永磁軌道磁感應強度計算方法*

李海濤葛玉梅孫睿雪鄧自剛

永磁軌道磁感應強度計算方法*

李海濤1，2葛玉梅1孫睿雪2鄧自剛2

（1.西南交通大學力學與工程學院應用力學與結構安全四川省重點實驗室，610031，成都；2.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室超導技術研究所，610031，成都//第一作者，碩士研究生）

基于分子電流環(huán)模型，利用畢奧·薩伐爾定律建立了能夠實現(xiàn)單塊永磁體磁感應強度分布的三維模型；通過坐標變換的方法，得到可描述任意大小永磁體組合的磁感應強度分布的模型。以Halbach型永磁軌道作為研究對象，建立了完整的三維計算模型。通過對比分析，得到磁感應強度的解析解、實測值以及有限元解的一致性結果，肯定了模型的正確性。

永磁軌道；磁感應強度；三維計算模型

AbstractBased on the molecular current cycle model，a 3D numerical model is built to describe the magnetic field distribution of a single permanent magnet by using Biot-Savart Law.Then,through coordinate transformation，a model to describe the magnetic field distribution for any sizes of permanent magnets and any combinations is obtained.According to the Halbach type track,a complete 3D numerical model is built,and correctional parameters are introduced into the model by comparison and analysis.The correctness of the model is further verified by the measured data and finite element simulation results.

Key wordspermanent magnet track； magnetic field distribution；3D numerical model

First-author′s address Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province，Southwest Jiaotong University，610031，Chengdu，China

高溫超導磁浮系統(tǒng)具有穩(wěn)定、經(jīng)濟、環(huán)保等優(yōu)點，在城市軌道交通領域具有很大的發(fā)展?jié)摿ΑＤ壳埃槍υ撓到y(tǒng)的重要組成部分永磁軌道的研究方法主要采用有限元法、實驗測試法以及二維解析法。其中，有限元法較為精確，但由于計算量大，不適合對大型軌道進行計算；實驗測試法成本較高；二維解析法假設軌道磁場沿一個方向完全均勻，無法描述存在缺陷或磁場分布不均勻的軌道。故在計算大型軌道結構時，需要尋求一種計算量更小、更經(jīng)濟的方法以提高效率。

本文根據(jù)畢奧·薩伐爾定律，利用分子電流環(huán)模型［1］建立了可求解單塊永磁體磁感應強度的三維計算模型。此外，利用坐標變換的方法簡化了計算流程。在此基礎上建立了完整的Halbach型永磁軌道磁感應強度計算模型，通過對該模型的解析解、實測值以及ANSYS Maxwell二維有限元解進行對比，驗證了該模型的正確性。

1 永磁體磁感應強度表達式

1.1 單塊永磁體建模

根據(jù)畢奧·薩伐爾定律有：

式中：

d B ——磁感應強度微量，T；

I——源電流，A/m2；

r ——電流源指向待求場點的矢量，m；

I d l——源電流的微小線元，A/m；

μ0——真空磁導率，其值為4π×10-7H/m。式中，d B的方向垂直于I d l與r所確定的平面（符合右手螺旋定則）。

圖1為長方體永磁體示意圖。該永磁體長為a，寬為b1-b0，高為h。由圖1可知，永磁體表面任意點P1（x1，y1，z1）（以微面ABDC上一點為例）處源電流在空間任意一點 P（x，y，z）處產生的磁感應強度可表示為：

式（3）中，x1，j代表微面 ABDC 上某點的 x 坐標值；z1，j代表微面ABDC上某點的z坐標值。

圖1 長方體永磁體示意圖

同理可得，微面ABHG、HGEF及EFDC上的電流在任意點 P（x，y，z）處的磁感應強度 d Bxi、d Byi、d Bzi（i=2，3，4）。為簡化表達式，引入以下記號及函數(shù)表達式［2］。經(jīng)過積分計算，可得圖1中永磁體x，y，z方向的磁感應強度：

1.2 Halbach型永磁軌道建模

不同磁化方向、不同位置及尺寸的永磁體，可通過坐標變換得到其磁感應強度。本文以西南交大牽引動力國家重點實驗室高溫超導磁懸浮環(huán)形試驗線所選用的Halbach型軌道（以下簡稱“試驗軌道”）為例進行計算。試驗軌道結構如圖2所示，圖中箭頭為各單塊永磁體的磁化方向。

圖2 試驗軌道結構示意圖

由圖2可知，試驗軌道在軌道截面上由5塊永磁體組成，永磁體編號從左到右分別為1、2、3、4、5號。設各塊永磁體x，y，z方向的磁感應強度分別為Bxk、Byk及 Bz（kk=1，2，3，4，5）。 其中，1 號永磁體即為圖1所示永磁體，5號永磁體可由1號永磁體平移得到，3號永磁體可由1號永磁體經(jīng)過坐標對稱得到［3］，2號和4號永磁體可由1號永磁體經(jīng)過坐標旋轉得到。永磁體尺寸不同時，只需帶入不同的a，b，h值即可。對各永磁體的磁感應強度求和，得到Halbach型軌道的磁感應強度為：

計算中所需的電流，可由以下2種方法得到。方法1：針對已知磁感應強度的永磁體可直接給出電流I；方法2：確保模型正確時，可測得空間中任意一點的磁感應強度，將其代入式中可反推出電流I。本文采用上述方法2來計算電流。

本文建模實質是對各單塊永磁體的磁感應強度進行矢量疊加，由于忽略了各永磁體的相互作用對磁感應強度的影響，勢必會導致誤差。因此，本文引入修正參數(shù) η，修正后的Bz′如式（12）所示。

式中：

z0——以軌道上表面為零點的垂向位置。

2 結果分析

2.1 解析解與實測值對比

由圖2可知，所有永磁體的磁化方向均垂直于y方向。由圖1可知，該軌道磁感應強度分量By沿y=平面兩側對稱分布。對于沿y方向延伸足夠長的軌道，其磁感應強度分量By=0。故只需求解磁感應強度的分量Bx和Bz。圖2所示試驗軌道尺寸及電流參數(shù)如表1所示。

表1 試驗軌道尺寸及電流參數(shù)表

本文采用Hall Generator 3020型高斯計來測量試驗軌道的磁感應強度。于磁極處測得一組法向磁感應強度Bz隨z的變化數(shù)據(jù)，并與解析解作對比，結果如圖3所示。由圖3可知，Bz的解析解與實測值一致性較高。

圖4為試驗軌道橫截面方向法向磁感應強度Bz的解析解與實測值對比圖。鑒于試驗軌道磁場沿中軸線呈對稱分布［4］，本文只測量（計算）并對比了軌道的左半部分。由圖4可知，解析解與實測值有較高的吻合度。值得注意的是，軌道邊緣處的解析解的絕對值要小于實測值。

2.2 解析解與有限元解對比

為進一步驗證模型，采用ANSYS Maxwell建立了試驗軌道的二維模型。矯頑力在該模型中取994 000 A/m，在解析解中I取1.09×105A/m3，其他參數(shù)與表1保持一致。試驗軌道法向磁感應強度Bz、切向磁感應強度Bx的解析解與有限元解的對比圖如圖5、圖6所示。

圖3 磁極處法向磁感應強度Bz解析解與實測值對比圖

圖4 試驗軌道截面方向法向磁感應強度Bz解析解與實測值對比圖

圖5 試驗軌道法向磁感應強度Bz的解析解與有限元解對比圖

圖6 試驗軌道切向磁感應強度Bx的解析解與有限元解對比圖

由圖5可知，兩者的吻合度整體較高。在試驗軌道邊緣處，兩者有一定的差距，解析解略小于有限元解。這說明忽略各永磁體之間的相互影響將會導致誤差，并且在軌道表面附近表現(xiàn)更為明顯。由圖6可知，兩者吻合度亦較高，在試驗軌道邊緣處以及距離軌道表面較近處未出現(xiàn)明顯的差距。

2.3 誤差分析

觀察對比結果，磁極上方法向磁感應強度解析解與實測值誤差為2.5%；試驗軌道截面方向法向磁感應強度的解析解與實測值誤差為13.2%（若不包含左側軌道邊緣處的10個點，則誤差為5.5%）；試驗軌道截面方向法向磁感應強度的解析解與有限元解誤差為9.5%（若不包含左側軌道邊緣處的10個點，則誤差為2.6%）；軌道切向磁感應強度的解析解與有限元解誤差為0.39%。法向磁感應強度的解析解、實測值與有限元解對比均存在一定的誤差。這是由于計算解析解的過程中忽略了永磁體相互之間的磁力線擠壓作用；解析解與實測值的誤差大于解析解與有限元解的誤差，這是由于試驗軌道是由小塊永磁體拼接而成，而每一塊永磁體的性能均可能存在差異；試驗軌道邊緣處三個解的誤差較中心處較大，這是由于解析解忽略了試驗軌道的邊緣效應。試驗軌道截面方向的切向磁感應強度與有限元解相似度較高。

3 結語

本文利用分子電流環(huán)模型，建立了單塊永磁體模型，并通過坐標變換的方法得到了完整的Halbach型永磁軌道模型。計算磁感應強度時，由于忽略了各永磁體之間的影響，在試驗軌道邊緣處存在一定的誤差。在與實測結果比對后，引入了修正參數(shù)。修正后的解析解與實測值以及 ANSYS Maxwell有限元解均有較高的吻合度。切向的磁感應強度Bx的計算中，解析解與有限元法解吻合度較高。在環(huán)形試驗線車體振動范圍以及運行速度內，該模型計算可以滿足精度要求。

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Calculation of the Magnetic Field Distribution of Permanent Magnet Track

LIHaitao，GE Yumei，SUN Ruixue，DENG Zigang

TM153+.1：U237

10.16037/j.1007-869x.2017.09.005

2015-11-18）

*國家自然科學基金項目（51375404）