，0.5），。

圖1為ASNR=10 dB時所提方法得到的發射波束方向圖。

最優發射波束方向圖

從圖1可知，該方法在目標附近放置一個峰值，此即意味著凸不確定集上MIMO雷達的最差參數估計性能可得到改善。此外，由圖1（b）可得， MIMO雷達B可產生柵瓣，這是由于稀疏發射陣列所致。

為驗證最差條件下的參數估計性能，所提方法，非相關波形以及基于完備目標信道知識的非穩健方法得到的CRB隨ASNR變化如圖2所示。

非穩健方法得到的最壞情況下的CRB隨ASNR變化

無論ASNR為何值，所提方法明顯優于非相關波形，這是由于優化波形將發射能量集中于目標信道不確定集，而非相關波形則全向發射。此外，所提方法與非穩健方法得到最壞條件下CRB差距較小，說明所提方法可有效改善最壞條件下參數的估計性能。另外，比較圖2（a）與圖2（b）可知，MIMO雷達B的CRB比雷達A的小，這是由于前者虛擬接收陣列孔徑比后者大[1]。

圖3為所提方法得到的最差CRB均值隨ASNR的變化（100次蒙特卡洛試驗）。由圖3可知，所提方法相比于非穩健、非相關波形有更好的最壞條件下CRB，換言之，所提方法關于有較好的穩健性能。endprint

4 結 論

本文研究了穩健MIMO雷達波形優化問題，通過將參數不確定集顯式地包含進波形優化問題，并基于constrained CRB以改善最差條件下參數估計性能。針對所得復雜非線性問題，本文提出一種基于Hadamard不等式方法求解此問題，所提方法可將此問題轉化為SDP問題，從而高效求解。仿真結果表明，與非穩健方法以及非相關波形相比，所提方法可顯著降低最差條件下CRB，從而改善參數估計的穩健性能。

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