基于EFG法散熱結構的最優拓撲構型設計研究

張麗娜，唐芳，劉吉普，陳優

基于EFG法散熱結構的最優拓撲構型設計研究

張麗娜1，唐芳2，劉吉普1，陳優1

（1.湖南應用技術學院機電工程學院，湖南常德415100；2.湖南理工職業技術學院風能工程學院，湖南湘潭411105）

基于EFG法，提出了一種散熱結構的拓撲優化設計方法。基于該方法，通過編程，進行了散熱結構的最優拓撲構型設計。結果表明，該方法可以應用于散熱結構的最優拓撲構型設計，并為工程散熱結構的優化設計提供理論指導。

EFG法；散熱結構；拓撲優化；變密度法

功率電子器件、發動機等產品的散熱特性對其工作性能有重要影響，如計算機芯片的有效冷卻已成為影響個人計算機性能進一步提高的瓶頸問題。傳統散熱結構的傳熱設計一般是假定特定結構，通過傳熱計算來進行，然而不同拓撲結構形式散熱器的傳熱效果顯然不同，如何尋找最佳傳熱拓撲結構，已成為工程傳熱結構優化設計的關鍵技術問題。

近年來，國內外部分學者提出利用結構拓撲優化方法，對傳熱結構的最佳拓撲進行設計。當前，傳熱結構拓撲優化研究主要基于有限元法進行。然而，由于有限元法采用基于單元的插值方法，溫度場及拓撲優化中的單元相對密度場的連續性低，導致拓撲優化過程中常出現如棋盤格和網格依賴性等數值不穩定現象[1-2]，不利于工程應用。

無網格Galerkin（Element-Free Galerkin，EFG）法作為一種新型數值分析方法，具有計算精度高、收斂快和穩定性好等[3]優點，在結構大變形[4-5]、動態裂紋擴展[6-7]和結構優化[8]等眾多計算力學領域得到了廣泛應用。與有限元相比，EFG法采用基于離散點的逼近方法，可構造出高階場函數，并且所得計算結果光滑連續，無需進行光滑化處理[9]。因此，本文將EFG法應用于傳熱分析，開展基于EFG法的傳熱結構拓撲優化研究，有望解決有限元法在傳熱結構優化中存在的問題，并對工程中散熱結構的優化設計具有重要指導意義。

1 EFG離散模型

EFG法利用移動最小二乘法構造位移逼近函數，在二維熱傳導問題中，其溫度場Th（x）的逼近函數為：

式中φ（x）為形函數。若采用罰函數法來處理本質邊界條件，對于固體熱傳導問題，則EFG法的離散形式可表述為：

式中，K為總體溫度剛度矩陣，由節點對溫度剛度矩陣KIJ組裝而成；T為節點溫度參數向量；P為總體熱載荷向量，由節點熱載荷向量FI組裝而成；α為罰因子。

式（3）與式（4）中均含有積分項，由于EFG法中積分項的被積函數并非簡單的多項式函數，因此需要利用高斯積分進行計算。本文基于有限元背景積分網格，采用高斯積分進行計算。

2 拓撲優化模型

基于EFG法熱傳導問題的拓撲優化數學模型可表述為：

式中，ρ為設計變量矢量；C為結構的散熱弱度；V（ρ）為優化后的結構總體積；V0為初始實體材料狀態的結構總體積；f為材料的最大體積保留率；為避免優化過程中剛度矩陣的奇異，引入密度下限值ρmin，一般取0.001.

3 最優拓撲構型設計

算例：如圖1所示，平板結構的長寬均為20 m，厚度為1 m，平板材料的熱導率為10 w/cm·℃.平板的熱載荷及邊界條件如圖1所示。

圖1 中心熱源平板模型及邊界條件

本文采用規則排布的節點進行離散，得到圖2所示的節點布置方案，節點總數為441.為了計算離散格式中的積分項，需要采用背景積分網格，本文采用與離散節點相重合的有限元背景積分網格，網格總數為400.

需注意的是，采用EFG法進行該結構的傳熱分析時，只需要一系列的離散點來構造溫度場的逼近函數，而無需有限元背景網格（僅用于計算離散格式中的積分項，與溫度場逼近函數無關），這是EFG等無網格方法與有限元法的本質區別。

利用EFG散熱結構拓撲優化程序，對該模型進行求解，得到了最優拓撲布局，如圖3所示。由圖6可知，在結構體積滿足一定約束的條件下，為保證最佳的散熱效果，結構的材料均布置在平板中心點與四個頂點的連線上。

圖4為原始平板結構的溫度分布云圖。由圖4可知，在平板中心點與四個頂點的連線上，溫度變化最大，即溫度梯度最大，因此沿中心點與四個頂點的連線方向，散熱效率最高。這與本文方法所得到的最優拓撲構型一致。

圖2 初始節點排布

圖3 最優拓撲構型

圖4 原始結構溫度分布云圖

4 結論

本文提出了一種基于EFG法的散熱結構拓撲優化設計方法。本文基于該方法編寫了計算程序，進行了散熱結構的最優拓撲構型設計。結果表明了本文方法可以應用于散熱結構的最優拓撲構型設計，并為工程散熱結構的優化設計提供理論指導。

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Study on Topology Design of Heat Radiation Structure Based on EFG Method

ZHANG Li-na1，TANG Fang2，LIU Ji-pu1，CHEN You1
（1.School of Electrical and Mechanical Engineering，Hunan Applied Technology University，Changde Hunan 415100，China；2.School of Wind Engineering，Hunan Vocational Institue of Technology，Xiangtan Hunan 411105，China）

In this paper，a kind of topology optimization design method for heat radiation structure based on EFG method was established.According to the method，topology design of heat radiation structure was accomplished by using the EFG program.The result shows that the method can apply to topology design of heat radiation structure，and it is provided the guidance for optimization design of heat radiation structure.

EFG method；heat transfer body；topology optimization；SIMD

TH123

A

1672-545X（2017）07-0018-02

2017-04-05

湖南省教育廳科學研究一般項目（16C1173、16C0745）

張麗娜（1987－），女，河南鶴壁人，碩士，主要從事過程裝備仿真及優化和節能與環保等研究；唐芳（1989－），女，湖南永州人，碩士，主要從事數值傳熱學及太陽能光熱利用技術研究。