“有理數”數學思想面面觀

陸 曄

“有理數”數學思想面面觀

陸 曄

“有理數”這章內容包括有理數的基本概念、有理數的運算以及有理數的混合運算，是初中數學學習的基礎.在本章學習過程中，蘊含著大量的數學思想，對于同學們良好數學素養的形成具有積極促進作用.現舉例說明如下：

一、在理解有理數的概念、比較其大小時，感受“數形結合”的思想

數學是研究“數”和“形”的一門學科，從古希臘時期起，人們就已試圖把它們統一起來.運用數形結合思想解題的關鍵是建立數與形之間的聯系，能夠起到以“形”助“數”的作用.我國數學家華羅庚說得好：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離.”

例1（2017·株洲）如圖，數軸上點A所表示的數的絕對值為（）.

A.2B.-2

C.±2D.以上均不對

剖析：根據絕對值的幾何意義，一個數的絕對值表示這個數的點到原點的距離.因此，借助于數軸可以知道：數軸上點A到原點的距離為2，因此，數軸上點A所表示的數的絕對值為2.

解：本題選A.

例2（2017·麗水）在數1，0，-1，-2中，最大的數是（）.

A.-2B.-1C.0D.1

剖析：根據“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的大”，我們可以將這四個數分別在數軸上表示出來，從左到右依次為-2、-1、0、1，因此，這四個數中最大的數是1.

解：本題選D.

例3已知a＜b＜0，試比較a，-a，b，-b的大小.

剖析：根據已知條件，將a，-a，b，-b四個數在數軸上表示出來，再根據在數軸上右邊的數總大于左邊的數，可比較出它們的大小.

解：因為a與-a，b與-b互為相反數，又a＜b＜0，所以四個數在數軸上表示如圖所示：

根據在數軸上，右邊的數總大于左邊的數，可得它們的大小關系為：a＜b＜-b＜-a.

二、在利用有理數的概念和有理數運算法則過程中，感受“分類討論”的思想

當被研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情況來分別討論，得出各種相應的結論，這種處理問題的思維方法稱為分類思想.本章在研究相反數、絕對值、有理數的加法法則、乘法法則、乘方運算的符號法則等時，都較好地體現了“分類討論”的思想.

例4在數軸上，與表示數-5的點的距離是2的點表示的數是（）.

A.-3B.-7C.±3D.-3或-7

剖析：分析題意，可以發現符合條件的點有兩個：一個在表示-5的點的左邊，另一個在表示-5的點的右邊，且它們到表示-5的點的距離都等于2，因此，符合條件的點表示的數分別為-3或-7.

解：本題選D.

例5若a2=4，b2=9，且ab＜0，則a-b的值為.

剖析：根據有理數平方的意義，可以分別確定字母a與b的值，再根據a、b之積為負數即可確定a、b異號，從而可以確定字母a與b可能的值，進而求得a-b的值.

解：因為a2=4，b2=9，所以a=±2，b=±3.因為ab＜0，所以當a=2時，b=-3，a-b=2-（-3）=2+ 3=5；當a=-2時，b=3，a-b=-2-3=-5，所以，a-b的值為5或-5.本題填：5或-5.

剖析：因為abc＜0，所以負因數的個數可能是1個或3個.再根據條件“a+b+c＞0”，所以有理數a，b，c中至少有1個正數，所以符合條件的只有一種情況：其中一個為負數，其余兩個為正數，分為以下三種情況：①當a＜0時，b＞0，c＞0，原式=-1+1+1-1=0；②當b＜0時，a＞0，c＞0，原式=1-1+1-1=0；③當c＜0時，a＞0，b＞0，原式=1+1-1-1=0.

解：本題填0.

三、在運用有理數的減法、有理數的除法法則中，感受“轉化”的思想

將所要研究和解決的問題變為已經學過的問題來處理的數學思想稱為轉化思想，它是一種研究和解決數學問題的基本思想.如在有理數加法的基礎上，利用相反數的概念將減法運算轉化為加法運算——減去一個數等于加上這個數的相反數，從而使加、減法得到統一；又如在有理數乘法的基礎上，利用倒數概念將除法運算轉化為乘法運算——除以一個不等于0的數等于乘以這個數的倒數，從而使乘、除法得到統一等.可見，轉化思想是解決問題、獲得新知識的重要數學思想.

例7冬季某天測得的最低氣溫是-6℃，最高氣溫是5℃，則當日溫差是℃.

剖析：根據題意，列出算式為5-（-6），再根據有理數減法運算轉化為加法運算，可得結果.

解：5-（-6）=5+6=11（℃）.本題應該填：11.例8計算：（-81）÷

剖析：這是一道只含有乘除運算的計算題.計算時，需要按照從左到右的順序進行，對于其中的除法則按照除法運算法則，將其轉化為乘法運算.

（作者單位：江蘇省揚州市邗江區實驗學校）

責任編輯：沈紅艷 E-mail：czsshy@126.com