巧用摩擦角解決高考力學中的極值與臨界問題

摘要：巧妙利用摩擦角解決高考力學中的有關摩擦力的極值和臨界問題。

關鍵詞：摩擦角；高考試題；極值與臨界問題

摩擦角是力學中的一個基本概念，它是研究摩擦問題的另一個重要物理量。靈活運用摩擦角及其相關知識，可以巧妙解決有關摩擦的力學問題。下面結合幾道高考物理力學中的極值與臨界問題，就摩擦角的相關概念及其應用做一介紹。

一、 摩擦角簡介

1. 全反力是物體所受的支持力N與摩擦力fk的合力。

2. 滑動摩擦角用φk表示（如圖1所示），其大小由動摩擦因素來決定，tanφk=fkN=μ，在實際問題中，雖然全反力隨外力大小發生變化，但方向不變。

3. 靜摩擦角用φs表示（如圖2所示），其大小滿足tanφs=fsN，當物體處于滑動的臨界狀態時，靜摩擦力fs達到最大值fsm，對應的夾角也達到最大值φsm，其值由靜摩擦因數決定，tanφsm=fsmN=μs。高中階段認為φsm=φk。

二、 拉力的極小值

【例1】（2013山東卷22）如圖3所示，一質量m=0.4kg的小物塊，以v0=2m/s的初速度，在與斜面成某一夾角的拉力F作用下，沿斜面向上做勻加速運動，經t=2s的時間物塊由A點運動到B點，A、B之間的距離L=10m。已知斜面傾角θ=30°，物塊與斜面之間的動摩擦因數μ=33。重力加速度g取10m/s2。

（1）求物塊加速度的大小及到達B點時速度的大小。

（2）拉力F與斜面的夾角多大時，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

解析：（1）略

（2）對物體受力分析，如圖4所示，先研究支持力FN與摩擦力f的合力，即為全反力F全。

則有∠1=arctanfFN=arctanμ=30°。

現將其中支持力FN與摩擦力f用全反力F全來等效替代。根據矢量運算法則，平移全反力F全至與重力mg首尾相接，如圖5所示。

又依題意知，所受外力的合力F合為一定值，所以由圖5可知，只有當拉力F垂直全反力F全時取得最小。因∠1=30°，則有∠2=60°，又因∠3=60°，可得∠4=60°，從而有F′=mg=4N則最小值Fmin=（F′+F合）sin∠2=（F′+ma）sin60°=2.63N=1335N。

三、 動態平衡分析

【例2】（2009寧夏理綜卷21）水平地面上有一木箱，木箱與地面之間的動摩擦因數為μ（0<μ<1）。現對木箱施加一拉力F，使木箱做勻速直線運動。設F的方向與水平面夾角為θ，如圖6，在θ從0逐漸增大到90°的過程中，木箱的速度保持不變，則（）

A. F先減小后增大B. F一直增大

C. F的功率減小D. F的功率不變

解析：物體受四個力作用，重力mg、支持力FN、摩擦力f、拉力F，FN和f的合力也即全反力用R表示，設R與FN的夾角為α，如圖7所示，由上述摩擦角的概念知道，tanα=μ。當拉力F的方向變化時，全反力R的大小也將變化，但方向保持不變。引入全反力R，將四力平衡問題轉化為三力平衡的問題，由于物體勻速運動，則mg、R、F的合力為零，表示這三個力的矢量可以構成一個封閉的矢量三角形。改變F與水平方向的夾角θ，可以得到不同的封閉的矢量三角形，即動態三角形，如圖8所示。由圖的動態三角形，可以得到以下結論：在θ由0°變化到90°過程中，拉力F先變小后變大，并且在F⊥R時，F有最小值；在θ由0°變化到90°過程中，R一直變小。由上面的結論可以得到，選項A正確。由于物體勻速運動，有Fcosθ=f=Rsinα（1），而F的功率為P=Fvcosθ（2），由（1）、（2）得到P=Rvsinα，由于R一直變小，而α不變，所以在θ由0°變化到90°過程中，F的功率減小，選項C正確。故本題答案為A、C。

四、 結束語

對于這類力學中的極值和臨界問題，如果按常規的解法，采用三角函數求極值的方法，運算過程比較繁瑣，對數學要求較高，且運量一般很大，數學功底不扎實的可能還求不出來。若引入全反力、摩擦角，借助矢量圖進行分析，物理思路清晰，并能簡化受力，簡化方程，提高解題的速率。

作者簡介：

陳遠奎，安徽省合肥市，安徽省肥西第三中學。