一種改進的基于KRR的單幀圖像超分辨率重建算法?

史國川 龔連友 曹宇劍

一種改進的基于KRR的單幀圖像超分辨率重建算法?

史國川 龔連友 曹宇劍

（陸軍軍官學院 合肥 230031）

為解決圖像超分辨率重建結果中的圖像質量問題，論文提出了一種改進的基于核嶺回歸（Kernel Ridge Regres?sion，KRR）的單幀圖像超分辨率重建算法。該算法利用核嶺回歸算法估計潛在的高分辨率圖像中高頻細節信息，然后將核匹配追蹤算法與梯度下降算法相結合，得到一種基于稀疏表示的對KRR進行求解的方法，再使用一個通用的圖像先驗模型對回歸結果進行處理，用以消除正則化過程中產生的振鈴，進而得到最終的高分辨率重建圖像。實驗結果證明，該方法在時間復雜度保持中等水平的同時具有良好的重建效果。

超分辨率重建；KRR算法；稀疏表示；圖像先驗模型

AbstractTo solve the problem of image quality in image super resolution reconstruction，this paper proposes an improved al?gorithm of single image super resolution reconstruction based on Kernel Ridge Regression（KRR）.The algorithm uses KRR estima?tion of high-frequency information of potential high resolution image，then the kernel matching pursuit algorithm and gradient de?scent algorithm are combined to obtain a sparse representation based method for solving KRR.To solve the problem of ringing arti?factsoccurring due to the regularization effect，the regression results are post-processed using a prior model of a generic image class，then gets the final high resolution reconstruction image.Experimental results demonstrate that the method has good reconstruction quality in the condition of keeping the time complexity of medium level.

Key Wordssuper-resolution，KRR algorithm，sparse representation，prior model ofimage

Class NumberTP391

1 引言

單幀圖像的超分辨率重建是指將一幀給定的低分辨率圖像放大一定倍數，形成一幀高分辨率圖像的過程。一般情況下，相同的低分辨率圖像可以由多個高分辨率圖像產生，因此圖像超分辨率重建是一個典型的病態問題［1］。在現實中，可以利用圖像先驗來解決該問題，目前主流的獲取圖像先驗信息的有兩種方法，一種是從定義在圖像類上能量函數中顯性獲得；另一種是從以實例為基礎的超分辨率圖像中隱性獲得。

現有的基于實例的超分辨率重建算法通常可以分為訓練和重建兩個階段進行描述［2～3，15］。在訓練階段，對低分辨率圖像塊數據集進行訓練，得到與之對應的高分辨率圖像塊數據集；在重建階段，將每個給定的低分辨率圖像塊與已經存儲的高分辨率圖像塊進行比較，并選擇與低分辨率圖像塊距離最近的高分辨率圖像塊作為結果進行輸出［6］。在文獻［2］中，Freeman等提出了一種基于插值的圖像超分辨率算法，他們通過一定的比例對輸入的低分辨率圖像進行圖像插值，據此對丟失的高頻細節進行估計，最終得到一個重建結果。

圖像的超分辨率重建過程可以利用基于低頻圖像塊和與之對應的高頻圖像塊的神經網絡算法來對其進行描述。盡管該方法和其他以神經網絡為基礎的方法的表現已經比較出色，但是因為其存在的過擬合問題，如果將圖像超分辨率重建當作一個回歸問題來看待，就可以找到一種從低分辨率圖像塊集合X到高分辨率圖像塊集合Y中的對應關系，這使得超分辨率圖像重建仍然有很大的提升空間。眾所周知，在機器學習領域，基于神經網絡的估計算法普遍存在過擬合問題，在實際操作中，一般可以得到一個可以完美解釋訓練數據的函數，但是它難以被推廣應用于所有的未知數據中。同時由于函數的限制，導致需要在復雜圖像區域中進行圖像的超分辨率重建操作，而利用正則化算法［11］的適應性學習能力可以有效地改善基于神經網絡的重建算法中存在的過擬合問題。

在基于Freeman等［2］研究的基礎框架之上，Kim等［7］提出了將估計圖像的高頻細節部分作為一個回歸問題進行研究，并采用支持向量回歸（Sup?port Vector Regression，SVR）算法解決該問題。另外，Ni和Nguyen在頻域中使用SVR算法并提出將圖像的超分辨率重建視為一個核心學習問題。盡管利用SVR算法［4～5］對基于實例的算法性能具有很大提升，但是在構建實際系統過程中，它仍然存在以下幾個問題：1）作為一個正則化框架，SVR側重于對銳化邊緣進行平滑處理，且會在主要邊緣區域產生振鈴效應。雖然這可以降低重構過程中的平均誤差，但在視覺上是令人難以接受的；2）SVR會導致回歸函數在整個訓練數據點中被放大，使得在訓練和測試過程中需要進行大量的計算，增加了算法的時間復雜度。

目前的研究基本都是基于Kim等［7］的研究框架進行拓展的。核嶺回歸算法（KRR）正是基于回歸的思想提出的。根據目前已發布的研究可知，SVR的最佳觀察點在接近于0處產生，SVR與KRR算法之間的唯一區別在于它們各自提出的損失函數的選擇不同，分別以L1和L2作為損失函數。KRR算法采用的L2損失函數，它不僅可以微分，同時還有利于進行基于梯度的優化。為了減少KRR算法的時間復雜度，在稀疏的基礎上結合該匹配追蹤算法（KMP）［13］和梯度下降法，可以在算法的時間復雜度和重建圖像的質量之間取得一個較好的平衡點。SVR算法和KRR算法具有相同的正則化方式，因此在圖像的主要邊緣區域兩者均存在邊緣振蕩問題，該問題可以根據Tappen等［10］提出的在圖像結構中利用先驗信息的方法進行解決。

2 基于KRR超分辨率重建算法的設計

首先，利用Freeman等［2］研究的系統框架，對一個給定的圖像進行圖像的超分辨率重建過程中，根據一定的比例對給定的圖像進行雙三次插值處理，進而估算出原圖像丟失的高頻細節。接著，根據條件獨立性假設，給出與圖像高頻分量和低頻分量相對應的中頻分量［2］，并通過基于拉普拉斯的雙三次插值（X）算法對原圖像的高頻分量（Y）進行估計，然后將估計結果（Y）添加到雙三次插值計算過程中，從而得到最終的超分辨率圖像Z。

為了使重建過程中出現的回歸問題的復雜度保持在一個較低的水平，采用一種基于塊的方法，該方法在特定的位置NN(Y (x，y))上對Y的值進行估算，估算過程在與 NN(Y (x，y))相對應的位置NM(X (x，y))上基于X值進行，而 NG(S (x，y)) 表示一個在圖像S中，以(x，y)為中心點，大小為G的正方形窗口。

在超分辨率重建階段，用一個大小為M的窗口對X進行掃描，得到每個像素塊的回歸結果，記為N，而Z中的每個位置將出現一系列的備選像素塊（作為與它們鄰居重疊的像素塊），將它們進行整合得到最終的估計值。選擇一組高分辨率圖像進行模糊和重采樣（雙三次重采樣）處理，得到圖像回歸重建所需的訓練圖像，由此構成了一組高分辨率與低分辨率相對應的圖像對，并從中隨機抽取訓練所需的圖像塊對進行訓練。為提高訓練效率，對訓練數據進行對比度與歸一化處理，即：在對訓練集中的數據重建過程中，利用L1范式對輸入圖像塊進行劃分，然后將輸入圖像塊和與之相對應的圖像塊進行歸一化處理。對一個未知的圖像塊而言，在進行回歸重建之前需要對輸入圖像塊進行歸一化，并且與之相對應的輸出是逆歸一化的。給定一組用于訓練的點集{( x ，y)，…，(x，y)} ? RM×RN，據此

11ll對式（1）表示的正則化價值函數進行最小化處理。

當yj=[y1j，…，yNj]和 H 作為一個RKHS（Re?producing Kernel Hilbert Space）時，由于其具有可再生性，可以在以下核函數中對式（1）進行最小化處理：

在具體實現時，選擇一個高斯核(K(k(x，y)=exp(-‖‖x-y2/σk)))作為H的生成核。式（1）是每個標量值回歸的獨立凸價值函數的和，并且能夠對每個價值函數分開計算其最小化值。另一方面，通過將正則化參數λ和核k進行綁定，在標量值回歸的情況下可以有效降低訓練和測試過程中的時間復雜度，同時，可以共享其內核矩陣：將式（2）代入式（1）中，可以簡化得到式（3）。

其中Y=[y1Τ，…，yΤl]Τ和A的第i列構成了系數向量ai=[a1i，…，ail]Τ的第i個回歸值。

由式（2）和式（3）可知，KRR的訓練和測試時間復雜度分別是O(l3)和O(M×l)，在實際計算中，即使是針對一個相對較小的訓練數據集，這種時間復雜度仍然是難以接受的。通過在基礎集{k(b1， ?)， …， k(blb， ?)}( )lb?l中尋找式（1）的極小點，從而找到最優解來進行替換得到式（4），這樣可以有效地降低計算過程中時間復雜度：

當 [Kbx(i，j)]lb，l=k(bi，xj)并且 [Kbb(i，j)]lb，lb=k(bi，bj)時，測試時間復雜度降低到O(M×lb)。對于一組給定的基礎點集B={b1，…，blb}，系數矩陣 A的計

通過式（4），可以得到解決方法式（5）如下：算時間復雜度為O(l3b+l×lb×M)。總而言之，總的訓練時間根據不同的尋找點集B的方法而不同。

在 KMP［4，11］算法中，采用增量的方法從訓練數據中選取基礎點集：給定n-1個基礎點，第n個基礎點是在式（1）被最小化且對 A進行相應優化的條件下選取的。在KMP算法中，每一步的時間成本為O(l2)。另一方面，由于價值函數式（4）具有可導性，因此可以基于梯度對結構B進行優化。假設相對于基向量而言，對k的導數進行估算耗時為O(M)，那相對于B和與之對應的系數矩陣A而言，對式（1）的估算耗時為 O(M×l×lb+l×l2b)。由于靈活性的增加，已經可以證明的是，在基于稀疏的高斯過程（GP）回歸［8］的條件下，與選擇性方法相比，基于梯度的方法對價值函數式（1）具有更好的優化效果。然而，相對于B而言，價值函數式（1）是非凸的，其容易受到局部最小的影響，因此需要尋找一個好的初始值對其進行初始化。

本文采用的是梯度下降法和KMP算法相結合的算法。該算法的基本思想是：首先假設在KMP算法的第n步中，已選擇的基點bn加上已得到的基礎點的累計值，直到第n-1步時獲得一個好的初始化點Bn-1。隨后，在KMP的每一個步驟中，利用梯度下降法對Bn進行優化。在研究中通過實驗證明，對上述思想進行單一實現仍然耗時過長。為了進一步降低計算復雜度，采用如下方法對其進行簡化：1）在KMP算法中，通過對lc(lc＜＜l)個訓練數據點進行重新估算，將該結果代替原算法中對整個訓練數據集的估算結果，并據此對bn進行選擇。2）只在KMP算法中的每個第r步中執行針對Bn(M)的梯度下降法和與之相對應的 A(1:n，:)，而不是在KMP算法的每一步中，僅對bn和 A(n，:)進行優化。在該條件下，其梯度的時間復雜度可以控制在O(M×l)范圍之內。

在第n步中，進行KMP的lc個備選基礎數據點的選擇是基于一種相當簡單的準則進行的。利用在第n-1步中得到的函數輸出值與每個訓練數據點進行全局KRR估算后所需的響應值之間的差異，然后通過局部KRR對其進行近似估算。對于一個訓練數據點xi，其最近鄰抽樣（NNs）已經收集在訓練數據集中，并且對整個KRR的訓練都是基于NNs進行的。這種針對xi進行的局部KRR，給出了對xi所需響應時間的估算。但是，不能將這些局部的KRRs直接應用到回歸算法中，因為在非訓練數據點中難以對它們進行插值。當計算開始時，在整個優化過程中，響應所需的時間就已經可以估算出來了。

為了更加深入地探討各稀疏算法在圖像超分辨率重建中的表現，先利用10000個訓練數據點分別在KMP算法、梯度下降算法以及KMP和梯度下降相結合的算法中進行實驗。圖1為實驗結果。從實驗結果中可知，不僅梯度下降算法的實驗結果優于KMP算法，且兩者相結合的算法也優于KMP算法。這將為本文算法在進行梯度下降計算步驟時提供一個更好的初始化值。

圖1表示在價值函數（式（1））下對不同稀疏表示重建算法的實驗性能對比圖。實驗證明，僅通過標量值回歸算法（即：N=1）對圖像進行超分辨率重建是可行的。然而，我們提出了一種對N個備選圖像塊中每一個圖像塊的像素值進行預測的算法，這些備選圖像塊組成了一個三維圖像，并且第三維度與備選圖像塊相對應。該設置是為了對以下兩方面進行觀測：1）通過參數分享，可以將學習圖像塊的值這一過程的計算復雜度降低到與標量值學習相同的水平；2）這些備選圖像塊包含不同的輸入圖像位置信息，通過它們之間的相互組合能夠有效地提高算法性能。在前期實驗中，從圖像Z中的每一個二維位置選擇最好的和最差的（離地面的實際距離）備選圖像塊分別進行圖像超分辨率重建。結果顯示，兩者的平均信噪比（SNR）的大小差距達到8.24。但是，在實際的圖像超分辨率重建階段，圖像塊距離地面的真實距離難以得到，因此，需要使用一種從N個備選圖像塊中構建出一個單一像素的方法。

圖1 不同稀疏表示重建算法的性能評價

一個簡單的方法是基于一種確定且可信的度量限制條件下，將備選圖像塊視為一個凸組合來構建其最終估計值。例如，從文獻［9］中可知，在GP的前提下，基于稀疏的KRR與最大后驗估計具有一致性，兩者均可以利用預測方差作為選擇的依據。前期的實驗結果對標量值回歸有了明顯的改進。在基于輸入圖像塊和對鄰域重建的條件下得到的置信度估計模型能夠產生更好的預測結果。根據該方法對每個位置(x，y)進行一組線性回歸訓練，可以得到輸出圖像 Z(NL(x，y)，:)的一個圖像塊，并且能夠對期望輸出的未知圖像塊和每個備選圖像塊之間的差異 ({d1(x，y)，…，dN(x，y)})進行估值計算。據此，可以在一個以soft max函數（式（6））給出的備選圖像塊凸組合上對輸出圖像任意位置(x，y)像素的值進行最終估算。

式（6）需要同時滿足條件：

在本文的實驗中，對前面公式中需要的各參數設置如下：M=49(7×7)，N=25(5×5)，L=49(7×7)，σk=0.025，λ=0.5?10-7。這些值均來源于一組獨立的驗證圖像。

為了平衡時間復雜度與算法精確性之間的矛盾，將KRR的基點數（lb）設為300。在基于以上參數的備選圖像塊之間進行組合的圖像超分辨率實驗中，其平均信噪比（SNR）比單一的標量值回歸算法高出0.43dB。

由圖2（b）可知，基于回歸的圖像超分辨率重建算法明顯優于雙三次插值的超分辨率重建算法。然而，仔細觀察可以發現，經重建得到的圖像在其邊緣（邊緣像素值呈現出快速且劇烈的變化）產生了振鈴現象。一般而言，KRR和SVR等正則化方法傾向于使用平滑函數來對數據進行擬合。因此，在函數的劇烈變化下，圖像的邊緣會產生振鈴現象，以此來彌補平滑過程中所產生的損耗。盡管該問題可以通過在圖像邊緣附近進行強制不正則化來間接解決，但是更直接的方法是依靠圖像先驗信息［14］的不連續性來解決。本文直接參考Tap?pen等［10］提出的一種改進的自然圖像先驗（NIP）框架來進行實驗，如式（8）所示。

其中{y}表示觀測變量，與Y的像素值相對應；{x}表示潛變量；Ns(i)代表像素i周圍并與之相鄰的8個像素。在式（8）中，第一個乘積式在基于 | x?i-x?j|的代價上對圖像進行平滑處理，第二個乘積式可以有效地防止最終算法結果與輸入的回歸結果Y的差距過大。α(α＜1)用于對成本函數重新加權，其最大不同之處在于強調了與其他像素之間的相關性，這樣做可以盡可能地降低與之相關的像素值突變造成的影響。進一步說，如果不考慮式（8）中的第二個乘積式，那么代價式 | x?i-x?j|α將成為被Ns(i)中極值點分段的凹函數，因而像素i將極有可能是通過指定一個與之相鄰像素的值來得到，而不是通過對其相鄰像素進行加權平均得到。這讓圖像的邊緣表現得更加健壯，從而可以有效地解決主要邊緣的平滑性問題。同樣，對式（8）的優化也是基于文獻［10］所提出的置信度傳播算法（Belief Propaga?tion，BP）。為了便于優化，實驗中仍然使用從回歸步驟中生成的備選圖像塊的集合，這樣BP算法可以選擇其中的最優備選圖像塊。

對式（8）的優化貫穿整個圖像區域，這可能會導致結果發生退化，因為算法傾向于對圖像的紋理區域進行平整化，尤其是當圖像對比度相對較低時，式（8）中的第二個乘積項對結果的影響將很小。這個問題可以在圖像的主要邊緣利用改進的NIP算法進行解決。

通過觀察可知，一般都會對輸入圖像進行模糊化處理［12］，因此，過高的空域分量已經被去除，圍繞輸入圖像的局部圖像塊使用拉普拉斯函數和L2、L∞范式來確定每個像素的閾值，從而確定圖像的主要邊緣。另外，圖像的主要邊緣通常不同于圖像輪廓。例如，在圖2（d）中，鴨子胸部和水之間的邊界不能確定為該圖像的主要邊緣，因為其邊界像素強度沒有發生明顯的變化。在這種情況下，原始回歸結果中將不會出現振蕩現象。

在式（8）中，參數 α、σN和 σR的值分別為：0.85，200和1。盡管在圖2中信噪比（SNR）的提高并不明顯（相比回歸結果平均提高了0.04dB），但是在圖像的主要邊緣上視覺質量的提高仍然證明了NIP算法的有效性。

圖2 超分辨率實例

在圖2中，（a）表示雙三次插值重建結果，（b）表示回歸算法重建結果，（c）表示（b）圖通過NIP算法處理后的結果，（d）表示利用拉普拉斯函數對雙三次插值結果進行處理并用綠色像素顯示其主要邊緣的結果，（e）和（f）分別表示圖（a）、（b）、（c）三幅圖像中部分細節放大的結果

3 實驗及性能分析

在實驗中，從訓練圖像中選擇一組互不相交的高-低分辨率圖像塊對，如圖3所示，并對文中所提算法進行評價。在每個維度上，分辨率的期望值是每個輸入圖像分辨率的兩倍。實驗訓練數據點數量為200000，在頻率為2.5GHz的個人計算機上消耗了約一天時間對基于KRR的稀疏表示進行訓練。選擇不同經典的基于實例的圖像超分辨率重建算法與本文所提算法進行對比，包括：Freeman等［2］提出的基于神經網絡的算法、Tappen等［10］提出的自然圖像先驗（NIP）算法和Kim等［7］提出的基于SVR算法（訓練數據點數量為10000）。

圖3 測試圖像縮略圖：圖像按照光柵排列中的數字進行索引

實驗中各種算法的重建結果如圖4所示。觀察可知，所有基于實例的超分辨率重建算法在視覺效果上均優于雙三次插值算法。基于NN的算法和傳統的NIP算法在加入噪聲后得到的圖像產生了明顯的銳化效應，雖然重建圖像的視覺質量得到了提高，但這也導致其算法的SNR比雙三次插值算法低。SVR算法的重建圖像噪音更少，但是其重建圖像產生了振鈴效應和邊緣平滑效應，這些不足之處在本文所提算法的重建結果中均沒有出現。假如不考慮對重建結果進行后續處理，本文所提算法的重建圖像的SNR比SVR算法高出0.69dB。經過分析，出現這種結果的可能原因有兩種：一是由于本文算法的稀疏表示訓練數據集更大，二是本文算法的備選圖像塊的組合更加有效。此外，與SVR算法相比，本文所提算法的計算更快，重建所需時間更少。對于同樣一幀256×256的低分辨率圖像，分別用這兩種算法將其重建為512×512的高分辨率圖像，本文提出的算法大約需要25s，而基于SVR的算法則需要大約20min。

圖4表示不同超分辨率算法對圖3中兩幅圖像進行重建的結果示意圖。其中：（a）和（b）表示原始圖像，（c）和（d）表示雙三次插值重建結果，（e）和（f）表示SVR算法［7］重建結果，（g）和（h）表示基于神經網絡算法［2］的重建結果，（i）和（j）表示NIP算法［10］的重建結果，（k）和（l）表示本文算法的重建結果。不同算法所得重建結果的SNRs（平均信噪比）如圖5所示。

圖4 不同超分辨率算法重建結果

圖5 不同超分辨率算法的性能

4 結語

本文從非線性回歸的角度探討了圖像超分辨率重建問題。將KMP算法與梯度下降算法相結合，得到一種基于稀疏表示的KRR算法，使得基于回歸的超分辨率算法的應用成為現實。為解決由于正則化而產生的平滑偽影問題，利用NIP算法對回歸結果進行后續處理，在抑制圖像平滑偽影的同時對其邊緣進行了銳化。與現有的基于實例的圖像超分辨率算法相比，本文所提出的算法在計算時間、圖像質量和信噪比方面均有明顯的優勢。

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An Im proved Super Resolution Reconstruction A lgorithm of Single Image Based on KRR

SH I Guochuan GONG Lianyou CAO Yu jian
（Army Officer Academy，Hefei 230031）

TP391

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.09.032

2017年3月8日，

2017年4月21日

安徽省自然科學基金項目（編號：1608085MF140）資助。

史國川，男，碩士，教授，研究方向：圖像信息處理。龔連友，男，碩士研究生，研究方向：圖像信息處理。曹宇劍，男，碩士研究生，研究方向：圖像信息處理。