基于等維新息的GM（2,1）遞推預測模型

岳赟，盧光躍，劉迪，董靜怡

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基于等維新息的GM（2,1）遞推預測模型

岳赟，盧光躍，劉迪，董靜怡

（西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室，陜西西安 710121）

針對GM（2,1）白化方程的解影響其預測精度的問題，提出了一種新的預測模型——等維新息GM（2,1）遞推預測模型。該模型通過其灰色微分方程推導出GM（2,1）遞推預測模型的表達式，避免了對二階白化方程進行求解，同時解決了差分方程與微分方程之間因轉換而產生誤差的問題，并結合等維新息的思想更新GM（2,1）遞推預測模型的參數。最后通過實例驗證了所提等維新息GM（2,1）遞推預測模型的有效性和實用性。

GM（2,1）模型；白化方程；灰色微分方程；等維新息；遞推預測模型

1 引言

如何挖掘缺乏統計規律的小樣本預測系統的發展規律，一直是學術界的難點[1]。灰色系統（grey system）是20世紀80年代鄧聚龍提出的一種針對小樣本、貧信息、不確定性問題的方法。灰色系統理論以“部分信息已知，部分信息未知”的小樣本、貧信息、不確定系統為研究對象，通過對“部分”已知信息的生成、開發，提取有價值的信息，實現對系統運行行為、演化規律的正確描述和有效監控[2]。

GM（2,1）模型作為灰色系統中最重要的預測模型之一，已廣泛應用于經濟、生態、科技、農業、生物等各個領域。GM（2,1）模型是由原始序列建立的二階微分方程，有兩個特征根，因此動態過程能反映出單調、非單調或擺動等多種情況[3]。然而實際求解過程中存在的近似誤差會對算法性能帶來影響，比如GM（2,1）模型用梯形公式近似代替背景值，以向前差商或向后差商近似代替灰導數，初始條件的選取缺乏合理性等。因此，諸多學者對GM（2,1）模型進行了改進和優化，參考文獻[3]利用最小二乘法對模型的初始條件進行修正，降低了模型的預測誤差；參考文獻[4]利用新信息優先的原理來求解預測響應函數中的1、2，進而提高了模型的預測效果；參考文獻[5]利用權值1、2對一階灰導數和背景值進行加權組合，以提高模型的預測精度；參考文獻[6]分別利用參數和對GM（2,1）模型的背景值進行修正，并對原始數據進行數乘變換，以此提高模型精度。

以上研究從不同角度對GM（2,1）模型進行改進，在一定程度上提高了GM（2,1）模型的預測精度。然而GM（2,1）模型存在解的多樣性及離散模型與連續模型之間的近似替代問題，本文對GM（2,1）模型的參數估計、模擬及預測均采用離散形式的方程，從而推導出GM（2,1）遞推模型，然后利用新息優先的思想不斷更新建模用的原始數據，進而更新系統參數。

2 GM（2,1）模型

2.1 建模原理

作為灰色預測中最重要的模型，GM（2,1）是由原始數據序列建立的二階微分方程，其時間響應函數有兩個指數分量，主要適合對單一時間序列的系統進行模擬和預測。

記長度為的原始非負序列(0)={(0)(1),(0)(2),…,(0)()}，對其進行一次累減和一次累加生成，分別記為和(1)={(1)(1),(1)(2),…,(1)()}，其中，(1,2,3,…,)。據此構造背景值序列(1)={(1)(1),(1)(2), …,(1)()}，其中(2,3,…,)。

則稱：

為GM（2,1）模型，其中u（=1,2,3）為待確定的系統參數。

式（1）對應的白化微分方程形式為：

關于GM（2,1）常微分方程的解[7]有如下說明。

（2）齊次方程的通解有以下3種情況。

（3）常微分方程的特解有以下3種情況。

實際上絕大部分數據都是兩個不相等的特征根，下面就以此為例說明求解的步驟。

設特征根是1、2，則上述微分方程的解為：

采用最小二乘原則求解1、2，使達到最小。

（5）

進而由克拉默法則求解1、2。

將1、2代入式（3），并在=（1,2,…,）處的值來逼近：

將式（6）累減還原，即可得到預測值：

，2,3,…,（7）

2.2 模型的檢驗

眾所周知，擬合的精度是評判模型效果的核心指標。因此，灰色預測模型必須通過精度檢驗后再決定其是否可以用于模擬和預測。模型精度的檢驗方法主要有3種：殘差檢驗法、后驗差檢驗法和關聯度檢驗法，其中殘差檢驗法是最常用的方法。殘差是實際值與模擬值之差，殘差檢驗實際上檢驗的是模擬值與實際值之間偏離的程度[8]。殘差檢驗步驟如下。

設原始序列(0)和模擬序列分別為：

（9）

其絕對誤差()和平均相對誤差分別為：

（11）

當<10%且()<10%，稱模型為殘差合格模型。

GM（2,1）模型是由原始序列建立的二階微分方程，有兩個特征根，能動態地反映出單調、非單調或擺動等多種情況，然而在建模的過程中存在解的多樣性及離散模型與連續模型之間的近似替代問題。

3 等維新息GM（2,1）遞推模型

為了避免建模過程中存在解的多樣性及離散模型與連續模型之間的近似替代問題，本文將提出一種新的GM（2,1）遞推模型，該方法在建模過程中一直沿用差分方程的形式。將,代入式（1）得：

化簡式（12）得：

（13）

易知：

（15）

式（14）減去式（15），整理得：

其中，(0)()為=時刻的模擬預測值，1和2為系統的待確定值，可利用最小二乘法求解。

GM（2,1）遞推預測模型計算簡單，不需對二階微分方程進行求解，且避免了離散模型與連續模型之間的近似替代，從而提高了模型的預測精度。

GM（2,1）遞推模型只能做逐步預測，在進行下一步預測時，需用到上一步預測的結果，每步預測的參數估計值1和2是個定數——由原始時序得到，隨著預測步數的增加，其預測精度有可能較快下降。為了減緩預測精度下降的速度，本文采用等維新息遞推預測模型提高其預測精度。

對于灰色系統而言，隨著時間的推移，干擾系統的因素不斷變化，系統的狀態也在不斷變化。傳統灰色預測模型準確度較高的僅僅是原點數據以后的1~2個數據，越向未來發展，即越遠離時間原點，模型的預測準確度越低。因此，必須引入已知信息來反映系統的變化和狀態，或在無已知信息的情況下，用灰色信息來淡化灰平面的灰度，這種模型由于及時地引入了新的已知信息或灰色信息，刪除舊的數據，能夠比較準確地反映系統的變化狀態，故稱為新息灰色模型[9]。而灰色預測模型長期預測的有效性明顯受到時間序列長短及數據變化的影響，數據序列太短，難以建立長期的預測模型；數據序列太長，系統受干擾的成分變大，不穩定因素增多，系統預測精度下降。所以等維新息GM（2,1）遞推模型通過在GM（2,1）遞推模型中加入等維約束條件，彌補了灰色系統模型的不足，有效地提高預測的精度[10]。

在原始序列(0)={(0)(1),(0)(2),…,(0)()}的基礎上，去掉第一個數據(0)(1)，同時加入新的已知數據(0)(+1)，構成等維動態序列(0)={(0)(2),(0)(3),…,(0)(),(0)(+1)}，如此遞補，依次遞推，建立等維新息GM（2,1）遞推預測模型。

綜上，等維新息GM（2,1）遞推預測模型的建模步驟如下。

步驟1 構造原始數據序列(0)={(0)(1),(0)(2),。

步驟2 將(0)代入式（16），求出1和2，建立GM（2,1）遞推預測模型。

步驟3 計算+1時刻的預測值(0)(+1)。

步驟4 更新原始數據序列(0)，即令(0)= {(0)(2),(0)(3),…,(0)(),(0)(+1)}。

步驟5 返回步驟2，重復步驟2~4，直至計算完所有預測數據的預測值為止。

4 實例分析

1997年以來，中國互聯網信息中心（CNNIC）已連續20年開展統計調查工作，并于每年1月、7月分兩次發布統計報告，公布我國Internet上網計算機數、用戶人數、用戶分布、信息流量分布、域名注冊等方面情況的統計信息，為我國信息化發展提供了重要的依據，也為政府、機構和企業各界提供重要決策參考。根據CNNIC第39次發布的《中國互聯網絡發展狀況統計報告》，截至2016年12月，中國網民上網人數已過半，中國網民的人均周上網時長為26.4 h。本文選取CNNIC于2017年1月發布的第39次報告數據，分別以手機網民規模和網民人均周上網時長為例進行分析。

2008—2016年我國手機網民規模見表1，記表1的數據為原始序列(0)，該數據為單調遞增序列，下面將利用GM（2,1）模型、參考文獻[4]模型和等維新息GM（2,1）遞推模型分別對(0)中的前7個數據建立相應的預測模型，后2個數據用來預測，以對比3種模型的預測精度。

對于GM（2,1）模型，利用2008—2014年的數據建立GM（2,1）模型，解得1=0.701 9、2=?0.098 2、1=24 107；對于參考文獻[4]模型，灰色建模得1=0.338 3、2=?0.157 4、1=24 441；而對于等維新息GM（2,1）遞推模型，首先建立GM（2,1）遞推模型，解得1=1.842 1、2=?0.844 7，并得到2015年手機網民規模的預測值（見表2中“等維新息1”所在列），然后對原始數據進行一次等維新息處理，將2015年的實際值添加到原始序列中，同時刪除2008年的數據，保持維度相同，重新建立GM（2,1）遞推模型，解得1=1.549 6、2=?0.476 5，預測2016年手機網民規模（見表2中“等維新息2”所在列）。表2描述了3種模型對原始序列的的擬合值和相對誤差。

表1 2008—2016年我國手機網民規模

表2 3種模型對原始序列的擬合值和相對誤差

由表2可知，GM（2,1）模型、參考文獻[4]模型和等維新息GM（2,1）遞推模型對原始序列進行一步預測的相對誤差分別為1.09%、4.43%和1.66%，二步預測的相對誤差分別為1.62%、8.05%和0.006%，2015年和2016年手機網民規模人數的平均相對誤差分別為1.36%、6.24%和0.83%，從而表明本文所提的等維新息GM（2,1）遞推模型的預測精度優于GM（2,1）模型和參考文獻[4]模型。

2008—2016年中國網民人均周上網時長見表3，記表3的數據為原始序列(0)，該數據為擺動序列，下面將利用GM（2,1）模型、參考文獻[4]模型和等維新息GM（2,1）遞推模型分別對(0)中的前7個數據建立相應的預測模型，后2個數據用來預測，以對比3種模型的預測精度。

對于GM（2,1）模型，利用2008—2014年的數據建立GM（2,1）模型，解得1=?0.358 2、2=0.026 8、1=?5.523 1；對于參考文獻[4]模型，灰色建模得1=?0.449 0、2=?0.034 8、1=21.397 0；而對于等維新息GM（2,1）遞推模型，首先建立GM（2,1）遞推模型，解得1=1.332 7、2=?0.312 5，并得到2015年網民人均周上網時長預測值（見表4中“等維新息1”所在列），然后對原始數據進行一次等維新息處理，將2015年的實際值添加到原始序列中，同時刪除2008年的數據，保持維度相同，重新建立GM（2,1）遞推模型，解得1=1.198 0、2=?0.193 2，預測2016年網民人均周上網時長（見表4中“等維新息2”所在列）。表4描述了3種模型對原始序列的擬合值和相對誤差。

由表4可知，GM（2,1）模型、參考文獻[4]模型和等維新息GM（2,1）遞推模型對原始序列進行一步預測的相對誤差分別為0.60%、28.02%和1.57%，二步預測的相對誤差分別為4.82%、263.14%和1.07%，2015年和2016年網民人均周上網時長的平均相對誤差分別為2.71%、145.58%和1.32%，參考文獻[4]所提的模型對該數據的預測效果急劇下降，從而表明本文所提的等維新息GM（2,1）遞推模型的預測精度優于GM（2,1）模型和參考文獻[4]模型。

表3 2008—2016年中國網民人均周上網時長

表4 3種模型對原始序列的擬合值和相對誤差

5 結束語

根據新息優先的思想，本文對GM（2,1）模型的參數估計、模擬及預測均采用離散形式的方程，并通過其灰色微分方程推導出GM（2,1）遞推預測模型的表達式，從而建立等維新息GM（2,1）遞推預測模型，該模型有效地避免了對二階白化方程進行求解。最后，通過實例驗證該改進模型的合理性，同時該模型有效地提高了預測精度。

[1] 吳利豐, 劉思峰, 姚立根. 含Caputo型分數階導數的灰色預測模型[J]. 系統工程理論與實踐, 2015, 35(5): 1311-1316.

WU L F, LIU S F, YAO L G. Grey model with Caputo fractional order derivative[J]. Systems Engineering Theory & Practice, 2015, 35(5): 1311-1316.

[2] 曾柯方. 幾種灰預測模型的參數辨識與優化方法研究[D]. 南充: 西華師范大學, 2015.

ZENG K F. Identifying parameters and optimization method research of several grey prediction models[D]. Nanchong: China West Normal University, 2015.

[3] 李玲玲, 單銳, 崔紅芳. 改進GM（2,1）模型的MATLAB實現及其應用[J]. 數學的實踐與認識, 2011, 41(20): 179-183.

LI L L, SHAN R, CUI H F. The application of the improved GM(2,1) grey model using MATLAB[J]. Mathematics in Practice & Theory, 2011, 41(20): 179-183.

[4] XU N, DANG Y G. An optimized grey GM (2,1) model and forecasting of highway subgrade settlement[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2015(1): 1-6.

[5] 牛思先, 陳鵬宇, 蘇玉剛. 基于加權組合和最小二乘法改進的GM（2,1）模型[J]. 統計與決策, 2010(22): 28-30.

NIU S X, CHEN P Y, SU Y G. Improvement of GM (2,1) model based on weighted combination and least squares method[J]. Statistics and Decision, 2010(22): 28-30.

[6] 劉虹, 張岐山. 基于微粒群算法的GM(2,1, λ, ρ)優化模型[J]. 系統工程理論與實踐, 2008, 28(10): 96-101.

LIU H, ZHANG Q S. GM (2, 1, λ, ρ) based on particle swarm optimization[J]. Journal of Systems Science and Information, 2008, 28(10): 96-101.

[7] 劉麗桑, 彭俠夫, 周結華. 兩種改進的GM（2,1）模型及其在船舶橫搖預報中的應用[J]. 廈門大學學報(自然科學版), 2011, 50(3): 515-519.

LIU L S, PENG X F, ZHOU J H. Two improved model of GM (2,1) and its application in ship rolling forecast[J]. Journal of Xiamen University(Natural Science), 2011, 50(3): 515-519.

[8] 盧懿. 灰色預測模型的研究及其應用[D]. 杭州: 浙江理工大學, 2014.

LU Y. The research and application of grey forecast model[D]. Hangzhou: Zhejiang Sci-tech University, 2014.

[9] ZHANG H, YANG Y. Application of equal dimension and new information gray prediction model in power load forecasting[C]// 2010 2nd International Conference on Signal Processing Systems (ICSPS), July 5-7, 2010, Dalian, China. New Jersey: IEEE Press, 2010: 196-200 .

[10] ZHANG Q, CHEN R. Application of metabolic GM (1,1) model in financial repression approach to the financing difficulty of the small and medium-sized enterprises[J]. Grey Systems, 2014, 4(2): 311-320.

GM (2,1) recursive forecasting model based on equal dimension and new information

YUE Yun, LU Guangyue, LIU Di, DONG Jingyi

National Engineering Laboratory for Wireless Security, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China

Aiming at the problem that the solution of GM (2,1) whitening equation affects its prediction accuracy, a new prediction model dubbed GM (2,1) recursive prediction model of equal dimension new information was proposed. The model was deduced from the grey differential equation of GM (2,1) mode, which could avoid solving the second-order whitening equation, solve the problem that the errors between equations and differential equations for conversion, and update the model parameters combining the idea of equal dimension and new information. Both the simulation and analysis of the example demonstrate that the proposed method is more effective and practical.

GM (2,1) model, whitening equation, grey differential equation, equal dimension and new information, recursive forecasting model

TP391.9

A

10.11959/j.issn.1000?0801.2017112

2017?02?22；

2017?04?20

陜西省工業科技攻關資助項目（No.2016GY-113，No.2015GY-013）；陜西省教育廳專項科研計劃基金資助項目（No.16JK1704）

Industrial Research Project of Science and Technology Department of Shaanxi Province of China (No.2016GY-113, No.2015GY-013), Shaanxi Provincial Department of Education Special Research Project of China (No.16JK1704)

岳赟（1989?），男，西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室碩士生，主要研究方向為數據分析。

盧光躍（1971?），男，西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室教授，主要研究方向為信號與信息處理、認知無線電、數據分析等。

劉迪（1991?），男，西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室碩士生，主要研究方向為數據分析。

董靜怡（1992?），女，西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室碩士生，主要研究方向為數據分析。