基于三次樣條插值法的滑坡變形階段分析

黃小研，賈培剛

（西安工業大學機電工程學院，陜西 西安 710021）

基于三次樣條插值法的滑坡變形階段分析

黃小研，賈培剛

（西安工業大學機電工程學院，陜西 西安 710021）

滑坡位移監測數據能夠有效、直接地反映出滑坡整體變形趨勢，在監測過程中，由于受到干擾或遇到設備故障，常會導致數據異常或缺失?；谌螛訔l插值法，對某新建工程監測位移的缺失數據進行了插值，使用t檢驗法對插值后的數據進行了顯著性檢驗，并利用切線角法對插值后的累計位移數據進行了變形階段分析。結果表明，利用三次樣條插值法得到的插值數據與原始數據沒有顯著差異，滑坡處于加速變形階段，可進行短期預報。

三次樣條插值；t檢驗法；切線角法；滑坡變形階段

采集滑坡位移數據時，自動化監測設備會受到外界影響而產生異常值，或因設備故障而缺失部分數據。如果直接采用原始位移數據分析滑坡變形階段，或預測后續滑坡變形趨勢，則會出現與實際值偏差過大的情況。因此，在分析滑坡變形前，需對得到的原始位移數據進行預處理。對于原始位移數據的缺失一般采用插值方法，插值法是一種重要的數學計算工具，在諸多領域都有應用，包括線性插值法、拉格朗日（Lagrange）插值法、牛頓（Newton）插值法、分段插值法和樣條插值法等，其中，樣條插值法是在每兩個相鄰節點構成的一個小區間內用一個低次多項式來逼近，并保證在各個節點處的連接是光滑的。經過三次樣條插值法處理的插值數據曲線變得光滑，如果與原始數據差異不顯著，便可使用切線角法進行滑坡變形階段分析。分析時，應使用累計位移數據，并構造累計位移—時間曲線。從曲線的大致趨勢可先簡單判斷滑坡位移趨勢，之后再根據切線角法計算各個小區間的曲線斜率，通過變形速率便可判斷滑坡變形階段。

1 三次樣條插值法基本原理及顯著性檢驗

1.1 三次樣條插值法

考慮到高次插值不收斂又不穩定，而二次插值擬合的函數光滑性不夠，所以，選擇三次樣條插值法對滑坡數據進行插值。三次樣條插值函數的基本定義為：如果函數f（x）在節點x0，x1，…，xn處的函數值為 f（xi）＝yi，i＝0，1，…，n，并且關于這個節點集的三次樣條函數S（x）滿足插值條件S（xi）＝yi，i＝0，1，…，n，則稱這個三次樣條函數S（x）為三次樣條插值函數。

在每個小區間[xi，xi+1]上，三次樣條函數可以表示為：

式（1）中：hi為步長，滿足 hi＝xi+1－xi，i＝1，2，…，n－1.

本文中，邊界條件滿足自然邊界條件，即S"（x1）＝M1，S"（xn）＝Mn，由此可得，M1＝Mn＝0.所以有：

聯合基本方程組可得到mi矩陣：

將求得的各未知數代入式（1）就可得到三次樣條函數的表達式。

1.2 t檢驗

t檢驗是用t分布理論來推論差異發生的概率，從而比較2個平均數的差異是否顯著。本文選取單總體t檢驗對插值前后的數據進行比較。如果總體標準差σ未知且樣本容量n＜30，那么，樣本平均數與總體平均數的離差統計量呈t分布。此時，檢驗統計量為：

如果樣本總數為大樣本（n＞30），檢驗統計量也可寫為：

式（5）（6）中：X為樣本平均數；μ為總體平均數；σX為樣本標準差；n為樣本容量。

計算自由度df＝n－1，選定顯著性水平，查詢t檢驗表，如果t＜t0.05（df），則接受原假設，即認為插值前后的數據差別不顯著；反之，則拒絕原假設，認為插值前后數據差別過大，不適用于后期的滑坡變形階段分析。

2 滑坡變形階段分析

原始數據經過三次樣條插值處理、t檢驗可靠之后，即可進行滑坡變形階段分析，一般常采用切線角法。切線角的線性擬合方程為：

式（7）中：A為方程的斜率值。

式（7）適用于監測值為等時間間隔數據，如果時間間隔不等，可使用式（8），即：

式（8）中：i＝1，2，…，n，為時間序號；ti為累計監測時間；t為時間ti的平均值；αi為xi處的切線角；α為切線角αi的平均值。

αi的計算公式為：

式（9）中：B為比例尺度。

比例尺度的計算公式是：

根據求得的A，B值，查詢表1即可判別滑坡變形階段。

如果滑坡位移監測數據量較大，可分段分析數據。如果劃分為n（n＝1，2，…，n）段，則分別對是對整體數據的分析。

3 滑坡變形階段分析實例

3.1 三次樣條插值法

為了便于分析，本文選取了某新建工程一個月的滑坡監測數據作為原始數據列，其具體數據如表2所示。

計算時，橫坐標參數為日期，無法計算，所以，將所有橫坐標均換成可計算的數字，如果遇到確實點，便多空過去一個數字。由于計算過程復雜，數據量多，本文所有參數均使用MATLAB編程算出。根據式（1）（2）（3），λimi-1＋2mi＋μimi＝gi，i＝0，1，…，n－1，S"（x1）＝M1，S"（xn）＝式（4）經過計算后可以得到全部三次樣條插值方程。此處截取了缺失數據點前后兩點構成的小區間所計算出的函數方程組，對其余方程組進行了省略，部分函數如下：

通過上述方程組各缺失點對應的函數可計算出相應的缺失值，如表3所示。在圖1中，折線表示原始位移數據，曲線表示插值位移數據，圓圈表示各缺失點對用的缺失值。

圖1 原始位移數據曲線與插值曲線對比

從圖1中可以看出，三次樣條插值法保證了每個小區間在連接點處的連續性，除去數據缺失點，原始數據曲線與插值曲線之間有許多基本重合的地方。由此可見，三次樣條插值法具有較好的收斂性。

表1 滑坡切線角法變形階段分析表

表2 滑坡監測位移原始數據表

表3 各缺失點對應的缺失值

3.2 檢驗

根據數據表2中的原始位移數據可計算出其平均數為2.688 8，標準差為0.672 1；插值后插值點樣本數n＝5，樣本平均數X＝2.482 1.建立原假設檢驗H0∶μ＝2.666 8，認為插值后數據與原始數據之間的差別不顯著。由于樣本數小于30，根據公式（5）可計算出：

選取顯著性水平為0.05，自由度df＝4，查詢t值臨界表，臨界值t0.05（4）＝2.776.由此可見，樣本的t值遠遠小于臨界值2.776.因此，接受原假設檢驗H0，認為插值前后數據差別不顯著，可進行滑坡變形階段的分析。

3.3 變形階段分析

根據上述分析，插值后的缺失值具有顯著性，可進行滑坡變形階段的分析。將原始位移數據與插值位移數據相結合，構成新數據列進行數據累加，使其成為累計位移數據列，并繪制出累計位移—時間曲線圖，如圖2所示。

圖2 插值后累計位移數據

從圖2中可以簡單看出滑坡的整體變形趨勢，但僅僅通過圖像去判斷變形趨勢過于片面，因此，我們依據切線角法對此數據列進行相關參數計算。根據式（10）先計算出參數B，再根據式（1）和式（7）計算出參數A，并根據表1判斷該滑坡的變形階段，分析結果如表4所示。

表4 切線角法滑坡變形階段分析

利用切線角法對滑坡的變形階段進行分析是使用較為廣泛的方法，但是，受坐標單位的影響，用不同單位求得的切線角差別往往過大，有時甚至會造成誤判。例如，本文所監測的數據是以日為單位，如果監測時間很長，以周或以月為單位重新擬合插值曲線，便會存在差異。有研究人員改進了切線角法，并提出了相應的預警依據。但是，由于滑坡位移監測曲線呈現出一定的波動，所以，還需要結合專業人員的經驗綜合判斷得到的位移數據。

4 結論

本文選取了某新建工程為期一個月的滑坡位移監測數據，利用三次樣條插值法對該數據進行了曲線擬合，并對缺失點進行了數據插值。對比原始數據曲線可知，該插值法擬合效果比較好，利用t檢驗法檢測插值數據，驗證了插值數據與原始數據不存在明顯差異，可將原始數據與插值數據相結合，構成累計位移新數據列，并利用切線角法對新數據列進行滑坡變形階段分析。結果表明，該滑坡具有加速趨勢，方程斜率值A趨近于零，可進行短期預報。

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［3］楊慶義，孫政.滑坡變形階段的劃分及短期預報研究［J］.科學之友，2011（3）：8-10.

［4］許強，曾裕平，錢江澎，等.一種改進的切線角及對應的滑坡預警判據［J］.地質通報，2009，28（4）：501-505.

TP301.6

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2017.20.016

2095－6835（2017）20－0016－03

黃小研（1993—），女，陜西人，碩士研究生，研究方向為機械制造及其自動化。

〔編輯：白潔〕