一題多變，看函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像

鄭榮坤

[摘 要] 對一道函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像題多變、錯(cuò)解、多解的研究，幫助學(xué)生識函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像，理解數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像變換、應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)圖像；圖像變換；圖像應(yīng)用

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像是高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》的高頻考點(diǎn)，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)于歷年各地考卷中. 因此，高三數(shù)學(xué)教師要重視“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像”的教學(xué)，力爭讓學(xué)生熟悉掌握函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像，圖像變換、應(yīng)用.

典例：看函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像

典例：已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ？搖< 在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖1所示，求y=f（x）的解析式.

圖1

考點(diǎn)分析：由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖像，確定函數(shù)解析式.

危險(xiǎn)解法：由圖像容易看出，振幅A=2，周期T= -- =4π，ω= = ，由于ω>0，所以角速度ω= .

將 ，0代入函數(shù)解析式，得 × +φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ- （k∈Z）.

因?yàn)棣?lt; ，所以k=1，φ= . 因此，f（x）=2sin + .

危險(xiǎn)原因：上面解法看似很嚴(yán)密，危險(xiǎn)出在何處？如果把“φ< ”改為“φ<π”，那么φ的值為多少？學(xué)生的答案：k=1，φ= 或者k=0，φ=- . 實(shí)際上，把“φ< ”改為“φ<π”答案不變，仍為φ= ，而同學(xué)們使用上述解法就產(chǎn)生了增根，所以才說上述解法是“危險(xiǎn)解法”，給定的φ取值范圍變大，根的個(gè)數(shù)就增多.

解法1（代零點(diǎn)求φ）：因?yàn)?，0是函數(shù)的遞減零點(diǎn)，所以將 ，0代入函數(shù)解析式，得 × +φ=2kπ+π（k∈Z），解得φ=2kπ+ （k∈Z）. 因?yàn)椤唉?lt;π”，

所以k=1，φ= .

解法2（代波峰點(diǎn)求φ）：將 ，2代入函數(shù)解析式，得 × +φ=2kπ+ （k∈Z），

解得φ=2kπ+ （k∈Z）. 因?yàn)棣?lt; ，所以φ= .

解法3（五點(diǎn)法求φ）：將- ，0代函數(shù)解析式，由于點(diǎn)- ，0相當(dāng)于正弦函數(shù)“五點(diǎn)法”作圖中的第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，所以 ×- +φ=2kπ（k∈Z），解得φ=2kπ+ （k∈Z）. 因?yàn)椤唉?lt;π”，所以k=0，φ= .

評注：振幅A：看函數(shù)圖像的波峰（或波谷）；角速度（角頻率）ω：看函數(shù)圖像周期；求初相φ既是難點(diǎn)也是易錯(cuò)點(diǎn)，求法兩種：“代點(diǎn)法”、“五點(diǎn)法”. “代點(diǎn)法”可以選擇代零點(diǎn)，也可以選擇代波峰或波谷點(diǎn)，并且代波峰點(diǎn)可以得到ωx+φ=2kπ+ （k∈Z），代波谷點(diǎn)可以得到ωx+φ=2kπ+ （k∈Z），不管代波峰點(diǎn)還是波谷點(diǎn)都比較容易. 但代零點(diǎn)，給定φ的大范圍，很容易產(chǎn)生“增根”. 如果要避免產(chǎn)生“增根”，那么務(wù)必先判斷此零點(diǎn)所在區(qū)間的單調(diào)性. 代單調(diào)遞減區(qū)間上的零點(diǎn)，可以得到ωx+φ=2kπ+π（k∈Z）；代單調(diào)遞增區(qū)間上的零點(diǎn)，可以得到ωx+φ=2kπ（k∈Z）. 顯然，“代零點(diǎn)”比“代波峰或波谷點(diǎn)”麻煩，因此，建議選擇代波峰或波谷點(diǎn)求φ，“五點(diǎn)法”也不錯(cuò).

變式：看函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像變換

變式1：要得到函數(shù)y=2sin + 的圖像，只需將函數(shù)y=2sin - 圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向______單位長度. （ ）

A. 向左平移π

B. 向右平移π

C. 向左平移

D. 向右平移

考點(diǎn)分析：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖平移變換.

錯(cuò)誤解法：由函數(shù)解析式y(tǒng)=2sin + 得y=2sin + =2sin + - ，

所以函數(shù)y=2sin - 圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移 單位長度.

錯(cuò)誤原因：利用畫圖工具畫出函數(shù)圖像，從圖像就容易看出上面的變換是錯(cuò)誤的.

解法1（待定法）：設(shè)f（x）=2sin - ，則f（x+α）=2sin （x+α）- ，0≤α<2π. 由 （x+α）- = + ，解得α=π. 因?yàn)榘押瘮?shù)f（x）圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移π單位長度，就得到函數(shù)f（x+π）的圖像，故本題正確選項(xiàng)為A.

解法2（配湊法）：設(shè)f（x）=2sin - ，由于2sin + =2sin + - =2sin （x+π）- =f（x+π）. 因?yàn)榘押瘮?shù)f（x）圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移π單位長度，就得到函數(shù)f（x+π）的圖像，故本題正確選項(xiàng)為A.

解法3（平移波峰點(diǎn)法）：因?yàn)樵c(diǎn)附近的波峰點(diǎn)平移情況，與函數(shù)整體圖像的平移情況一致.所以，對于函數(shù)y=2sin - ，令 - = ，解得x= ，波峰點(diǎn)A坐標(biāo)為 ，2；對于函數(shù)y=2sin + ，令 + = ，解得x= . 波峰點(diǎn)B坐標(biāo)為 ，2. 觀察兩個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)附近的兩波峰點(diǎn)平移情況，由于從點(diǎn)A ，2平移到點(diǎn)B ，2：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移π單位長度. 故本題正確選項(xiàng)為A.

解法4（排除法）：函數(shù)圖像的變換方向：y=2sin - ？圯y=2sin（ + . 觀察兩個(gè)函數(shù)解析式，不難發(fā)現(xiàn)： - ？圯 + ，向左平移（“負(fù)變正”即“小變大”），故排除選項(xiàng)B、D. 再觀觀察兩個(gè)函數(shù)解析式，不難發(fā)現(xiàn)：從- 到 ，平移 單位長度；而 - 與 + 中x系數(shù)都為 ，所以平移π單位長度，排除C. 故本題的正確選項(xiàng)為A.

思考1：（1）函數(shù)y=2sin + 的圖像如何變換，使得函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱？

（2）函數(shù)y=2sin + 的圖像如何變換，使得函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱？

評注：不管是“待定法”還是“配湊法”，實(shí)質(zhì)上都是研究f（x）與f（x±α）函數(shù)解析式的關(guān)系.設(shè)變換前函數(shù)為y=f（x），變換后函數(shù)為y=f（x±α）.使用“待定法”或“配湊法”，求函數(shù)f（x±α）中α的值.就y=f（x+α）而言，若α>0，則向左平移α單位長度；若α<0，則向右平移α單位長度，而秒殺“函數(shù)圖像左右平移變換”選擇題的方法有：“平移波峰點(diǎn)法”、“排除法”.不管采用哪種方法，“函數(shù)圖像左右平移變換”要特別注意函數(shù)解析式中x的系數(shù).采用“待定法”、“配湊法”、“平移波峰點(diǎn)法”都可以快速求解思考1，參考答案為：（1）縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移 或向右平移 單位長度；（2）縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移 或向右平移 單位長度.

變式2：已知函數(shù)f（x）=2sin + ，則下列說法正確的是

（ ）

A. f（x）的周期為4π

B. f（x）圖像的對稱軸為x=2kπ+ ，k∈Z

C. f（x）圖像的對稱中心為2kπ- ，0，k∈Z？搖

D. f（x）在區(qū)間 ， 上單調(diào)遞增

考點(diǎn)分析：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖像翻折變換，求三角函數(shù)的周期、對稱、單調(diào).

解法：畫出函數(shù)y=2sin + 圖像，在x軸上方的不變，在x軸下方的部分（沿x軸）翻折到上方，就得到函數(shù)f（x）=2sin + 圖像. 觀察圖像容易得出：周期為2π，對稱軸為x=kπ+ ，k∈Z，沒有對稱中心，在區(qū)間 ， 上單調(diào)遞增.

故本題的正確答案為D.

思考2：已知函數(shù)f（x）=2sin + ，則f（x）是否為周期函數(shù)，有沒有對稱軸、對稱中心，f（x）還在區(qū)間 ， 上單調(diào)遞增嗎？

評注：求解三角函數(shù)的周期、對稱、單調(diào)等： 利用“形如f（x）=Asin（ωx+φ）的函數(shù)圖像”進(jìn)行數(shù)形結(jié)合求解.學(xué)生除了熟悉掌握“f（x）=Asin（ωx+φ）”，還要掌握函數(shù)圖像的翻折和對稱變換. 函數(shù)f（x）圖像：翻折變換；函數(shù)f（x）圖像：對稱變換.三角函數(shù)的周期、對稱、單調(diào)等問題，常常利用“形如f（x）=Asin（ωx+φ）的函數(shù)圖像”進(jìn)行數(shù)形結(jié)合求解. 上述選擇題就可以利用“排除法”求解，同學(xué)們自己試試. 利用對稱變換不難得到思考2的圖像，利用數(shù)形結(jié)合就可以求出思考2，參考答案為：f（x）不是周期函數(shù)，沒有對稱中心，對稱軸為y軸，在區(qū)間 ， 上單調(diào)遞增.

變式：看函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像應(yīng)用

變式3：已知f（x）= ，則f（x）的定義域?yàn)開_________.

考點(diǎn)分析：由解三角不等式，求函數(shù)定義域.

解法：由2sin x+ -1≥0，解得sin x+ ≥ .

則2kπ+ ≤ x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得4kπ- ≤x≤4kπ+ ，k∈Z.

故f（x）的定義域?yàn)?kπ- ，4kπ+ ，k∈Z.

評注：求解“形如f（x）=Asin（ωx+φ）”函數(shù)定義，常為求解三角不等式.只要學(xué)生借助函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像，便可以快速解決.上述求解“sin x+ ≥ ”，還可以利用正弦線.

變式4： sin +cos ≥2a-1在區(qū)間[0，2π]上恒成立，則a的取值范圍為________.

考點(diǎn)分析：由解三角最值，求參數(shù)取值范圍.

解法：由于 sin +cos =2sin + ，令f（x）=2sin + ，

sin +cos ≥2a-1在區(qū)間[0，2π]上恒成立，只需f（x）min≥2a-1，x∈[0，2π].

由函數(shù)f（x）圖像，解得f（x）min=- （x∈[0，2π]），則- ≥2a-1，解得a≤ .

故a的取值范圍為-∞， .

評注：三角不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍的問題，常通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問題，只要熟悉掌握三角函數(shù)圖像畫法，問題就簡單了. 而上述題目中，也可以令θ= + ，畫出y=2sinθ在區(qū)間[0，2π]上圖像，從而求解函數(shù)的最值.

變式5：設(shè)常數(shù)a使方程cos2 -sin2 -cos = a在區(qū)間[0，4π]上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，則x1+x2+x3=__________.

考點(diǎn)分析：運(yùn)用三角公式進(jìn)行化簡，求解三角函數(shù)的零點(diǎn).

解法：因?yàn)閏os2 -sin2 -cos =cos -cos1008π+ + =cos +sin = sin + ，所以 sin + = a，即2sin + =a.

求方程cos2 -sin2 -cos = a在區(qū)間[0，4π]上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，只需求函數(shù)y=2sin + 圖像與直線y=a在區(qū)間[0，4π]上恰有三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1，x2，x3. 由圖像易知， = ，x3=4π.

故x1+x2+x3=5π.

評注：初看題目很復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，容易看出，利用三角公式（二倍角公式、誘導(dǎo)公式）化簡方程左邊為2sin + =a，由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖像數(shù)形結(jié)合求解. 可見，求解三角函數(shù)的零點(diǎn)：利用函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖像.

變式6：已知ω>0，函數(shù)f（x）=2sinωx+ 在區(qū)間 ，π上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（ ）

A. ， ？搖？搖？搖？搖 B. ，

C. 0， ？搖？搖？搖 D. （0，2]

考點(diǎn)分析：求解“形為f（x）=Asin（ωx+φ）的含參函數(shù)”的單調(diào)問題.

解法1（利用三角圖像變換求解）：將得到函數(shù)f（x）=2sinωx+ 的圖像，只需把函數(shù)y=2sinx+ 圖像的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)縮短為原來的 （ω>0）. 而函數(shù)y=2sinx+ 在區(qū)間2kπ+ ，2kπ+ （k∈Z）上單調(diào)遞減，則y=2sinωx+ .

在 2kπ+ ？搖， 2kπ+ ？搖（k∈Z）上單調(diào)遞減. 因?yàn)閥=2sinωx+ 在區(qū)間 ，π上單調(diào)遞減，所以 ，π為 2kπ+ ？搖， 2kπ+ （k∈Z）的子集，并且π- ≤ = （ω>0）？圯0<ω≤2，則

2kπ+ ≤ ， 2kπ+ ≥π，0<ω≤2，

解得4k+ ≤ω≤2k+ （k∈Z），0<ω≤2， 則k=0， ≤ω≤ . 因此，ω的取值范圍是 ， .

解法2（利用三角單調(diào)性求解）：令2kπ+ <ωx+ <2kπ+ ，k∈Z，

則 2kπ+

由于π- ≤ = （ω>0）？圯0<ω≤2，則k=0， ≤ω≤ .

故ω的取值范圍是 ， .

解法3（特殊值排除法）：分析各選項(xiàng)容易發(fā)現(xiàn)，只有D選項(xiàng)中2∈（0，2]. 取ω=2，此時(shí)f（x）=2sin2x+ ，不難得到f（x）在區(qū)間 ，π上非單調(diào)遞減，故排除D選項(xiàng)；分析A、B、C各選項(xiàng)容易發(fā)現(xiàn)，只有A選項(xiàng)中1∈ ， ，取ω=1，此時(shí)f（x）=2sinx+ ，不難得到f（x）在區(qū)間 ，π上單調(diào)遞減，排除B、C選項(xiàng). 故本題的正確選項(xiàng)為A.

思考3：已知ω>0，函數(shù)f（x）=2sinωx+ 在區(qū)間 ，π上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是________.

評注：變式6是三角函數(shù)的綜合題目，大部分學(xué)生都不會做.實(shí)際上，求解方法有3種：

利用三角圖像的平移伸縮變換求解、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解、利用“特值排除法”求解.第一種方法是先求函數(shù)y=2sinx+ 單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)圖像平移伸縮變換，求出函數(shù)f（x）=2sinωx+ 單調(diào)區(qū)間，再根據(jù) ，π為其子集列求解；第二種方法是把ωx+ 看成θ，由y=sinθ的單調(diào)區(qū)間，求y=2sinωx+ 的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù) ，π為其子集列求解. 而兩種方法的過程中都出現(xiàn)兩個(gè)參數(shù)ω，k，確定k取值是難點(diǎn)，難點(diǎn)從由π- ≤ 確定ω的取值范圍來突破.不管什么難度系數(shù)的選擇題，特殊值排除法都為非常好的方法. 學(xué)生們只要采用第一或第二種方法，就可以解決思考3，參考答案為：0<ω≤ .

綜上所述，求解三角函數(shù)的周期、對稱、單調(diào)、定義域、最值、零點(diǎn)等，常利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像，故學(xué)生必須多看函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像. 一題多變猶如望遠(yuǎn)鏡，學(xué)生戴上它就能望過“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像變換、應(yīng)用”的一片知識汪洋.