側入式導光板網點半徑分布函數及網點設計

周士康，周君瑋，杜 金，陳春根

(上海三思科技發展有限公司 上海 201100)

側入式導光板網點半徑分布函數及網點設計

周士康，周君瑋，杜 金，陳春根

(上海三思科技發展有限公司 上海 201100)

本文導出了單邊、對邊和四邊進光的矩形導光板網點半徑分布的實用函數表達式。其中單邊進光導光板的半徑分布函數是基于導光板的基本原理直接導出，對邊和四邊進光導光板的半徑分布函數則是用改型的高斯函數由導光板的邊條件求得的函數解。半徑分布函數以物理意義明確的導光板參數如導光板的邊長，邊緣和中心網點半徑為自變量，可以直接用于不同邊長的矩形導光板的網點設計。為了進一步改善導光板的表面亮度的均勻性，本文還提出一種非常簡單的新方法來優化網點位置的分布，稱之為“局域隨機化方法”。對三種進光情況的仿真和以對邊進光為例的實際燈具的測量結果發光均勻度很好，證明本文的方法是一個成功的導光板設計方法。

導光板；側入式；散射網點；網點設計; LED; 照明

引言

側入式導光板相對于直下式導光板最大的優點是厚度薄、重量輕、成本低。目前，側入式仍是導光板生產的主流型式，特別是中小尺寸導光板幾乎全部是側入式的。對側入式導光板的研究一直沒有停止過，包括新的模組設計方法[1]和新的工藝[2]。但側入式導光板由于其光源位于邊緣，因此易于造成導光板表面亮度不均勻，因此網點設計就成了側入式導光板設計的關鍵所在。

對于側入式導光板散射網點的設計，絕大部分廠家的都是給定一個經驗網點分布，依賴商用光學仿真模擬軟件，根據仿真和實測的結果不斷人工修改規則分布的網點的大小或修改網點的分布位置。這樣做的問題是效率較低、耗時長。為此許多網點工作[1-9]都試圖從理論出發給出網點分布的數學計算模型。但這些理論工作絕大多數只對單邊進光的導光板。而實際上大部分導光板如電腦、平板燈等稍為大一些的都是多邊進光，不能用單邊進光的理論。高雙紅等人[3]研究了多邊進光的情況，其方法是四邊進光時把矩形導光板分成四個小區域，但這就不可避免存在區域間的“邊界效應”[8]，使得亮度不夠均勻。龐曉峰用Tracepro對一個小尺寸的導光板進行了優化，提高了均勻度[10],但仍是從單邊進光出發，應用范圍較小。黃逸峰等提出基于模糊化理論的自動化設計的方法，但過程較復雜且只舉了一維函數的例子[11]。

本文對單邊、對邊和四邊進光的三種情況導出了網點半徑的分布函數，這就可以一次性計算得到所有網點的半徑。而且使用的自變量都是有明確物理意義的基本參數，如導光板的邊長、邊緣網點半徑，實用性強。

對單邊進光的情況，本文在推導基本公式的基礎上，用邊條件把公式變為以導光板邊長和網點半徑為自變量的實用公式。對于對邊和四邊進光的情況，我們提出用改型的高斯函數作為試探函數，用邊條件來解得網點半徑分布函數。這使得在各種情況下我們都有了網點半徑分布的實用數學表達式，這就給導光板的設計工作帶來了極大的方便。

網點分布位置的隨機化可以進一步改善導光板的亮度均勻度。本文提出了一個非常簡單有效的方法，稱為“局域隨機化方法”代替了目前較流行但比較復雜的如斥力緩和法和動態分子法。

由于決定側光式導光板某處亮度的是該處網點的對光的散射程度，也就是網點的填充率(網點面積與其占有的面積的比)，因此只要控制填充率的分布，不管等半徑而不等間距的網點或等間距而不等半徑的網點都可以給出完全相同的結果。本文的方法采用的方案是等間距而不等半徑的圓形網點，計算的結果是網點半徑大小的分布，對于其他形狀的印刷式或立體網點，本文的基本原理同樣是可以使用的。

1 單邊進光網點半徑分布函數

對單邊進光的情況，下面我們直接從導光板的基本原理出發推導出均勻出光要求下網點半徑(r)和位置(x)的關系。

側入式導光板中，進入導光板的光線在導光板中多次全反射不斷向前傳輸，而導光板上的網點則改變了光線全反射的特性，使得照射在網點上的光線散射，由導光板的正面射出，導光板正面的光線就來自于這些散射光。

單邊近光導光板內的光通量是單個自變量x的函數，設其為Φ(x)。由于不斷散射，它是逐漸變小的，Φ(x)經過一個無限小的距離dx后其減少的部分可以用微分描述為-dΦ(x)。設單位長度散射到導光板外面的光通量為φ0，忽略吸收時光在經過dx長度后的損失部分-dΦ(x)當然就應該是散射到導光板外面的光φ0dx，這就得到了方程(1)：

(1)

我們希望導光板是均勻出光，因此φ0為與位置無關的常數。這樣在經過距離x后，散射到導光板外的總光通量應該是φ0x，設起始光通量為Φ0，因此光通量Φ(x)是從Φ0開始隨坐標x的增加而線性減少的，即

(2)

另一方面，散射光的多少應該與該處的光通量Φ(x)成正比，即

注意比例系數代表該處總光通量有多少散射出去了，它是一個與位置有關的函數，稱為出光效率σ(x)：

(3)

把式(1)和式(2)代入式(3)得單邊進光時出光效率函數為

(4)

值得注意的是我們的推導沒有引入任何假定，僅僅是從導光板基本原理和均勻出光的要求出發而得到的，式(4)是一維導光板的基本公式。

對于圓形網點情況，設網格為間距是Δx的小正方形，則按照定義，填充率η(x)應該是園面積除以正方形面積，即

(5)

而出光效率顯然是應該是正比于該處的填充率，設比例系數為k，即

(6)

由式(4)式(5)式(6)可得到了網點半徑函數為

(7)

設矩形導光板長邊的長度為2Lx，把坐標原點放在矩形正中心，則x的變化范圍為-Lx到Lx，則出光效率函數(4)和網點半徑分布函數(7)就分別變成為

(8)

(9)

文獻[5-7]也得到了類似的單邊進光導光板等直徑網點分布公式。但由于是其參數k和φ0是未知的，在使用上很不方便。我們發現可以從導光板的邊界條件出發可以把k和φ0消去，代之以網點半徑和導光板長度，從而把分布函數式(9)變為更實用的公式。

首先把r(x)寫成多元函數的形式：

(10)

其中r1和r2為x=-Lx和x=Lx時網點半徑，以k和φ0為未知變量，由下列兩個邊條件聯立方程求k和φ0的符號解：

(11)

可以得到

(12)

代入式(9)經簡化后可以得到半徑分布函數的表達式(13)。

(13)

式(13)就是最后的實用公式。由于聯立方程式(11)的解式(12)已經把自變量給取代了，使得φ0和物理意義不清晰的k也消失了，自變量變成了物理意義清晰的r1,r2,Lx，這將十分有利于導光板設計。

注意到自變量Φ0自動消失了，這在物理意義上是很合理的結果，反映了起始光通量Φ0是一個相對值，不應該影響半徑的分布。另外Δx也消失了，這反映了半徑分布函數的連續性，即與網點間距Δx無關。還有，由式(12)還可以看到，要使得光通量φ0>0必須r2>r1，也就是離光源越遠網點越大。以上這些數學和物理的一致性還可以在一定程度上反過來證明了我們所得函數的合理性。此外，所得公式的簡單性，對稱性也令人滿意。

這樣，只要給定r1,r2,Lx的具體數值，立刻就可以由式(13)得到網點分布函數。例如，對于半邊長為50 mm，邊緣網點半徑為0.5 mm和1 mm的導光板，其網點半徑的分布應該為函數r(x,0.5,1,50)，如圖1所示。

圖1 單邊進光導光板網點半徑分布函數舉例Fig.1 The dot radius distribution function of light guide plate with unilateral edge lighting

2 對邊進光網點半徑分布函數

對于對邊進光的情況，考慮是否可以由單邊進光推廣到雙邊呢？基于非相干光的可疊加性原理，的確可以把通過網點散射出來的光通量分成兩部分之和。這時，式(1)和式(2)應該分別對兩部分成立，但是這樣得到的是兩個函數，而網點分布函數必須是一個?？梢娢覀儾荒芡ㄟ^上面單邊進光的公式推廣從而求得對邊進光時的通解。我們的解決方法是用一個試探函數求得在給定邊條件下的一個特解，只要此解滿足導光板是均勻出光的要求就可以了。

分析這一試探用的函數應該符合幾個要求，一是離開光源越遠則網點應越大，這是側面進光導光板的一般規律；二是左右對稱性，這是在對邊進光是顯然的；三是平滑性，即不能有突變，這就要求函數的定義域包括整個導光板。這就可以大致知道試探函數應該是中間大邊緣小的左右對稱的鐘形曲線。我們在此聯想到，在數理統計理論中，如果一個量是由許多小的獨立隨機因素影響的結果，那么就可以認為這個量具有高斯分布函數的性質，而高斯函數正是上面所說的左右對稱的鐘形曲線，這就自然想到有很多個網點的隨機散射的導光板的網點分布具有高斯函數的性質。這里要說明，雖然每條光線的散射方向是獨立隨機的，但我們卻不能嚴格證明網點半徑分布是符合高斯分布的。不過本文不去證明網點半徑分布是高斯分布，而是假定網點分布符合高斯分布，反過來看這種網點分布是否能夠給出均勻的照度分布？其答案是能。

下面從高斯分布函數出發，再由矩形導光板的邊條件求得網點半徑分布函數。

高斯函數的標準形式為

將此函數用在導光板網點半徑分布時，其系數的意義就應該是中心點的半徑，令其為r1。將此式略加改型,即

(14)

式(14)中w是表示分布寬度的一個量，其系數為r1表示導光板中心點的網點半徑。而原來的指數2改成了變量ax，其目的是可以在2附近的一個小范圍內變化，以便在保持高斯函數性質的前提下人工地略微改變函數的分布，從而達到高均勻度。為了使函數仍然左右對稱，必須把x變為│x│。

令導光板邊緣的半徑為r2，則求解方程

(15)

可得w的符號解為

(16)

把式(16)代入式(14)，并把函數的形式改為多元函數，就得到了對邊進光時的x方向網點半徑rx的分布函數的符號形式為

(17)

舉一個例子，半邊長為50的導光板，其中心和邊緣網點半徑分別為0.3和0.02，半徑分布就應該簡潔地表示為

rx(x,0.3,0.02,50,2)=

(18)

作圖可得圖2。

圖2 對邊進光導光板網點半徑分布函數舉例Fig.2 The dot radius distribution of light guide plate with bilateral edge lighting

對于一個給定長度Lx的導光板，令ax=2，只要調節r1和r2的大小，用式(17)比較容易滿足均勻分布的要求，還可以略微調節ax來微調亮度分布。

3 四邊進光網點半徑分布函數

設矩形導光板兩個方向的半長度為Lx和Ly，可以直接把式(17)推廣到y方向，立刻可以寫出y方向網點半徑分布函數為

(19)

這里x和y是獨立的，在數學上是可以分離的變量，因此總的函數可以寫為

(20)

舉一個例子，矩形導光板長度為1 000 mm×600 mm，中心和邊緣網點半徑為0.5和0.1 mm，代入式(20)，得到網點半徑的分布函數表示為rxy(x,y,0.5,0.1,2,500,300)，計算此函數并作圖如圖3所示。

圖3 四邊進光導光板網點半徑分布函數舉例Fig.3 The dot radius distribution of light guide plate with quadrilateral edge lighting

4 網點半徑分布表

現在，求網點分布的問題就變成有了函數求自變量各個值時的函數值的簡單問題。可以先列出一個以x,y,r三個變量為三列的空表。網格的間距是可以根據工藝水平等因素選擇，后面的例子中都是針對圓形網點和正方形網格。

以對邊進光為例，網點計算結果見圖4所示。這里為了讀者看清規律，計算的網點數目比實際結果小了100倍。

圖4 對邊進光導光板網點原理圖Fig.4 Principle map of the dot-pattern of light guide plate with bilateral edge lighting

實際上網格的形狀可以為正方形、長方形、三角形或多邊形，由于這些形狀的規律性很強，用簡單的程序就可以解決此問題，這就不難在各種網格形狀下填充半徑分布表中的所有x和y值。

得到網點半徑分布表以后，還可用商用仿真程序如TracePro或LightTools進行仿真，這當然還要把上述分布表簡單地變成符合你使用的仿真程序具體格式要求的表格，這里也不必細說。

5 網點分布的局域隨機化方法

規則的網點分布有可能會產生莫爾條紋[18],從而影響導光板的均勻性。在網點間距較大時，可以用進一步優化網點分布的方法改善均勻性。優化網點分布的理論工作比較多[6-19]，如斥力緩和法、動態分子法、超均勻分布理論等。其中較先進的方法是動態分子法，這種方法可以理解為把網點看成一個個氣體分子，按分子動力學的理論，網點就像氣體分子那樣，距離遠了則引力起主要作用，將其拉近，距離近了則斥力起主要作用，則將其推遠，最后達到平衡時的距離，同時也達到一個隨機分布。但動態分子法循環周期長，耗時多。而且有人還對等半徑的網點做過試驗[16]，用動態分子法做無數次循環，最終結果反倒是所有分子(網點)都達到了平衡狀態，結果造成一個事與愿違的均勻網點分布。總之，由于這些工作的復雜性高，因此實用性較低，大都還是停留在理論層面上。

我們使用的方法稱為局域隨機化的方法，是一個非常簡單可靠的方法，就是用數學上的隨機函數產生一個隨機數，讓網點在局部范圍內抖動一個有限的距離。實際結果證明這種簡單的的方法也完全可以滿足隨機化的要求。我們嘗試了多個隨機化的方法，最終采取的方法是分別對網點的x和y坐標在周圍沒有被網點占用的范圍內隨機性移動一個距離，逐個對所有網點進行這個操作，就得到了新的網點分布。

(21)

這樣，對每個(x,y)都進行相同的操作，就會得到抖動后的網點分布。這一過程在求網點分布表的程序中只要增加很小的一段程序就可以完成。而且用局域隨機化方法得到的新的網點基本上不會與附近的網點重疊。

由于抖動的距離比起導光板尺寸來說非常小，而半徑分布函數是一個緩變函數，即函數值隨位置的變化不大，可以只抖動改變x和y的值而不改變r值。因此它也可以在得到網點分布表以后進行。

采用本文的局域隨機化方法對圖4的結果進行處理，結果見圖5。

圖5 網點隨機化原理Fig.5 Dot randomization principle

6 導光板仿真和實測

為了得到出光表面均勻的照度，在給定網格間距后要按照度仿真結果調整r1和r2。好在本方法需要調整的變量很少，而且實踐證明很快就可以得到滿意的結果，可以參照文獻[12]的方法進行調整。

以上看起來相對簡單的公式能夠得到均勻出光的導光板嗎？首先是用商用軟件進行仿真來證明。

6.1 單邊進光導光板仿真

舉例，導光板尺寸為100 mm×60 mm,坐標原點在正中心，點間距采用1.5 mm，用式(13)計算網點半徑。仿真的結果表明，當r1=0.3,r2=0.37時導光板亮度均勻度可以得到較好的結果。此時的半徑分布函數為r(x,0.3,0.37,50)，整個導光板的半徑分布函數如圖6所示。

圖6 單邊進光導光板網點半徑分布函數Fig.6 The dot radius distribution function of light guide plate with unilaternal edge lighting

在98 mm×58 mm的范圍內計算可得2 680個網點，用第5節的方法進行隨機化運算，結果見圖7所示。

圖7 單邊進光100 mm×60 mm導光板網點圖Fig.7 Dot map of 100 mm×60 mm light guide plate with unilaternal edge lighting

在TracePro中仿真的導光板表面照度分布,所用光線數為700 000，結果見圖8。

6.2 對邊進光導光板仿真

對于對邊進光的情況，我們以發光天花板用的平板燈為實際目標，計算了一個邊長為為270 mm，正方形網格的導光板，點間距Δx=Δy=1.4 mm，用式(17)計算網點半徑。

圖8 單邊進光導光板照度分布仿真結果Fig.8 Illuminance simulation result of the light guide plate with unilaternal edge lighting

仿真的結果表明，當中心網點r1=0.31 mm，邊緣網點r2=0.14 mm，而ax=2時導光板亮度均勻度就可以得到較好的結果,此時半徑分布函數為rx(x,0.31,0.14,135,2)，整個導光板的半徑分布函數如圖9所示。

圖9 雙邊進光導光板網點半徑分布函數Fig.9 Dot radius distribution function of the light guide plate with bilateral edge lighting

圖10 對邊進光270 mm×270 mm導光板網點圖Fig.10 Dot map of 270 mm×270 mm light guide plate with bilateral edge lighting

在268 mm×268 mm范圍內的網點總數為32 014個，采用局域隨機化方法優化計，圖10為計算結果。圖11為在TracePro中仿真的導光板表面照度分布。

圖11 對邊進光導光板照度分布仿真結果Fig.11 Illuminance simulaton result of the light guide plate with bilateral edge lighting

仿真結果是在未經區域性修正情況下得到的，均勻度達到了97%，這也說明本文的方法是較成功的。

6.3 四邊進光導光板仿真

四邊進光可以用于相對較大的導光板，但此時要達到較好的均勻性就更困難，用本文的式(20)卻可以較好地解決此問題。以1 000 mm×1 000 mm的正方形導光板為例。這里直接給出其網點半徑分布函數、22萬個圓形網點分布、仿真亮度分布等結果分別見圖12、圖13和圖14所示，不再詳細說明。

6.4 對邊進光導光板制造和測量

我們用6.2節計算結果制作了270 mm×270 mm對邊進光的導光板，網點為圓形，黑色油墨印刷，分別使用PMMA和鋼化玻璃兩種材料進行試制，并組裝成300 mm×300 mm的平板燈，可以用在發光天花板等地方。圖15為我們試制的平板燈燈具。

圖12 四邊進光導光板網點半徑分布函數Fig.12 Dot radius distribution function of the light guide plate with quadrilateral edge lighting

圖13 四邊進光1 000 mm×1 000 mm導光板網點圖Fig.13 Dot map of 1 000 mm×1 000 mm light guide plate with quadrilateral edge lighting

圖14 四邊進光導光板照度分布仿真結果Fig.14 Illuminance simulation result of light guide plate with quadrilateral edge lighting

圖15 側發光導光板組裝的面光源平板燈Fig.15 The panel lamp with plance light source assembled by the light guide plate with edge lighting

該樣品實際加工后測量的表面照度均勻度如表1所示，均勻度為92.1%，與仿真結果有差別，分析主要是由于仿真是按照材料吸收為零進行的。表面亮度正比于照度。

經驗證明，矩形導光板邊緣的四個角容易和中間的照度不同，而令人高興的是，在我們加工的例子中，沒有發生這種情況，一輪計算就得到了很好的均勻度。在其他情況下，如果出現了不均勻的情況，或需要更高的均勻度，則還可以進行局部調整，也就是對某些位置的網點修改其r值。我們已經給出了具體的局部調整的計算方法和程序，但不在本文中給出，只需說明基于網點半徑分布表，只要判斷x，y是否在修改的范圍內就可以用計算機輔助來進行修正了。

表1 面光源平板燈表面照度實測結果

7 討論

1)本文對光源的性質沒有要求，冷陰極熒光燈(CCFL)或發光二極管(LED)都可以用。對網格的形狀也沒有要求。本文的公式是以印刷式圓形網點為對象，而對于非圓形或非印刷式網點則根據情況對式(5)略加修改。

2)本文的公式是基于連續函數得到的，公式中沒有網點間距這個自變量，這意味著我們的實用函數實際上適用于任何網點間距。但實際上太大的間距會違反統計分布原理，而且導致網點半徑太大使得均勻度降低，太小的間距會導致半徑太小而不利與加工。

3)本文的公式是針對圓形網點的。但對其他形狀的印刷式網點，只要所有網點形狀都一樣，則決定網點面積的仍然是單個長度量，只需要把r改為另一個長度量即可。而對單邊進光的情況要根據簡單的幾何關系修改式(5)。

4)商用軟件TracePro 2013年以后的版本有一個插件，其中采用了高斯函數來作為“占空比”的分布函數。但它只能用于旋轉對稱的分布，因此它并不適合矩形導光板，特別是對邊進光的情況。而且其高斯函數的具體形式不能變，也就是調節分布時只能函數的中心值和邊緣值兩個點。因此不能得到令人十分滿意的結果。

5)用多項式代替高斯函數也是可能的，但前者有明顯的缺點，那就是參數太多，使用不便。

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Dot Radius Distribution Function and Dot-pattern Design of Light Guide Plate with Edge Lighting

ZHOU Shikang, ZHOU Junwei, DU Jin, CHEN Chungen

(ShanghaiSansiTechnologyCo.Ltd,Shanghai201100,China)

The dot radius distribution functions of light guide plate with edge lighting are derived in this paper for unilateral, bilateral and quadrilateral edge lighting. The function with unilateral lighting is derived based directly on the basic principle of light guide plate, while the functions with bilateral and quadrilateral edge lighting are the solutions of the modified Gaussian distribution function under the boundary value conditions of the plate. The functions, with the variables having definite physical meaning such as length of the light guide plate and the radius of the bordered and central dots, can be directly used for the design of rectangle light guide plate with different size. In order to further optimize the luminance uniformity of the light guide plate, a kind of very simple optimizing method called "local area randomization method" are proposed. The simulation results for three types of edge lighting and the measure results of actual manufacture lamps for bilateral edge lighting as an example have very good luminance uniformity. It is shown that the above method is a successful design method for light guide plate.

LGP; edge lighting; scattering netted dots; dot-pattern design; LED; lighting

O43 TN312

A

10.3969/j.issn.1004-440X.2017.04.020