基于源匯分布法的浸水結構振動特性分析

熊呂露， 王德禹

(1. 上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室， 上海 200240;2. 上海交通大學 高新船舶與深海開發裝備協同創新中心， 上海 200240)

基于源匯分布法的浸水結構振動特性分析

熊呂露1, 2， 王德禹1, 2

(1. 上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室， 上海 200240;2. 上海交通大學 高新船舶與深海開發裝備協同創新中心， 上海 200240)

提出了一個考慮線性波自由液面對浸水結構附連水質量影響的修正方法。基于源匯分布法應用伽遼金法獲得線性波自由液面邊界條件下虛擬點源位置及流體速度勢的近似解，進而得到相應的附連水質量。以部分浸沒懸臂板及某艦機艙雙層底模型為研究對象，通過MATLAB程序計算它們的前三階橫向振動頻率，計算結果分別與實驗結果和有限元結果進行比較分析。結果表明該方法不僅可以較為準確地反應線性波自由液面對附連水質量的影響，尤其在結構淺吃水或低頻振動的情況下修正效果更為明顯，而且避免了求解大型動力學方程，提高了計算效率。

浸水結構； 源匯分布法； 自由液面； 附連水質量

浸水結構的振動問題一直以來都是研究的重點，由于浸水結構的附連水質量通常和結構自身的質量在一個量級上，對結構的振動影響很大，因此不能予以忽略。經過半個多世紀的發展，也取得了一定的進展[1]，總結下來一般求解方法分為三大類：解析法[2]，基于勢流理論求解速度勢的拉普拉斯方程，即初邊值的偏微分方程問題，對于勢流中的流體附加質量計算較為準確，但只能針對簡單的結構，例如圓柱體，球體等，目前已經有成熟的解析法進行求解，可用于對其他計算方法進行校核；有限元方法，需對整個流體域進行建模求解，可以較為準確的模擬流場對結構的影響，從而計算結構的振動特性，適用于大型復雜結構的計算，但缺點是建模量大，計算機內存占用也大，效率較低；有限元-邊界元法[3-5]，基于邊界元的計算方法是將三維流場流體的動能轉化到流場邊界積分，避免了流體域的計算，大大降低了計算量，因此該方法在工程中的得到了廣泛的應用。本文便是基于邊界元法對浸水結構振動特性進行計算分析。

源匯分布法是邊界元法中較為常用的求解速度勢的方法，其中較為經典的Hess-Smith方法，將結構的濕表面分割為有限小單元，流體的運動則通過布置在結構濕表面的點源來反映。這樣，可以將無限域流體的計算轉化到結構濕表面每個單元塊上進行。目前有限元分析軟件NASTRAN中常用的虛擬質量法便是基于該方法求解計算的。

傳統源匯分布法將自由液面邊界上速度勢視為零，這樣自由液面對流域速度勢的影響可以用簡單格林函數進行描述，該方法計算簡單、快速，但這僅對浸水結構高頻振動計算較為準確，對于中低頻振動，通常采用復雜格林函數求解，但復雜格林函數存在奇點積分問題，且計算復雜，耗時較長。為簡單快速又能較為準確模擬線性微幅波自由液面邊界條件的影響，本文在簡單格林函數的基礎上對自由液面邊界條件進行修正，得到既可以簡單求解又具有一定準確性的線性波自由液面邊界條件下的浸水結構振動頻率計算方法。為提高計算效率，對結構動力學方程進行解耦，用修正方法求解流體速度勢，并用瑞利-李茲法求解結構在水中的固有頻率，避免了求解大型動力學方程，提高了計算效率。

1 數值方法理論基礎

1.1結構部分

無阻尼結構自由振動動力學方程：

(1)

基于振型疊加法，真空中結構振動位移為

(2)

式中：pr(t)為廣義坐標;φr(x,y,z)為結構的r階振型；m為截斷模態階數;φr(x,y,z)滿足下式：

φr(x,y,z)TMφr(x,y,z)=Mr

(3)

φr(x,y,z)TKφr(x,y,z)=Kr

(4)

式中:Mr為結構r階模態質量;Kr為結構r階模態剛度;NASTRAN中對模態質量矩陣進行了歸一化處理，即Mr=1，廣義坐標pr(t)表示為

pr(t)=prsin(ωrt+θr)

(5)

將動力學方程解耦，得到：

(6)

對應r階振動模態下結構的動能和勢能分別為

(7)

(8)

式中:Tstr為結構動能;Vstr為結構勢能;ωr為結構在真空中結構的r階振動圓頻率，結合式(7)、(8)，得到：

(9)

從而真空中結構的r階固有頻率為

(10)

式中,frdry為結構在真空中的固有頻率。

1.2流體部分

假設流體為無限域、無黏、無旋、不可壓縮的理想流體，r階振動模態下的流體速度為

(11)

式中：Φr為r階流體速度勢，vr為流速。

Φr滿足拉普拉斯方程：

(12)

速度勢可表示為[6]：

Φr(x,y,z,t)=ωr·φr(x,y,z)·pr(t)

(13)

式中φr(x,y,z)為位移勢，流體動能為

(14)

采用高斯公式將無限流域的積分轉化到流固接觸面上積分，得到流體動能表達式：

(15)

式中:S為流體邊界；包括自由液面和流固接觸面以及無窮遠邊界;n為流體邊界的外法向方向，流固接觸面邊界條件為

(16)

因此，流體中結構的r階固有頻率為

(17)

式中：

(18)

Mflu為流體附連水質量系數，結合式(10)和式(17)，得到：

(19)

式中，frwet為結構在流體中的固有頻率。

1.3位移勢φr計算及修正方法

(20)

(21)

(22)

(23)

結合式(22)、(23)，得到：

(24)

式(24)即為線性微幅波自由液面的修正公式，可以看出d2與ωr有關，可采用經驗公式對ωr進行初步估算，將估算ωr代入計算任意點源(匯)的虛擬匯(源)的位置，求解結構濕表面任意點位移勢φr，對流固接觸面進行單元劃分，假設單元內的位移相等，結合以上假設，再將式(22)代入物面邊界條件式(16)中，得到：

(25)

1.4計算流程

首先在有限元軟件中劃分單元并計算真空中結構的每一階固有頻率和振型，假設真空中的振型與流體中一致，以真空中的振型作為計算的初始振型。將初始振型導入MATLAB中，利用上述方法編制程序計算流體速度勢，進而求解各階模態的附連水質量系數，得到浸水結構的固有頻率。為提高計算精度，可以考慮采用經驗公式對附連水質量進行初步估算，得到估算的固有頻率和振型，將該振形作為初始振型代替真空中的振型進行計算分析。采用該方法計算固有頻率時忽略了其它階振型對該階固有頻率的影響，各階振型的相互耦合作用[8]很小，可以忽略。

2 部分浸沒懸臂板數值計算結果

文獻[9]中對不同吃水比的垂直懸臂板振動進行了實驗測量，該懸臂板的長為1 016 mm，寬為203.3 mm，板厚為4.84 mm，楊氏模量為206.8 GPa，泊松比為0.3，板密度為7 830 kg/m3，流體密度為1 000 kg/m3。FEM計算將板網格劃分為60×12共720個單元，部分浸沒懸臂板模型，如圖1所示。

圖 1 懸臂板模型

計算時考慮四種不同浸沒深度比(d/101 6= 0.25,0.5,0.75,1)，觸水單元數分別為180,360,540,720，懸臂板的前3階的橫向振動頻率計算結果,如表1所示。

表1 本文計算結果和實驗結果比較

表1的結果表明，無論是修正前的計算結果還是本文修正后的計算結果與實驗結果的誤差都在10%以內，說明該方法計算的結果具有準確性。并且自由液面修正后的計算結果相對于改進前的計算結果更接近文獻[9]實驗結果，說明了該修正方法是可行的，并且修正效果在低階固有頻率時尤為明顯，隨著計算階數增大，修正效果越來越弱，這個結論驗證了高階頻率自由液面流體速度勢假設的合理性。也說明該方法僅對低階頻率的修正有較好效果。結果還表明隨著浸沒深度比的降低，修正效果越來越顯著，說明該方案的修正效果不僅和頻率有關，也和吃水深度有關，則該修正方法適用于低階，吃水不深的情況下，對于吃水很深或頻率很高的情況則修正效果不明顯，這時采用經典的源匯分布法計算就已經足夠了，這是因為在吃水較深時式(24)修正后的虛擬點源和實際點源到自由液面距離很接近(d1≈d2)，修正效果不明顯。結果還表明自由液面修正前后的計算結果與實驗結果仍有一定誤差，這是因為實驗時存在壁面以及流體黏性等因素的影響，而本文計算時則認為流體為帶自由液面的無黏無旋的無限域流場，以及真空中振型與流體中振型一致的假設。

現在考慮采用濕模態振型作為初始振型進行分析計算，兩種初始振型下的結構固有頻率計算結果,如表2所示。

表2 初始振型為濕模態振型和干模態振型結果對比

表2的結果表明初始振型為濕模態振型和干模態振型計算的低階頻率基本一致，但兩者在結構高頻振動下浸沒深度比較小時計算結果有明顯的差別，說明采用干模態振型代替濕模態振型計算適用于結構吃水較深或低頻振動的情況下，否則應考慮采用濕模態振型進行計算分析。

下表3中列出了懸臂板在不同浸沒深度比下每階的附連水質量系數。

表3 懸臂板附連水質量系數計算結果

從表3的結果可以看出，不同浸沒深度比下的每階附加水質量系數均不相等，且呈現逐階遞減的趨勢，且板的浸沒深度越淺，附連水質量系數越小。可以看出，懸臂板在浸沒深度比較大的情況下前三階的附加水質量相差不大，這時可以認為前三階的附加水質量近似相等，這樣可以將第一階的附連水質量作為結構的附連水質量去計算結構的低階固有頻率，計算的結果有一定的準確性，但這種做法也僅適用于結構在吃水較深時的低階振動。

3 機艙雙層底垂向振動數值計算結果

某艦機艙雙層底模型如圖2所示，結構材料和流體的參數與部分浸沒懸臂板相同，計算該雙層底結構在水下的垂向振動頻率，由于機艙吃水較深，因此，以φr=0描述自由液面的邊界條件是足夠準確的，考慮到機艙雙層底振動通常只關心前兩階模態，經過上述的討論，采用干模態振型作為初始振型進行計算分析也是可行的。

圖2 某艦機艙雙層底模型

該機艙雙層底模型吃水7.2 m，雙層底模型單元由shell單元組成，主機和齒輪箱用質量點模擬，建模范圍為一個主機艙再延伸了1個肋位，在舷側、端部肋位以及縱艙壁在內底板的位置設置為簡支邊界，表4為采用上述方法計算的該機艙前3階垂向振動固有頻率結果以及采用虛擬質量法計算的結果對比。

表4的計算結果表明，采用本文方法與虛擬質量法的計算結果差別很小，說明采用本文方法計算大型復雜結構仍具有較好的準確性，并且采用本文方法計算每階固有頻率用時僅需數秒，具有很高的求解效率。

表4 機艙雙層底固有頻率計算結果

4 總 結

(1) 基于源匯分布法對線性微幅波自由液面邊界條件進行了修正，提出一個可以快速準確計算浸水結構固有頻率的修正方法，以懸臂板為研究對象，對不同浸沒深度比下修正后的固有頻率計算結果、修正前計算結果以及實驗結果并進行了對比分析，表明修正后的計算結果比修正前更準確。分析了修正公式的適用條件，表明在淺吃水或結構低頻振動的情況下修正效果較為明顯。

(2) 分別采用真空中的干模態振型和流體中的濕模態振型作為初始振型計算懸臂板在不同浸沒深度比下的固有頻率，表明在吃水較深或振動頻率較低的情況下可以采用干模態振型代替濕模態振型。

(3) 比較了懸臂板不同浸沒深度比下前三階模態的附連水質量系數，表明采用首階模態的附連水質量作為結構的附連水質量對于結構在吃水較深時的低階頻率計算是可行的。

(4) 對某艦機艙雙層底模型在較深吃水下進行了固有頻率的計算分析，結果表明采用本文方法計算固有頻率不僅具有準確性，而且可以快速地計算大型復雜結構，提高計算效率。

[1] 王崢,洪明,劉城. 基于FEM/BEM的浸水結構振動及聲輻射特性國內研究綜述[J]. 船舶力學,2014,11:1397-1414.

WANG Zheng, HONG Ming, LIU Cheng. Domestic review of the submerged structure vibration and acoustic radiation characteristics based on FEM/BEM[J].Journal of Ship Mechanics, 2014, 11:1397-1414.

[2] 錢勤,黃玉盈,劉忠族. 求附連水質量的一種直接方法[J]. 力學與實踐,1996(5):20-22.

QIAN Qin,HUANG Yuying,LIU Zhongzu. A direct method of calculating added mass[J].Mechanics in Engineering,1996(2):20-22.

[3] 陳美霞,杜磊,陳樂佳,等. 基于邊界元法的平板結構聲振性能數值計算[J]. 武漢理工大學學報(交通科學與工程版),2009(6):1048-1051.

CHEN Meixia, DU Lei, CHEN Lejia, et al. Numerical calculation on vibration and sound radiation of a simply supported plate based on BEM[J]. Journal of Wuhan University of Technology, 2009(6):1048-1051.

[4] 劉城,洪明,劉曉冰. 有限元/間接邊界元法求解浸水板振動特性[J]. 哈爾濱工程大學學報,2014(4):395-400.

LIU Cheng, HONG Ming, LIU Xiaobing. The solution for vibration characteristics of submerged plates by applying FEM/IBEM[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2014(4):395-400.

[5] 李華東,朱錫,羅忠,等. 附連水質量的邊界元法求解[J]. 海軍工程大學學報, 2009(2):45-49.

LI Huadong, ZHU Xi, LUO Zhong, et al Boundary element method for solving added mass of structure[J]. Journal of Naval University of Engineering, 2009(2):45-49.

[6] ERGIN A, TEMAREL P. Free vibration of a partially liquid-filled and submerged horizontal cylindrical shell[J]. Journal of Sound and Vibration, 2002, 254(5): 951-965.

[7] 蘇海東,黃玉盈. 求半無限域流場中物體附連水質量的一種簡便解法[J]. 華中科技大學學報(城市科學版),2003(4):14-16.

SU Haidong, HUANG Yuying. Novel numerical method for solving added mass of structure embedded in semi-infinite liquid field[J]. Journal of HUST (Urban Science Edition), 2003(4):14-16.

[9] LINDHOLM U S, KANA D D, CHU W H, et al. Elastic vibration characteristics of cantilever plates in water[J]. Journal of Ship Research, 1962, 9: 11-22.

Vibrationcharacteristicsofsubmergedstructuresbasedonsingularitydistributionmethod

XIONG Lülu1, 2, WANG Deyu1, 2

(1. The State Key Lab of Ocean Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China;2. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

A correction method considering the influence of linear free fluid surface on added water mass of a submerged structure was proposed here. Based on the singularity distribution method, the approximate solution to virtual point source locations and the fluid velocity potential was obtained under the linear free fluid surface boundary condition with Galerkin method, then the corresponding added water mass of a submerged structure was obtained. A partially submerged cantilever plate and a double-bottom model of a ship’s engine room were taken as study objects，their first three order lateral vibration frequencies were computed using Matlab. The calculation results were compared with those of tests and those of FEM. Results showed that the proposed method can more correctly reflect the influence of linear free fluid surface on added water mass, especially, the correcting effect of the method is more obvious under the condition of a structure’s shallow draft or low-frequency vibration; this method can avoid solving large type dynamic equations to improve the calculation efficiency.

submerged structure; singularity distribution method; linear free fluid surface; added water mass

財政部、教育部重大專項“船舶數字化智能設計系統”基金(201335)

2016-05-10 修改稿收到日期：2016-06-21

熊呂露 男，碩士，1993年生

王德禹 男，博士，教授，1963年生

U661.44

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.025