H0v空間上加權復合算子的超循環性

周 寧

H0v空間上加權復合算子的超循環性

周 寧

(天津大學 數學學院，天津 300350)

描述H0v空間中加權復合算子uCφ的超循環性，給出解析自映射φ是自同構或雙曲非自同構時，加權復合算子uCφ在H0v空間上是超循環的充分條件，同時給出解析自映射φ是拋物非自同構時，加權復合算子uCφ在H0v空間上不是超循環的例子。

分式線性映射；加權復合算子；超循環

令D表示復平面上的開單位圓盤，H(D)表示D上解析函數全體，S(D)表示D上解析自映射全體。對于u∈H(D)，φ∈S(D)，定義加權復合算子uCφ如下：

(uCφf )(z) = u (z) f (φ(z))，f∈ H(D)，z∈ D

復合算子的研究是解析函數理論與算子理論相結合的產物[1-2]。

設v：D→(0，∞)是有界且連續的權函數，則Hv∞和H0v空間定義如下：

由文獻[3]可知，在范數‖·‖v意義下，Hv∞和H0v空間是Banach空間，且多項式在H0v中稠密，因此H0v是可分的。

令X表示可分的無限維Banach空間，L(X)表示X上連續線性算子。T∈L(X)，若存在x∈X使得軌道orb(T，x)：=｛x，Tx，T2x，…}在X中稠密，則稱T是超循環的。其中x稱為T的超循環向量，HC(T)表示T的超循環向量全體構成的集合。

算子循環性的研究是線性動力系統中重要的內容之一[4-11]。文獻[5]描述了復合算子在H0v空間上的超循環性。受其啟發，本文主要研究加權復合算子在H0v空間上的超循環性。

1 預備知識

按不動點性質可將φ∈LFT(D)進行如下分類：

(1)若φ有唯一不動點，且在?D上，則稱φ是LFT(D)中拋物映射。

本文中會用到單位圓盤上解析自映射φ的迭代性質，為此需要應用Denjoy-Wolff定理。

定理1.1 (Denjoy-Wolff)若解析自映射φ：D→D在D內沒有不動點，則存在α∈?D使得φn的在D的緊子集上一致收斂于α。其中α稱為φ的Denjoy-Wolff點。

在本文中為確保算子的超循環性，需要用到超循環準則。

定理1.2 (超循環準則)令X表示拓撲向量空間，T∈L(X)。我們說T滿足超循環準則，如果存在一列遞增的整數列(nk)，兩個稠密子集D1，D2X和映射Snk：D2→X使得：Tnk(x)→0對任意x∈D1；Snk(x)→0對任意y∈D2；TnkSnk(y)→y對任意y ∈ D2。

上面的超循環準則是確保算子超循環性的充分條件。

在Hv∞和H0v空間中，v：D→(0，∞)是有界且連續的權函數，如果對任意z∈D滿足v(z)=v(|z|)則稱權函數為徑向的。如果一個權既是徑向的，同時關于|z|非增且，則稱之為經典權。在本文中研究的權均為經典權。

2 H0v空間上加權復合算子的超循環性

引理2.1 若解析映射φ：D→D在D內沒有不動點，如果αD且權是經典的，則在α點為0的多項式全體構成的集合Aα在Hv0中稠密。

證明：由文獻[5]中Proposition3.3易得。

以下引理來自于文獻[5]中Proposition3.4。

引理2.2 若v為經典權函數，解析映射φ：D→D在D內沒有不動點。 如果α∈?D是φ的Denjoy-Wolff點，則對任意多項式Ρ有。

定理2.3 如果加權復合算子uCφ在H0v上是超循環的，則解析自映射φ是單的，且在D中沒有不動點，同時對任意z∈D，u(z)≠0。

證明：由于多項式在H0v和H(D)中均稠密，因此若uCφ在H0v上是超循環的，則在H(D)上也是超循環的，由文獻[6]中命題1.1，我們得到這個結論。

由定理2.3可知，若解析自映射φ是橢圓映射（或斜駛的)，則加權復合算子uCφ在H0v上肯定不是超循環的。

定理2.4 若φ是雙曲自同構或拋物自同構。 如果加權復合算子uCφ：H0v→H0v連續，且對z∈D有

C1，C2為大于0的常數，則uCφ在H0v上是超循環的。

證明：由于φ是雙曲自同構或拋物自同構，則有z0，z1∈?D(可以有z0=z1的情形)使得φn(z)→z0對所有z∈D—{z1}和φn-1(z)→z1對所有z∈D—{z0}。根據引理2.1， 我們有Az0和Az1在H0v中稠密。

對任意f∈Az0，根據引理2.2，有

定 義Snf (z)=對z∈ D。同理，對于 f∈ Az1，‖Snf‖v→ 0，且 (uCφ)nSnf=f。因此，滿足超循環準則，uCφ是超循環的。

例2.5 由定理2.4，易知φ∈Aut(D)且無內部不動點時，如果復合算子Cφ：H0v→H0v連續，則Cφ在H0v上是超循環的。

定理2.7 若φ是雙曲非自同構的。如果加權復合算子uCφ：H0v→H0v連續，且對z∈D有

C1，C2為大于0的常數，則uCφ在H0v上是超循環的。

證明：該定理的證明類似于參考文獻[2]中7.2節線性分式超循環定理(a)的證明。

由于φ是雙曲非自同構，則有吸引點z0∈?D使得φn(z)→z0，排斥點z1(D—在外，可能是∞)。根據引理2.1， 我們有Az0和Az1在H0v中稠密。首先，假設排斥固定點z1位于原點z0和確定的直線上，且和z0分別位于原點兩側。用△表示過z1點在z0處與D相切，且切線垂直于過原點、z0和z1的直線的開圓盤，則φ是△的共形自同構。對任意f ∈ Az0，同定理 2.4，‖(uCφ)n( f )‖v → 0，定義 Snf (z)=×對z∈D。同理，對于f∈ Az1，‖snf‖v→ 0，且 (uCφ)nsnf =f。此外，若 z1沒有位于以上位置，則存在D的一個共形自同構γα固定z0且把z1映到以上位置。 因此，滿足超循環準則，uCφ是超循環的。

定理2.8令v(z)=(1-|z|2)p，(0＜p＜1)，假設 φ ∈ LFT(D)

是拋物非自同構的，如果加權復合算子uCφ：Hv0→Hv0連 續， 且 對z∈D有supn∈N,z∈DC同時滿足，當z→1時，u(z)不趨于0，則算子uCφ在H0v空間上不是超循環的。

證明：由于φ∈LFT(D)是拋物非自同構的，因此在?D上有唯一不動點。不失一般性，不妨設其不動點為1。因此，由文獻[2]，我們有

其中 a=φ"(1)，Rea＞0。

通過計算易得：

由于跡(φn(z))n非切逼近于固定點1，固定z∈D可知存在常數c ＞0使得對任意n。

1-|φn(z)|≥ c|1-φn(z)|，結合 (1)式和 (2)式可得

n→∞(c，c'為大于0的常數)。

在下面的證明中，為了方便，特用C泛指大于0的常數，與具體數值無關。

當v(z)=(1-|z|2)p(0＜p＜1)時，顯然權v滿足(L1)條件，由引理1.3得

設f∈H0v，

|(uCφ)n+1f(z)-u(φn(z))(uCφ)nf(z)|

≤ C| f (φn+1(z))-f (φn(z))

由(1)式，

又因為跡(φn(z))n趨于固定點1，因此當n→∞時，u(φn(z))→u (1)且不趨于0，進而可得。

最后，假設f∈Hv0是uCφ的超循環向量，則對于g∈ Hv0存在數列 {nk}，當 k→∞時，‖(uCφ)nkf －g‖v→0，由于Hv0中范數收斂可以得到逐點收斂，因此對z∈D有

這與φ是非自同構矛盾，因此uCφ在H0v空間上不是超循環的。

3 結論

若 φ∈LFT(D)， 加 權 復 合 算 子 uCφ：H0v→Hv0(u∈H(D))連續。

1)當φ是橢圓映射(或斜駛的)時，算子uCφ在H0v空間上不是超循環的。

2)當φ是拋物自同構的或雙曲的且對z∈D有

C1，C2為大于0的常數，則算子uCφ在H0v空間上是超循環的。

3)當φ是拋物非自同構的，令v(z)=(1-|z|2)p，(0＜p＜1)，且對 z∈D有同時滿足當z→1時，u(z)不趨于0，則算子uCφ在H0v空間上不是超循環的。

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Hypercyclicity of weighted composition operators on the H0vspace

ZHOU Ning
(School of Mathematics，Tianjin University，Tianjin 300350，China)

linear fractional transformation； weighted composition operators； hypercyclicity

O174

A

1673-9469（2017）03-0109-04

10.3969/j.issn.1673-9469.2017.03.024

2017-06-22

國家自然科學基金資助項目（11371276）

周寧（1992-），女，河北辛集人，碩士，從事多復變函數和算子理論方面的研究。

Absract：This paper characterizes the hypercyclicity of weighted composition operators on the Hv0space.The sufficient condition of hypercyclicity of weighted composition operators is presented， when φ is an automorphism or a hyperbolic non-automorphisms. The examples showing the fact that weighted composition operators uCφon the H0vspace are non-hypercyclic are also given， when φ is parabolic nonautomorphisms .