基于非因果信號處理的分數(shù)階次低通濾波器

吳媛媛 潘 祥 姜太平 劉 恒 劉宏申 王修君

(安徽工業(yè)大學計算機科學與技術(shù)學院圖像處理研究所 安徽 馬鞍山 243032)

基于非因果信號處理的分數(shù)階次低通濾波器

吳媛媛 潘 祥 姜太平 劉 恒 劉宏申 王修君

(安徽工業(yè)大學計算機科學與技術(shù)學院圖像處理研究所 安徽 馬鞍山 243032)

就目前而言，對于低通濾波器都不能在去除噪聲與保留圖像的邊緣和紋理細節(jié)之間達到權(quán)衡。針對上述情況，進一步分析并研究分數(shù)階次積分的幅頻與相頻的特性，再結(jié)合非因果信號處理思想，從而提出一種基于非因果信號處理的非因果分數(shù)階次低通濾波器NCFLPF(Non-causal Fractional Low-pass Filter)。通過在合成和自然噪聲圖像上的定量和定性對比實驗表明，所提新方法不僅能抑制濾波過程中的相位失真，而且還能在有效平滑噪聲的同時，盡量保留著圖像的細節(jié)。

非因果信號處理 分數(shù)階積分 圖像去噪 低通濾波器

0 引 言

噪聲的污染存在于圖像信號的獲取和傳輸?shù)倪^程，從而很容易形成可視性差的圖像。因此對圖像的進一步處理如模式識別、邊緣檢測、圖像分割、特征提取等產(chǎn)生一些不必要的影響。那么，圖像預(yù)處理就需要一個很重要的步驟——圖像去噪。到目前為止，國內(nèi)外研究者們已經(jīng)研制出了許多基于整數(shù)階微積分的降噪方法包括平均濾波，中值濾波及其改進的方法等[1]。迄今為止，一種被普遍使用的非線性平滑濾波——中值濾波。它就是將數(shù)字圖像中任意一點的像素值通過用該點的鄰域中所有像素點進行中值代換，從而使得某些與鄰域的像素值差別比較大的像素點等同于周圍的像素值。這樣可消除差異性和孤立的噪聲點，所以對于濾除圖像的椒鹽噪聲，中值濾波具有很好的效果[2]。均值濾波是一種簡單的空域濾波算法，最主要的就是其算法簡單和計算速度快。它的缺點是對圖像去噪時會損失圖像的邊緣等細節(jié)信息，讓圖像變得模糊不清，這樣的去噪效果不是理想中的所要得到的結(jié)果[3]。基于偏微分方程的圖像去噪也是一類空間域濾波方法,而此類方法對脈沖噪聲有比較好的抑制效果,但是它對高斯白噪聲去噪只有一般的效果。高斯濾波是一種空間域去噪方法，它能很有效地使得圖像平滑區(qū)域的噪聲被去除，但是由于高斯濾波器是各向同性的，不區(qū)分邊緣和細節(jié)，因此它也很容易造成圖像邊緣和細節(jié)的模糊[4]。顯而易見,上述濾波算法的去噪模型都是整數(shù)階次的，雖然都能在不同程度上去除圖像的噪聲，但是通常會使其丟失大部分的邊緣和細節(jié)信息[5]。

近年來，分數(shù)階微積分在基礎(chǔ)研究及工程應(yīng)用中已經(jīng)越來越重要了，如數(shù)字信號處理[6-8]、數(shù)字圖像處理[9-12]、控制理論[13-15]。在圖像處理中，分數(shù)階微積分被廣泛應(yīng)用到圖像增強和邊緣檢測中[16]，它們主要是利用分數(shù)階微積分能夠增強圖像邊緣的同時能保留較為低頻的細節(jié)信息。在文獻[17]中給出了基于分數(shù)階積分的圖像去噪算法，并且分析說明了分數(shù)階積分對于圖像去噪的可行性。文獻[18]提出了一種基于鄰近算法的分數(shù)階次全變分模型。文獻[17-22]都是利用分數(shù)階次的去噪模型進行去噪，若從信號處理的角度進行分析，他們在單一方向上只僅有因果或者反因果的單向濾波，但是他們都是通過使用分數(shù)積分和非因果信號處理的理論來消除噪聲的。

由上述討論，本文結(jié)合了分數(shù)階積分的特點和非因果濾波的零相移特性，將前向分數(shù)階積分和反向分數(shù)階積分進行組合從而構(gòu)造出非因果分數(shù)階次低通濾波器(NCFILPF)。它不僅能有效抑制相位失真，并且在消除噪聲的同時還能夠有效地保留著邊緣、紋理等細節(jié)信息。

1 分數(shù)階積分定義

1.1 R-L分數(shù)階積分

函數(shù)f(x)的τ∈C階前向和后向Riemann-Liouville(R-L)[11-12]積分分別由式(1)和式(2)定義。

(1)

(2)

1.2 R-L分數(shù)階積分頻域?qū)崿F(xiàn)

函數(shù)f(x)的Laplace變換為：

(3)

由式(2)和式(3)可得，后向分數(shù)階積分的Laplace變換為：

(-s)-τL{f(x)}

(4)

其中L{}表示Laplace。

由此類推，由式(1)和式(3)可得前向分數(shù)階積分的Laplace變換為：

(5)

2 非因果低通濾波器的設(shè)計

一個因果濾波器在信號處理中被看做是一個因果系統(tǒng)，那么，對于一維信號處理的因果或非因果濾波器就是時變和線性因果或非因果系統(tǒng)。因果系統(tǒng)或濾波器的輸出僅依賴于當前和過去的輸入。區(qū)分因果濾波器，非因果濾波器的輸出不僅依賴于當前和過去的輸入，而且還依賴于未來的輸入。此外，反因果系統(tǒng)的輸出僅由未來輸入控制。系統(tǒng)或濾波器是實時的，必須是因果關(guān)系，因為它們只對當前和過去的輸入起作用。通過二維圖像處理來替代一維序列信號處理，非因果或反因果濾波器的輸出是實時的，能夠自由地依賴于當前，過去和未來輸入。反因果和因果濾波器分別對應(yīng)于前向和后向積分。在本節(jié)中，由反向(因果)和前向(反因果)分數(shù)積分構(gòu)成的非因果分數(shù)積分低通濾波器(NCFILPF)由拉普拉斯變換嚴格定義。執(zhí)行零相移的NCFILPF提供了一種平滑噪聲的新技術(shù)。 NCFILPF與經(jīng)典整數(shù)階積分相比較，主要區(qū)別在于NCFILPF的階次具有可控性并且還可以通過調(diào)整分數(shù)階來調(diào)整幅度和頻率的特性，更進一步地實現(xiàn)了消除噪聲和保留邊緣和紋理細節(jié)特征之間的權(quán)衡。同時該部分還導出了空間域中的NCFILPF的掩膜。該算法實現(xiàn)總體流程如圖1所示。

圖1 實現(xiàn)此算法的流程圖

2.1 因果分數(shù)階積分器

(6)

分數(shù)階積分在空間域(時域)中可通過函數(shù)與狄拉克δ(x)函數(shù)的分數(shù)階積分的卷積來實現(xiàn)。下面給出了具體的證明，并得到空間域中的因果分數(shù)階積分器。

狄拉克函數(shù)δ(x)具有如式(7)所示的屬性：

(7)

其中，b≤c≤d。

由式(2)和式(7)可得狄拉克函數(shù)δ(x)的τ階后向(因果)分數(shù)階積分，即x<0時，有：

(8)

(9)

那么，函數(shù)f(x)的τ階后向(因果)分數(shù)階積分就可以表示成函數(shù)f(x)與狄拉克函數(shù)δ(x)的τ階后向(因果)分數(shù)階積分的卷積形式，如式(10)所示：

(10)

2.2 反因果分數(shù)階積分器

(11)

與因果分數(shù)階積分器類似，在空間域(時域)中，分數(shù)階前向(反因果)積分可以通過函數(shù)與狄拉克函數(shù)δ(x)的分數(shù)階前向(反因果)積分的卷積來實現(xiàn)。下面給出具體的證明，最后能夠得到空間域中的反因果分數(shù)階積分算子。通過式(1)和式(7)易得狄拉克函數(shù)δ(x)的τ階前向(反因果)分數(shù)階積分，也即x>0時，有下式成立。

(12)

(13)

從而，函數(shù)f(x)的階前向(反因果)分數(shù)階積分可以表示為函數(shù)f(x)與狄拉克函數(shù)δ(x)的τ階前向(反因果)分數(shù)階積分的卷積形式，如式(14)所示：

(14)

其中，τ∈C,Re(τ)≥0。

2.3 非因果分數(shù)階積分器

因果與反因果分數(shù)階積分的Laplace變換域積分核(傳遞函數(shù))分別為(-s)-τ和s-τ。為了抑制相移，將后向(因果)傳遞函數(shù)(-s)-τ和前向(反因果)傳遞函數(shù)s-τ相加可得：

(15)

(16)

圖2為τ=0.4階新型積分和非因果分數(shù)階零相移濾波器的脈沖響應(yīng)。從圖2可見非因果分數(shù)階積分低通濾波器的脈沖響應(yīng)類同于平滑濾波器的脈沖響應(yīng)，是一種新型低通平滑濾波器，可以任意選擇其階次，濾波階次控制著幅頻特性，且相移恒為零度。

圖2 τ=0.4階新型積分和非因果分數(shù)階零相移濾波器的脈沖

從圖3可以清楚地看出：(1) 當頻率ω→0，NCFLPF的幅頻特性→∞；頻幅特性趨近于0，NCFLPF對信號隨著ω和τ的增加呈現(xiàn)非線性的衰減；(2) 在分數(shù)階積分階次0<τ<1時，NCFLPF在信號頻率較低的區(qū)域讓信號的幅值在一定程度上得到了提升，并且隨著積分階次的增加，提升的幅度非線性增加，可是所提升的幅度很明顯小于1.1和1.3階次；(3) 在積分階次0<τ<1時，在信號高頻區(qū)域，NCFLPF對信號的幅值的削弱程度是隨著τ的增加而非線性增加的，削弱的幅度也明顯小于整數(shù)階次。通過上述性質(zhì)表明了NCFLPF不僅能夠在衰減信號頻率高頻部分的同時，對高頻部分有所保留而且還能在增強信號頻率低頻部分的同時，對低頻部分也有了相應(yīng)的保留。這樣能夠在圖像去噪的過程中，對圖像的邊緣和紋理等細節(jié)信息有了一定程度上的保留。

圖3 τ階NCFLPF幅頻特性曲線

3 實驗及分析

評價圖像去噪方法有很多種[24]，在本文中采用的是峰值信噪比(PSNR)和平均結(jié)構(gòu)相似性(MSSIM)對實驗結(jié)果做圖像質(zhì)量評估。其中，最普遍和最廣泛被使用的一種圖像客觀評價指標即為PSNR，然而PSNR是在對應(yīng)像素點間誤差的基礎(chǔ)之上的，并未考慮到人眼的視覺特性。所以在PSNR基礎(chǔ)上增加了MSSIM, 它度量圖像的相似性是通過亮度、對比度、結(jié)構(gòu)這三個方面進行比較，因為，人眼對于這三面的敏感度較高，對區(qū)域的感知結(jié)果會受到鄰近區(qū)域的影響。

(17)

式中I0為原始圖像，In為對含有噪聲的圖像去噪后的圖像。

(18)

(19)

其中σx和σy分別表示圖像x和y的方差，σxy是x和y的協(xié)方差。C1=(K1L)2,C1=(K2L)2,K1=0.01,K2=0.03,L=255，MSSIM越大說明去噪效果越好。

本文實驗均是利用了Matlab軟件在Win 7系統(tǒng)環(huán)境下進行仿真測試操作。所用到的測試圖像是圖像處理中最常用的國際測試標準圖像，分別為256×256像素的lena、Barbara、cameraman的經(jīng)典灰度圖像。并對其加入均值為0，標準差分別為0.03、0.06、0.09、0.12的高斯白噪聲，分別用均值去噪算法、高斯去噪算法、文獻[18]的PAFOT、文獻[17]的FIDA、文獻[22]的IFODM進行對比實驗。為了看加入等量增長的噪聲所產(chǎn)生的效果以及實驗結(jié)果更加明顯，特選擇文中實驗時加入噪聲的各數(shù)值。本節(jié)通過對比實驗圖片結(jié)果，驗證了所提出的算法在濾波過程中確實具有很好的去噪效果和保留圖像細節(jié)的能力。

圖4表示不同階次的 NCFLPF 對含有均值為0，標準差為 0.03高斯白噪聲的256×256像素的 lena 灰度圖像去噪后的圖像，很明顯能看出伴隨著積分階次τ的增加，濾波器的去噪效果也就越來越好，隨之圖像的邊緣和細節(jié)也會有所丟失。這也意味著在降低噪音的同時，圖像隨之變得模糊。 NCFILPF中的前向和后向分數(shù)階積分都用作特定的低通平滑濾波器，來消除噪聲的同時是相移恒為零。因此，可以通過改變分數(shù)階的值來調(diào)節(jié)邊緣和紋理的細節(jié)特征的損失，即通過控制積分階次τ的值來實現(xiàn)圖像去噪與保留細節(jié)之間的平衡(根據(jù)對圖2的τ值分析進行了多組實驗之后，選擇出了具有代表性的幾組不同τ值的實驗結(jié)果圖)。

圖4 τ階分數(shù)階次NCFLPF對lena圖像去噪效果比較

圖5是分別用均值去噪、高斯去噪、FIDA、PAFOTV、IFODM、NCFLPF對lena(添加u=0,σ=0.06高斯白噪聲)的圖像去噪效果比較。提取去噪后的圖片中的框線(圖4(a)框出部分)內(nèi)部部分進行放大比較，可以直接觀察出NCFLPF比起傳統(tǒng)的去噪算法在去噪的同時更好地保留了圖像的細節(jié)特征(帽子的邊緣更清晰，帽子上的穗的細節(jié)更清楚，眼睛也更清楚)，也具有更高的PSNR和MSSIM。

圖5 lena(σ=0.06)的噪聲圖像去噪效果圖以及局部放大圖

圖6是采用256×256像素的barbara 灰度圖像作為測試圖像，加入均值等于0，標準差為0.06 的高斯噪聲情況下，將均值去噪算法、高斯去噪算法、FIDA、PAFOTV、TFODM、NCFLPF對其進行去噪比較，并將去噪后的效果圖的線框處的barbara的圍脖的部分進行放大對比(紅色線框內(nèi)為放大圖)。可以看出NCFLPF比起其他去噪方法對圍脖的細節(jié)保留得更好，說明 NCFLPF 擁有更好的細節(jié)保留能力。

圖6 六種不同的去噪算法對parpara含噪圖像(σ=0.06)去噪后效果圖

圖7為分別用均值去噪算法、高斯去噪算法、FIDA、PAFOTV、IFODM、NCFLPF對(加入均值為0，標準差分別為0.03、0.06、0.09、0.12的高斯白噪聲)lena圖像，對去噪效果使用PSNR進行衡量比較的圖，可以看出NCFLPF具有 較高的PSNR和MSSIM。

圖7 NCFLPF與其他的去噪算法對lena(圖像添加不同程度的噪聲)去噪后計算的PSNR和MSSIM比較圖

圖8為分別用均值去噪算法、高斯去噪算法、FIDA、PAFOTV、IFODM、NCFLPF對(加入均值為0，標準差分別為0.03、0.06、0.09、0.12的高斯白噪聲)parpara圖像對去噪效果使用PSNR進行衡量比較，可以看出NCFLPF具有較高的PSNR和MSSIM。

圖8 NCFLPF與其他的去噪算法對barbara(添加不同程度的噪聲)圖像去噪后計算的PSNR和MSSIM比較圖

圖9是采用256×256像素的cameraman灰度圖像作為測試圖像，在加入均值等于0，標準差為0.06的高斯噪聲情況下，將均值去噪法、高斯去噪法、FIDA、PAFOTV、IFODM、NCFLPF對其進行去噪比較的效果圖，所提出的NCFILPF優(yōu)于以上所提到的其他算法。

圖9 cameraman(σ=0.06)的噪聲圖像去噪效果圖

4 結(jié) 語

本文摒棄了傳統(tǒng)的基于整數(shù)階次和因果濾波的去噪模型，構(gòu)造了基于分數(shù)階積分理論和非因果系統(tǒng)的非因果分數(shù)階低通濾波器。通過改變設(shè)置的分數(shù)階階次的大小來對圖像的去噪效果進行控制。本文提出的濾波器相對于傳統(tǒng)的去噪方法不僅能夠有效地抑制濾波的相位失真，而且能在圖像去噪的同時使得圖像還能更好地保留細節(jié)信息。由于圖像濾波操作是圖像預(yù)處理不可缺少的操作，即它是特征提取、圖像識別、圖像復原等后續(xù)工作順利進行的必要操作。本算法可用于醫(yī)學、考古學等領(lǐng)域中對圖像進行有效地去除背景中的噪聲，還能很好地保護圖像目標的特征結(jié)構(gòu)，比如常見的是對醫(yī)學CT圖像的處理。本文的研究工作還存在著一些不足之處，在今后的研究中還有待改進。例如，如何實現(xiàn)自適應(yīng)的圖像去噪；如何利用分數(shù)階微積分從圖像中精確辨析噪聲點，從而實現(xiàn)定點去噪都是需解決的問題。

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NON-CAUSALSIGNALPROCESSINGBASEDFRACTIONALLOW-PASSFILTER

Wu Yuanyuan Pan Xiang Jiang Taiping Liu Heng Liu Hongshen Wang Xiujun

(InstituteofImageProcessing,SchoolofComputerScienceandTechnology,AnhuiUniversityofTechnology,Ma’anshan243032,Anhui,China)

Since the existing low-pass filters failed to reserve the edge and texture detail while eliminating the image noise, we analysed and studied further about the characteristics of the amplitude-frequency and the phase-frequency of forward and backward fractional integration. Then, combined with the non-causal signal processing, a novel non-causal fractional low-pass filter (NCFLPF) based on non-causal signal processing is proposed. The qualitative and quantitative experiment on synthetic and natural noise image indicated that the proposed method not only suppress the phase distortion, but also reserve the image detail while effectively eliminate the noise.

Non-causal signal processing Fractional integration Image denoising Low-pass filter

TP3

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2017.09.039

2017-04-11。國家自然科學基金青年基金項目(61602007)；安徽省自然科學基金青年基金項目(1608085QF132)。吳媛媛，碩士生，主研領(lǐng)域：圖像處理。潘祥，副教授。姜太平，副教授。劉恒，教授。劉宏申，教授。王修君，講師。