降“奧”十八掌之女媧補天

電磁波

大家好！這里是奧數直播間！感謝大家的準時收看！降“奧”招式是一招比一招厲害，一招比一招實用！想知道這期我們要學習哪一招？自己往下看嘍！

招式剖析

名稱：女媧補天

用途：針對一些看似用已知條件無法求解，但可通過補的方法求解的幾何題。

威力指數：★★★★★

速記口訣：東補西補拓思路，細算角度來拼組！

例1 求右邊這個四邊形的面積。

知己知彼

要求——四邊形的面積。

已知——2條邊的長度和4個內角的大小。

我知道——常規圖形（三角形、正方形等）的面積計算公式。

猜想——∠ABC=90°，∠BCD=45°，那么把線段BA和線段CD延長相交后，原圖形不就被補成一個直角等腰三角形了嗎？

一招制敵

抓住特殊角度把圖形補一補，解題思路會更清楚！

補好圖形后，四邊形面積=大等腰直角三角形面積-小等腰直角三角形面積。

因為EA+AB=BC，所以EA=BC-AB=8-6=2（厘米）。

S△EBC =8×8÷2=32（平方厘米）

為了方便求解△EAD的面積，我們給斜邊EA畫高，交EA于點F。

因為△EAD是等腰直角三角形，所以EF=FA=DF。

于是有：S△EAD=×EA×DF=×2×1=1（平方厘米）

四邊形ABCD面積=S△EBC-S△EAD=32-1=31（平方厘米）

溫馨小提示：補圖方法可不止一種，我們也可以通過延長線段AD和BC構造等腰直角三角形喲！

例2 如圖所示，一個六邊形的6個內角都是120°，其中相鄰四邊的長依次是1厘米、9厘米、9厘米和5厘米。求這個六邊形的周長。

知己知彼

要求——六邊形的周長。

已知——4條邊的長度和所有內角角度。

我知道——周長是封閉圖形一周的長度，六邊形的周長就是六條邊長度之和。

猜想——六邊形6個內角都是120°，那么外角就都是60°，而60°是等邊三角形的內角度數。能不能把原圖補成一個已學過的圖形？

一招制敵

把圖形補成便于進行等邊變換的圖形，未知邊長就能通過已知邊長求解了。

雙向延長線段AB、CD和EF，兩兩相交于點G、H、I。

因為六邊形ABCDEF的每個內角都是120°，所以∠G=∠H=∠I=60°，∠GCB=∠GBC=60°。那么△GHI和△GBC是等邊三角形。

同理，△HAF和△DEI也是等邊三角形。

所以BG=GC=BC=9（厘米），DE=DI=EI=5（厘米），于是有：

GH=HI=GI=GC+CD+DI=9+9+5=23（厘米）

AH=GH-BG-AB=23-9-1=13（厘米）

AF=AH=FH=13（厘米）

EF=HI-EI-FH=23-5-13=5（厘米）

六邊形ABCDEF的周長=AB+AF+EF+DE+CD+BC=1+13+5+5+9+9=42（厘米）

溫馨小提示：除了補成等邊三角形外，我們還能把它補成平行四邊形呢！只要便于我們求解未知量，補成其他圖形也是可以的喲！

小試身手

求陰影部分面積。（提示：從已知長度的邊考慮，試著把圖形補一補） （答案見下期）endprint