常用湍流模式及其優缺點

(揚州大學 江蘇 揚州 225000)

常用湍流模式及其優缺點

陳偉

(揚州大學江蘇揚州225000)

從工程實際應用的角度介紹和總結了以往工程中常用的一些湍流模式，并分析這些模式對應的優缺點及適用范圍。

湍流；湍流模式；模型

一、湍流的數值模擬方法

目前的湍流數值模擬方法可以分為直接數值模擬方法和非直接數值模擬方法。前者是指直接求解瞬時湍流控制方程，而后者是不直接計算湍流的脈動特征，而是對湍流作某種程度的近似和簡化處理。非直接數值模擬方法分為大渦模擬、統計平均法和Reynolds平均法。

二、大渦模擬法

為了模擬湍流運動，一方面要求計算區域的尺寸應大到足以包含湍流運動中出現的最大渦，另一方面要求計算網格的尺寸應小到足以分辨最小渦的運動。隨著計算機的發展，計算速度和計算容量得到大幅提高，現已有一些研究機構對Navier-stokes方程不做模型化或者簡化，利用高性能的計算機劃分極密的網格直接求解Navier-stokes方程，也即直接數值模擬(DNS-Directly Numerical Simulation)。然目前普通研究人員尚無法實現DNS，故只將大于網格尺度的湍流運動通過Navier-stokes方程直接計算出來，而小尺度的湍流運動對大尺度湍流運動的影響則利用次網格尺度模型來模擬，也即介于DNS和雷諾時均方法之間的大渦模擬法(LES-Large eddy simulaton)。

三、Reynolds 平均法

從工程應用的觀點上看，重要的是湍流所引起的平均流場的變化這種整體的效果。所以在求解Navier-stokes方程時不用求解方程的全部細節，只要求解時均化的Navier-stokes方程，并將瞬態的脈動量在時均化的方程中體現出來，也即Reynolds平均法。

(一)Reynolds應力模型。在Reynolds應力模型方法中，直接構建表示Reynolds應力的方程，然后聯立求解。通常情況下，將Reynolds應力方程是微分形式的方程稱為Reynolds應力方程模型，將Reynolds應力方程的微分形式簡化為代數方程的形式，則稱為代數應力方程模型。

(二)Reynolds 應力方程模型。Reynolds應力方程模型(RSM-Reynolds Stress equation Model)的使用必須先得到Reynolds應力輸運方程。

RSM屬于高RE數的湍流計算模型，在固體壁面附近由于受到分子粘性的作用，湍流脈動收到阻尼，RE數很小，上述方法不再適用。因而必須采用壁面函數法或者低RE數的RSM法來處理近壁面區的流動計算問題。

由上述方法建立的對壓力應變項等的計算公式，經計算實踐表明，RSM雖然能考慮一些各向異性效應，但效果未必比其他的模型效果好，在計算突擴流動分離區和計算湍流輸運各向異性較強的流動時，RSM優于雙方程模型，但對于一般的回流流動，RSM的結果并不一定比k-ε模型好。另一方面，就三維問題而言，采用RSM法意味著要多求解6個Reynolds應力的微分方程，計算量更大，故RSM不如k-ε模型應用更廣泛。

(三)代數應力方程模型。由于RSM過于復雜且計算量大，從而衍生了一種用不包含微商的表達式來代替RSM中包含Reynolds應力微商的項，也即代數應力方程模型(ASM-Algebraic Stress equation Model)。

在對RSM中的Reynolds應力方程進行簡化時，重點集中在對流項和擴散項的處理上。一種簡化方案是采用局部平衡假定，即Reynolds應力的對流項和擴散項之差為零；另一種簡化方案是假定Reynolds應力的對流項和擴散項之差正比于團動能k的對流項和擴散項之差。

ASM是將各向異性的映像合并到Reynolds應力中進行計算的一種經濟算法，但因其要比k-ε模型多解6個代數方程組，其計算量還是遠大于k-ε模型。

ASM雖然不像k-ε模型應用廣泛，但可用于k-ε不能滿足要求的場合以及不同的傳輸假定對計算精度影響不是十分明顯的場合。例如：對于像方形管道和三角形管道內的扭曲和二次流的模擬，由于流動特征是由Reynolds正應力的各向異性造成的，因此使用標準k-ε模型得不到理想結果，而使用ASM就非常有效。

(四)渦粘模型。在渦粘模型方法中，不直接處理Reynolds應力項，而是引入湍動粘度，或稱渦粘系數，然后把湍流應力表示成湍動粘度的函數，整個計算的關鍵在于確定這種湍動粘度。

Boussinesq渦粘假定建立了Reynolds應力相對于平均速度梯度的關系；故計算湍流流動的關鍵在于確定μt。渦粘模型就是把μt與湍流時均參數聯系起來的關系式。一局確定μt的微分方程數目的多少，渦粘模型包括：零方程模型、一方程模型和兩方程模型。

(五)零方程模型。零方程模型是指不實用微分方程，而是用代數關系式把湍動粘度與時均值聯系起來的模型。它只用湍流的時均連續方程和Reynolds方程組成方程組，把方程組中的Reynolds應力用平均速度場的局部速度梯度表示。

混合長度理論的優點是直觀簡單，對于射流、混合層、擾動和邊界層等帶有薄的剪切層的流動比較有效，但只有在簡單的流動中才比較容易給定混合長度lm，對復雜流動則很難確定lm，而且不能用于模擬帶有分離及回流的流動。

(六)一方程模型。在零方程模型中，湍動粘度μt和混合長度lm都把Reynolds應力和當地平均速度梯度相聯系，從而達到一種局部平衡，但是忽略了對流和擴散的映像。為了擬補混合長度家丁的局限性，在湍流的時均連續方程和Reynolds方程的基礎上，在建立一個湍動能k的輸運方程，而μt表示成k的函數，從而可使方程組封閉。

一方程模型考慮到湍動的對流輸運和擴散輸運，因而比零方程模型更為合理。但是一方程模型中如何確定長度比尺l仍是不易解決的問題。

(七)兩方程模型。在一方程模型的基礎上，再引入一個關于湍流耗散率ε的方程后形成了k-ε兩方程模型，稱為標準k-ε模型是。

k-ε模型具有以下特點：(1)通過求偏微分方程考慮湍流物理量的輸運過程，即通過求解偏微分方程確定脈動特征速度與平均場速度梯度的關系，而不是直接將兩者聯系起來；(2)特征長度不是由經驗確定，而是以耗散尺度作為特征長度，并由求解相應的偏微分方程得到；(3)計算所需內存較少，計算穩定。

它也有如下缺點：(1)該模式中因假定Reynolds應力與當地的平均切變率成正比，故不能準確反映Reynolds應力沿流向的歷史效應；但是由于脈動特征速度和特征長度使用過解相應的微分方程得到，因而k-ε模型在一定程度上又考慮了流場中各點的湍能傳遞和流動的歷史作用；(2)該模式是各項同性模式，橫道斷面上由Reynolds應力場的各向異性所生成的二次流不能用其來模擬；(3)Reynolds應力生成項對即使很小的縱向曲率都十分敏感，而標準k-ε模型對附加應變不存在放大作用，因此對此類流動的模擬不適用；(4)一般而言，流動越復雜，標準k-ε模型模擬出的Reynolds應力精度也相應越低。

[1]王福軍，計算流體動力學分析，清華大學出版.

[2]劉士和等，工程湍流，科學出版社，2011.1.

[3]梁在潮等，工程湍流，華中理工大學出版社，1999.4.

[4]王玲玲，大渦模擬理論及其應用綜述，1000-1980(2004)03-0261-05.

陳偉(1993-)，男，漢族，安徽六安，研究生在讀，揚州大學，河流動力學。