網絡控制系統發送功率分配問題研究

王麗媛 郭戈 莊嚴

網絡控制系統發送功率分配問題研究

王麗媛1郭戈2莊嚴1

以網絡控制系統為研究對象,討論傳感器發送功率對系統性能和通信能耗的影響.首先,針對無線通信系統中存在的丟包問題,根據發送功率的大小,建立系統切換模型,其中,發送功率越大,丟包率越低,系統性能越好.然后,利用平均駐留時間技術,得到系統指數均方穩定的充分條件以及發送功率的可調度條件.最后,根據以上結果,給出系統功率分配和控制器增益的協同設計算法,該算法不僅能保證系統具有理想的控制性能,同時能夠使得通信能耗最優.

網絡控制系統,功率分配,丟包,指數均方穩定

在過去的幾十年里,網絡控制系統一直是研究的熱點問題之一,其可靠性高,易于維護等特點,使得網絡控制系統被應用于各行各業,為社會做出了巨大貢獻,如交通系統、工業控制和環境監測等[1?3].網絡化系統實現了資源共享,使得多個節點設備可以通過無線網絡完成數據傳輸,從而實現團隊協作.但是由于無線信道噪聲的存在,使得數據包在傳輸過程中會發生丟失.減少丟包的最直接的方法就是提高發送功率,發送功率越高,丟包率越低[4].然而在大多數的實際應用中,許多網絡節點是電池供電的,且由于環境惡劣等因素,這些節點的電池是不可替換的[5],持續的高功率發送會導致系統能耗的增加,降低電池的使用壽命.因此如何選擇合適的發送功率分配策略使得系統保證理想性能的同時能夠降低能耗是急需解決的問題之一,也是當今社會節能環保思想的集中體現.

功率分配,又稱為功率控制,在過去的幾年里,受到了越來越多科研工作者的關注,學者們提出了許多行之有效的建模方法和控制方法.Ren等[6]研究了單個傳感器的工作調度問題,為了節約能量,傳感器只在需要時才發送數據,反之,則不發送.Shi等[7]研究了單個傳感器的功率調度問題,并假設傳感器有兩種發送功率,即高功率和低功率.通過分析,給出了一種最優的功率調度序列使得系統估計誤差的協方差最小.之后,Shi等[8]又將該調度方法進一步推廣到高階高斯馬爾科夫系統中,得到了高階系統下的傳感器功率調度序列.與文獻[6?8]離線調度序列不同,Han等[9]提出了一種在線的傳感器調度策略,每一次采樣時刻,傳感器根據前幾個時刻的總丟包次數決定當前時刻是否采用高功率發送數據,通過比較發現,該策略可以在有效的通信能量范圍內使得系統的平均估計誤差最小,且消耗能量較離線調度策略更低.文獻[10]在綜合系統二次型指標和通信能耗的前提下,設計LQG控制器(Linear-quadratic-Gaussian control),利用近似線性規劃方法找到最優的發送功率分配策略.

值得注意的是上述大部分文獻討論的都是非常簡單的功率調度情況,即傳感器只有一種或兩種發送功率,在這種情況下,傳感器只需要決定何時發送數據或者何時采用高功率發送.然而,在實際應用中,傳感器常常有多種功率選擇[11],多種選擇意味著功率調度問題具有更大的挑戰.除此之外,大多數的研究旨在討論系統的狀態估計問題,對于系統鎮定問題的討論少之又少,因此,如何設計一種合理的功率調度策略和有效的控制方法使得系統能夠鎮定的同時且能耗最優具有重要的研究意義.

本文以線性離散時不變系統為研究對象,討論發送功率對系統穩定性和通信能耗的影響.假設傳感器有N 種發送功率選擇,在任意時刻,傳感器根據功率調度序列,選擇一種發送功率,將測量信號通過無線網絡發送到遠處的控制器,由于信道噪聲等影響,數據在傳輸過程中會發生丟包,發送功率的大小決定了丟包率的高低,發生功率越大,丟包率越小.本文旨在設計合理的功率調度序列和有效控制策略使得系統保證理想控制性能的同時能耗最優.

本文的主要貢獻概括如下:

1)本文研究了功率調度和控制器的協同設計問題,根據傳感器不同的功率選擇,我們將系統建模為由N 個子系統組成的切換系統.根據平均駐留時間技術和隨機系統理論,得出了發送功率和系統穩定性的關系,并以此得到了發送功率的可調度條件.

2)通過分析,我們將調度與控制的協同設計問題轉化為求解功率周期占空比和控制器增益的能量最優化問題.在周期性調度策略中,本文所給出的調度序列不僅能夠保證系統具有理想的衰減率且通信能耗最低.

本文結構安排如下:第1節,給出系統模型和控制目標;第2節,分析系統穩定性并給出發送功率和控制器的協同設計方法;第3節,通過數值仿真,驗證算法的有效性;第4節分為本文總結和展望.

1 問題描述

1.1 丟包和通信能量

考慮一個網絡控制系統,假設在任意時刻,傳感器有 N 種發送功率選擇,即 σ1,···,σN,其中,σ1＜ ···＜ σN.用二進制函數 γ(k)表示系統的丟包過程,其中,γ(k)=1表示數據包成功傳輸,γ(k)=0表示數據包丟失.那么,根據文獻[12]可知,數據包的成功傳輸率可以表示為

其中,i=1,···,N,θ∈(0,1)為信道參數.其中,E{γ(k)=1|σ(k)= σi}=1? θσi,σ(k)= σi. 由式(1)可知,發送功率越大,數據包成功傳輸的概率就越高,即丟包率就越小.

令函數αi(k)表示發送功率σi在時間段(0,k)內被采用的總的時間長度,其數學表達式為αi(k)=,其中,δ{·} 為克羅內克函數,當σ(k)= σi時,δ{σ(k)?σi}=1.令? 表示σ(k)的周期性的調度策略,即,? ={σ(1),···,σ(T)},其中,T為調度周期.對于給定的調度序列?,αi(k)/k稱為發送功率σi的占空比,且滿足1.

根據以上描述,系統在每個調度周期內發送數據所消耗的平均通信能耗可以表示為

其中,h為采樣時間,βi=αi(T)/T為發送功率σi在每個調度周期內的占空比,稱為周期占空比,且同樣滿足.

1.2 系統描述和控制目標

假設網絡控制系統的動態特性可以描述為

其中,x(k)∈Rn為系統狀態,u(k)∈Rm為控制輸入,A∈Rn×n和B∈Rn×m為系統矩陣.

采用狀態反饋控制器

其中,Ki∈Rm×n為控制器增益,?x(k)為控制器實際采用的測量值.

當數據包成功傳輸時,控制器采用當前接收到的數據計算控制信號,反之,控制器采用上一時刻的測量值.根據上述描述,控制器實際采用的測量信號?x(k)可以表示為

由式(3)～(5)可得系統的閉環特性為

令N(k)表示σ(k)在時間間隔[0,k)內的切換次數.如果N(k)≤N0+k/τ對某個參數N0≥0和τ＞0成立,那么常數τ稱為平均駐留時間[13].平均駐留時間和占空比是設計調度序列的重要參數,對系統的性能有著不可忽視的影響,具體設計方法將在下文介紹.

定義1[14].系統z(k+1)=f(z(k)),f(0)=0,是η指數均方穩定的,如果存在兩個正數c＞0和η＞1,使得對于任意的z(0)∈Rn有:

其中,η為衰減率.

本文的目標是找到一個合適的功率分配和控制器的協同設計策略,使得系統(6)指數鎮定.換句話說,我們旨在設計功率調度序列?和控制器增益Ki使得:

1)系統(6)是η指數均方穩定的;

2)系統的平均通信能耗最小,即

討論1.文獻[12]研究了類似的發送功率的調度策略,然而與本文存在本質的不同.1)研究的問題不同,本文對網絡控制系統的鎮定問題進行了研究,討論了發送功率分配對系統控制性能的影響,而文獻[12]主要研究系統狀態的估計問題.2)控制目標不同,本文旨在建立一種功率調度策略,使得系統在保證理想控制性能的前提下能耗最優,而文獻[12]的目標在于找到合適的功率調度策略使得系統在給定系統能耗的前提下,狀態估計的協方差最小.3)解決問題的方法不同,本文通過將系統建模為切換系統,利用平均駐留時間技術得到系統穩定的充分條件,進而設計控制器和功率調度策略.文獻[12]通過分析系統丟包概率的分布特性,將系統的丟包過程建模為馬爾科夫過程;然后,利用卡爾曼濾波方法,得到系統估計誤差的表達式;最后,通過求解最優化問題,計算每個周期內發送功率的大小.

2 主要結果

本節首先給出了系統(6)指數均方穩定的充分條件;然后,給出發送功率的可調度條件;最后,根據所得結果,給出調度序列和反饋控制器的協同設計算法,該算法不僅能夠保證系統具有理想的衰減率且通信能耗最優.

2.1 系統穩定性

系統指數均方穩定的充分條件如定理1所示.

定理1.如果以下4個條件成立:

1)存在正數 ηN＞ ···＞ η1＞ 0和矩陣0＜Pi∈ Rn×n,i=1,···,N,使得:

2)存在一個常數μ＞1使得:

其中,j=1,···,N 且 i/=j;

3)發送功率的占空比滿足:

4)切換次數和平均駐留時間滿足:

那么,系統(6)是指數均方穩定的,且衰減率為η.

證明.不失一般性,令k0,k1,···,kl,表示σ(k)在時間間隔[0,k)內的切換時間點,且當k=ks時, σ(ks)= σis, 其中,k0=0,s=0,1,···,l,is∈{1,2,···,N}.選取分段李雅普諾夫函數如下:

其中,0 ＜ Pi∈ Rn×n,i=1,···,N.

于是,由式(8)可得:

當σ(k)=σ(k+1)=σi時,由式(7)可知

那么,由式(12)和(13)可得:

根據分段李雅普諾夫函數(11)可得:

另一方面

由式(14)～(16)可得:

由定理1中的條件3)可知

于是有

將式(18)和(10)代入式(17)可得:

其中,c=aμN0.根據定義1,我們可知系統(6)是指數均方穩定的,且衰減率為η.

推論1.對于傳感器只有一種發送功率的特殊情況,本文的問題就可以簡化為一個純丟包問題,此時系統(6)是η指數均方穩定的,如果存在一個正的矩陣P和控制器增益K使得下列不等式成立

2.2 系統可調度條件

根據定理1,我們可以得到保證系統(6)穩定的發送功率可調度條件如下所示.

定理2.如果定理1中的條件1)和2)成立,且功率周期占空比βi滿足:那么,存在一個發送功率的調度序列?使得系統(6)η指數均方鎮定.

證明.該證明分為兩部分,首先給出發送功率的周期性調度序列?;然后,證明該調度序列可以保證系統的穩定性要求.

1)調度序列?

a)選擇調度周期為T≥Nτ?h,其中,h為采樣時間.

b)令傳感器從高到低依次采用發送功率σN,σN?1,···,σ1,且每種發送功率工作時長為 βiT,其中,i=1,2,···,N.

2)穩定性

對于任意時刻kh=nT+v,其中,0≤v＜T,n和v為非負整數.當,其中,j=1,···,N ?1 時,可知

于是由式(20)可知

將式(23)代入式(22),并根據式(19)可得:

即定理1中的條件3)成立.

由于T ≥Nτ?h,即τ?h≤T/N,于是有:

令No=N,由式(21)和(24),可知

即定理1中的條件4)成立.

結合定理1中的條件1)和2)可知,系統(6)是η指數均方穩定的.

討論2.由定理2和通信能耗表達式可知,功率周期占空比越大,系統的衰減率就越高,控制性能就越好,但同時消耗的通信能耗就越多,因此通信能耗越多,系統的控制性能就越好.

2.3 發送功率與控制器協同設計

本節中,我們旨在設計周期性的調度序列?和控制器使得系統(6)是η指數均方鎮定的,且通信能耗最低.換句話說,我們旨在設計周期性占空比βi,子系統衰減率ηi,切換參數μ和控制器增益Ki,使得問題1中的通信能耗最優.

問題1.

s.t.

其中,0 ＜ η1＜ ···＜ ηN和 i=0,1,···,N. 條件1)和2)是定理2中保證系統穩定的可調度條件.

引理1給出了問題1最優解存在的必要條件

證明.假設 βi,i=1,···,N,是問題 1的最優解,且滿足條件＞2lnη,于是,我們有:

建立另外一組周期性占空比:

其中,j=2,···,N ? 1.

于是有

兩組周期性占空比下的平均通信能量為

由引理1可知,功率σN的周期占空比βN可以表示為,代入式(2),可知系統的平均通信能耗可以重寫為

通過求導,我們發現

即系統的平均通信能耗隨著子系統衰減率ηi的增大而減小,因此當ηi取最大值時,系統的通信能耗最低.子系統的最大衰減率可以通過求解下述最優化問題得到:

根據Schur補引理,問題(25)等價于

上述問題是一個非凸可行性問題,可以采用錐補線性化方法求解[15],其中,最優解表示系統(6)采用功率σ(k)=σi時的最大衰減率,且發送功率越高,系統成功傳輸的概率就越高,對應的系統衰減率就越大.于是有.實際上,通過求解問題(26),我們不僅能夠得到,對應的控制器增益Ki也可以得到.利用錐補線性化方法,控制增益Ki可以通過求解下述帶有線性矩陣不等式約束的非線性最優化問題得到

根據上述討論和引理1,我們發現,問題1的最優解一定滿足等式,并且當ηi取最大值時,目標函數最小,由此,問題1的變量取值的限制條件2)可以進一步縮小為,于是,問題1可以等價地簡化為

問題2.

問題2是一個凸優化問題,可以利用拉格朗日乘子法求解,令函數

推論 2.如果N=2,即傳感器有兩種發送功率,即高功率σ1和低功率σ2,那么求解方程組(29),可得系統最優的周期占空比為

最后,根據以上討論,我們可以給出求解系統控制器和功率調度序列的協同設計算法如下.

算法1.功率調度和控制協同算法

步驟1.選擇一個理想的衰減率η.利用下述迭代步驟1)～3)計算ηi的最大值ηmaxi和對應的矩陣0＜Pi∈ Rn×n.

1)選擇一個足夠小的ηi,找到使得不等式(26)和(27)成立的可行解.令k=0和= ηi.

2)求解如下最小化問題

3)驗證所求出的最優解是否滿足式(7),若滿足,則得解.若不滿足,檢查k是否到達規定的迭代次數,如果達到,則系統無解;否則,令k=k+1,轉到2).

步驟 2.通過求解不等式Pi≤μPj,找到可行的切換參數μ≥1.

步驟3.通過求解方程組(28)找到系統最優的功率周期占空比,i=1,···,N.

步驟4.設計周期性調度序列如定理2所示.

討論3.本文以周期性調度策略為研究對象,通過求解通信能耗最優化問題,得到了系統功率調度和控制器的協同設計算法,該算法在一定程度上實現了控制性能理想化和通信能耗最優.然而從嚴格意義上講,該算法并不是最優的,主要原因有以下兩點:1)本文對于功率調度序列的討論只限于周期性的調度策略,周期性調度序列簡單易于實現,然而并不一定是最優的調度序列.2)本文對于求解能耗最優化的約束條件建立在定理1中所得到的穩定性充分條件上,該穩定性條件只是充分條件,并不是充分必要條件,因此本文最優解的取值范圍也存在一定的局限性.所以,綜上所述,本文所討論的功率調度和控制器的協同設計算法是一個局部次優的,對于如何找到真正的最優化的協同設計算法仍是本文下一步繼續努力的方向.

3 仿真

考慮如下網絡控制系統

假設信道參數為θ=0.2,采樣時間為h=1,在任意時刻,傳感器有三種不同的功率選擇,即σ1=0.4,σ2=0.6和σ3=1.2.系統理想的衰減率為η=1.25.通過計算可得:

對應的矩陣Pi和控制器增益Ki分別為

令μ=3.73.通過求解方程組(29)可得系統的最優功率周期占空比為

選擇調度周期為T?=20,則在每個調度周期內的功率切換信號可以表示為

對應的通信能耗為J{??}=0.56.

為了對比,我們給出另外兩組功率調度序列?1和?2

其中,序列?1可以保證系統具有理想的衰減率,序列?2具有與最優序列?相同的通信能耗.兩組序列下的通信能耗分別為J{?1}=0.752,J{?2}=0.56.

圖1 通信狀態Fig.1 Communication states

圖2 系統狀態Fig.2 System states

三組功率調度序列下的通信狀態如圖1所示,其中y軸的0和1分別表示數據包丟失和成功傳輸.三組調度序列下的系統狀態如圖2所示,從中可以看出三組調度序列都可以使得系統鎮定,然而在保證相同理想衰減率的情況下,調度序列?1比序列??消耗的能耗要多,且系統鎮定所需的時間要長.除此之外,在系統通信能耗相同的前提下,系統在調度序列?2下鎮定所需要的時間要比序列??長得多.因此,無論是從通信能耗還是系統鎮定時間方面,調度序列??都要要優于序列?1和?2.

4 結論與展望

本文討論了帶有信道噪聲的線性離散系統的鎮定問題,利用平均駐留時間技術,得到了系統穩定的充分條件以及系統的功率可調度條件.提出了一個次優的功率調度和反饋控制器的協同設計算法,該算法不僅能夠保證系統的理想特性,且使得系統通信能耗局部最優.

在下一步的研究計劃中,我們旨在將本文所得結果擴展到其他非周期調度序列中,且進一步考慮傳感器的帶寬受限問題,這樣在調度功率的同時,我們需要進一步考慮信道的調度問題.

1 Jiang Yan,Wang Qi,Gong Jian-Wei,Chen Hui-Yan.Research on temporal consistency and robustness in local planning of intelligent vehicles.Acta Automatica Sinica,2015,41(3):518?527

(姜巖,王琦,龔建偉,陳慧巖.無人駕駛車輛局部路徑規劃的時間一致性與魯棒性研究.自動化學報,2015,41(3):518?527)

2 Fan Jia-Lu,Jiang Yi,Chai Tian-You.Operational Feedback Control of Industrial Processes in a Wireless Network Environment.Acta Automatica Sinica,2016,42(8):1166?1174

(范家璐,姜藝,柴天佑.無線網絡環境下工業過程運行反饋控制方法.自動化學報,2016,42(8):1166?1174)

3 Luo Xu,Chai Li,Yang Jun.O ff shore pollution source localization in static water using wireless sensor networks.Acta Automatica Sinica,2014,40(5):849?861

(羅旭,柴利,楊君.無線傳感器網絡下靜態水體中的近岸污染源定位.自動化學報,2014,40(5):849?861)

4 Son D,Krishnamachari B,Heidemann J.Experimental study of the e ff ects of transmission power control and blacklisting in wireless sensor networks.In:Proceedings of the 1st Annual IEEE Communications Society Conference on Sensor and Ad Hoc Communications and Networks.Santa Clara,USA:IEEE,2004.289?298

5 Appadwedula S,Veeravalli V V,Jones D L.Energy-efficient detection in sensor networks.IEEE Journal on Selected Areas in Communications,2005,23(4):693?702

6 Ren Z,Cheng P,Chen J M,Shi L,Sun Y X.Optimal periodic sensor schedule for steady-state estimation under average transmission energy constraint.IEEE Transactions on Automatic Control,2013,58(12):3265?3271

7 Shi L,Cheng P,Chen J M.Sensor data scheduling for optimal state estimation with communication energy constraint.Automatica,2011,47(8):1693?1698

8 Shi L,Xie L H.Optimal sensor power scheduling for state estimation of Gauss-Markov systems over a packet–dropping network.IEEE Transactions on Signal Processing,2012,60(5):2701?2705

9 Han D,Cheng P,Chen J M,Shi L.An online sensor power schedule for remote state estimation with communication energy constraint.IEEE Transactions on Automatic Control,2014,59(7):1942?1947

10 Gatsis K,Ribeiro A,Pappas G J.Optimal power management in wireless control systems.IEEE Transactions on Automatic Control,2014,59(6):1495?1510

11 Xiao J J,Cui S G,Luo Z Q,Goldsmith A J.Power scheduling of universal decentralized estimation in sensor networks.IEEE Transactions on Signal Processing,2006,54(2):413?422

12 Li Y Z,Quevedo D E,Lau V,Shi L.Optimal periodic transmission power schedules for remote estimation of ARMA processes.IEEE Transactions on Signal Processing,2013,61(24):6164?6174

13 Dai S L,Lin H,Ge S S.Scheduling-and-control codesign for a collection of networked control systems with uncertain delays.IEEE Transactions on Control Systems Technology,2010,18(1):66?78

14 Fang Y G,Loparo K A.Stochastic stability of jump linear systems.IEEE Transactions on Automatic Control,2002,47(7):1204?1208

15 El Ghaoui L,Oustry F,AitRami M.A cone complementarity linearization algorithm for static output-feedback and related problems.IEEE Transactions on Automatic Control,1997,42(8):1171?1176

王麗媛 大連理工大學控制科學與工程學院博士研究生.主要研究方向為網絡控制系統.本文通信作者.

E-mail:wangliyuandmu@163.com

(WANG Li-Yuan Ph.D.candidate at the School of Control Science and Engineering,Dalian University of Technology.Her main research interest is networked control systems.Corresponding author of this paper.)

郭 戈 大連海事大學信息科學技術學院教授.主要研究方向為網絡控制系統,智能交通系統.E-mail:geguo@yeah.net

(GUO Ge Professor at the School of Information Science and Technology,Dalian Maritime University. His research interest covers networked control systems,intelligent transportation system.)

莊 嚴 大連理工大學控制科學與工程學院教授.主要研究方向為移動機器人定位,3D地圖構建,環境識別.

E-mail:zhuang@dlut.edu.cn

(ZHUNAG Yan Professor at the School of Control Science and Engineering,Dalian University of Technology.His research interest covers mobilerobot localization,3-D mapping,and place recognition.)

Transmission Power Allocation for Networked Control Systems

WANG Li-Yuan1GUO Ge2ZHUANG Yan1

This paper investigates the e ff ects of sensor transmission power on system performance and communication energy cost of networked control system.First,by considering the packet dropout problem in wireless communication systems,a switching system control model is built based on the transmission power level,in which a larger transmission power leads to a smaller packet dropout rate,and hence a better system performance.Then by using average dwell time technique,sufficient conditions for the exponential mean square stability and schedulability requirements are obtained.Finally,a co-design framework for transmission power allocation and system stabilization is derived,which can guarantee a desired decay rate of the system with minimal communication energy consumption.

Networked control systems,power allocation,packet dropout,exponential mean square stability

December 28,2015;accepted April 28,2016

王麗媛,郭戈,莊嚴.網絡控制系統發送功率分配問題研究.自動化學報,2017,43(8):1350?1357

Wang Li-Yuan,Guo Ge,Zhuang Yan.Transmission power allocation for networked control systems.Acta Automatica Sinica,2017,43(8):1350?1357

2015-12-28 錄用日期2016-04-28

國家自然科學基金(61273107,61174060),大連領軍人才項目(841252),中央高校基本科研業務費(3132013334),遼寧省高等學校優秀人才支持計劃(LJQ2013008)資助

Supported by Natural Science Foundation of China(61273107,61174060),Dalian Leading Talent Project(841252),Fundamental Research Funds for Central Universities(3132013334),and Training Program Foundation for University Talents by Liaoning Province(LJQ2013008)

本文責任編委陳積明

Recommended by Associate Editor CHEN Ji-Ming

1.大連理工大學控制科學與工程學院大連 116024 2.大連海事大學信息科學技術學院大連116026

1.School of Control Science and Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024 2.School of Information Science and Technology,Dalian Maritime University,Dalian 116026

DOI10.16383/j.aas.2017.c150876