證明三角形全等的基本思路

杭 靜

證明三角形全等的基本思路

杭 靜

對于兩個三角形，如何證明它們全等呢？一般來講，要找兩對對應元素容易，比較困難的是找第三對對應元素.對照判定方法，我們可以把已知的前兩對對應元素的所有情況列舉出來：已知兩個角、已知一邊一角、已知兩邊.然后再來思考如何尋找第三對對應元素，這樣可以得到下表：

應用的判定方法A S A或A A S A S A或A A S A S A或A A S S A S S S S S A S已知前兩對對應元素的情況角、角角、邊角與其對邊角與其鄰邊邊、邊尋找的第三對對應元素邊另一個角另一個角另一條鄰邊第三邊兩邊的夾角

有了這份表格，探索三角形全等就有章可循了.

一、直接用判定定理尋找滿足全等的條件

例1（2017·江蘇常州）如圖1，已知四邊形ABCD，點E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.求證：AC=CD.

圖1

【分析】要證AC＝CD，只要證AC、CD所在的△ABC和△DEC全等.而在這兩個三角形中，已知BC＝CE，∠BAC=∠D，所以只要再證明∠BCA＝∠ECD即可.由題設∠BCE=∠ACD=90°，即可得到這個結論.

【證明】∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠BCA＋∠ACE＝∠ECD＋∠ACE，即∠BCA＝∠ECD.在△ABC和△DEC中，∵∠BAC=∠D，∠BCA＝∠ECD，BC＝CE，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD.

二、先構造三角形，再尋找滿足全等的條件

例2（2017·重慶A卷）在△ABC中，∠ABM= 45°，AM⊥BM，垂足為M，點C是BM延長線上一點，連接AC.如圖2，點D是線段AM上一點，MD= MC，點E是△ABC外一點，EC=AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點.求證：∠BDF=∠CEF.

圖2

【分析】要證∠BDF=∠CEF，這兩個角所在的△CEF和△BDF顯然不全等，為此，需要構造全等三角形.注意到點F是BC的中點，延長EF到點G，使得FG=EF，可證得△BMD≌△AMC，得到AC=BD，再證△BFG≌△CFE，可得BG=CE，∠G=∠E，從而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E.

【證明】延長EF到點G，使得FG=EF，連接BG.由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴AC=BD.又CE=AC，因此BD=CE.由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，可得△BFG≌△CFE，故BG=CE，∠G=∠E，∴BD=BG=CE，∴∠BDG=∠G=∠E.

（作者單位：江蘇省無錫市河埒中學）