一種低速風洞虛擬飛行試驗裝置的建模與仿真

郭林亮, 祝明紅, 傅 澔, 孔 鵬, 鐘誠文

(1. 西北工業大學 航空學院, 陜西 西安 710072; 2. 中國空氣動力研究與發展中心 低速空氣動力研究所, 四川 綿陽 621000)

一種低速風洞虛擬飛行試驗裝置的建模與仿真

郭林亮1,*, 祝明紅2, 傅 澔2, 孔 鵬2, 鐘誠文1

(1. 西北工業大學 航空學院, 陜西 西安 710072; 2. 中國空氣動力研究與發展中心 低速空氣動力研究所, 四川 綿陽 621000)

為實現大角度范圍、多自由度的機動動作模擬，研發一種低速風洞三自由度動態試驗支撐機構，可模擬繞速度矢滾轉機動動作以及失速偏離、尾旋等危險飛行狀態。該機構通過兩自由度轉臺和旋轉曲桿的組合運動模擬飛機模型的三軸姿態變化。基于多體動力學理論，采用拉格朗日乘子法推導出該機構曲桿-飛機模型的動力學數學模型；模型中考慮了機構與試驗模型的約束關系、機構摩擦力矩的影響。仿真結果表明：采用該支撐機構，飛機模型可在水平風洞中實現繞速度矢量滾轉等典型機動動作；曲桿和試驗模型的滾轉運動基本同步；曲桿主要影響速率響應的動態過程，摩擦力矩對速率的動態過程和穩態值有一定影響。以上數學建模和仿真驗證可為風洞試驗提供理論依據。

風洞虛擬飛行；動力學相似；三自由度動態試驗；多體動力學；飛行仿真

0 引 言

目前飛行力學分析和飛行控制系統設計時主要采用線性疊加方法建立氣動力模型，構建氣動力模型的數據主要通過靜態測力試驗和小振幅動導數試驗獲得。在線性迎角范圍內，動導數與迎角、振幅及頻率等關系不大；而在大迎角區域，迎角、振幅及頻率對動導數的非線性影響明顯加大[1]。現有設計流程沒有考慮這些非線性氣動力，因此需要通過原型機飛行試驗對氣動力和飛行控制系統的性能進行驗證。目前獲取動態氣動力的試驗裝置存在一定的局限性：動導數裝置僅能在單個自由度上強迫振動，其幅值小、頻率調節范圍有限；旋轉天平裝置僅能實現繞速度矢作錐形運動。而研究大迎角飛行出現的氣動力問題，如機翼搖滾、橫向偏離、上仰等，就需要把試驗裝置的某些自由度放開來復現某些復雜飛行現象[2]。比如自由搖滾、自由偏航等試驗裝置較好地解決了搖晃、偏離等非線性飛行現象的模擬和研究。大迎角氣動問題具有非線性、縱橫向耦合強等特點，因此為了盡量逼真地模擬飛行器飛行機動動作，新的多自由度試驗裝置的研究一直在進行之中。近年來發展的一些兩自由度裝置模擬了兩自由度耦合振蕩運動、旋轉流場下的振蕩運動狀態[3]，多自由度機動模擬裝置在風洞中實現了對大飛行包線機動動作的模擬和多自由度耦合運動的研究[4-5]。

另外，近年來發展的風洞虛擬飛行試驗技術[6-8]不僅要求多自由度耦合、模型自由轉動、流場環境逼真；還要求在模型上集成飛行控制設備，使模型運動具備實時可控的能力[9-10]。虛擬飛行試驗技術中模型支撐機構設計是其中的關鍵技術之一。支撐機構要求氣動干擾小、摩擦影響小、角度范圍大、模擬更逼真。美國Magill等采用6根張線和球鉸的組合方式支撐BOA導彈進行試驗，結果與飛行試驗結果吻合較好[11-12]。英國Lowenberg等發展了單自由度、兩自由度、三自由度和五自由度等機動試驗裝置[13-15]，開展了支桿-飛機多體動力學建模、非線性氣動力、參數辨識等方面的研究，獲得了試驗裝置的動力學模型描述，以及Hawk模型和M2370模型三軸的靜、動導數數據[16-17]。俄羅斯Sohi采用腹撐三自由度機構在水平風洞研究穩定尾旋性能，與立式風洞試驗結果較為吻合[18]。TsAGI采用背撐三自由度機構開展了機翼搖滾問題的研究，通過H∞控制技術抑制了試驗模型的機翼搖滾現象[19-20]。中國空氣動力研究與發展中心在2.4 m跨聲速風洞采用縱向單吊臂的支撐方式開展了某導彈虛擬飛行試驗，驗證了俯仰/滾轉耦合運動的解耦控制方法[21]。

綜合分析以上動態試驗的支撐方式可以看出，采用直支桿腹撐方式的三自由度裝置迎角模擬范圍、滾轉運動范圍有限，難以滿足大迎角氣動/運動耦合特性的研究。本文提出了一種三自由度裝置，能夠實現大角度范圍的機動動作模擬。針對此支撐裝置，采用拉格朗日乘子法導出該虛擬飛行試驗裝置的動力學數學模型，并進行典型激勵下縱向、橫航向動力學響應以及大迎角混合操縱響應的非線性仿真與分析。

1 試驗裝置

1.1裝置介紹

圖1所示的三自由度虛擬飛行試驗裝置通過置于模型內部的萬向鉸實現飛機模型的俯仰和偏航運動，通過與旋轉曲桿一起轉動實現飛機模型的滾轉運動。旋轉曲桿經過三次預彎，一是為了擴展模型的運動范圍，二是為了減小曲桿慣量對系統的影響。旋轉曲桿與模型腹部連接的部分進行了第三次預彎，其偏斜角即該部分曲桿軸線(圖1中虛線所示的偏航軸)與水平面的夾角為45°，這樣可以減小大迎角狀態下模型的腹部開孔。旋轉曲桿上方設計了具有流線外形的配重，其高度可調節，可使曲桿重心在曲桿的旋轉軸上以保持動平衡。試驗模型的三軸姿態及角速率可以通過機載的航姿參考系統進行測量，迎角、側滑角可利用風洞來流方向不變的特點由三軸姿態推算導出。模型的升降舵、副翼、方向舵等舵面與舵機連接采用平行四邊形傳動方式；平行于舵面轉軸在機身或機翼內部布置舵機轉軸，舵面和舵機轉軸上設計搖臂，通過推桿連接搖臂推動舵面轉動。該裝置能實現接近90°迎角的極限飛行動作模擬，可開展失速偏離、尾旋初始階段和穩定尾旋的研究。該裝置的主要的幾何尺寸見圖2 。

1.2技術分析

飛機的三自由度角運動是快變化過程，相對慢變化的線運動，其與飛行安全的關系更加緊密。現目前立式風洞尾旋試驗、水平風洞自由飛試驗中模型的線位移十分有限，其實質也主要為三自由度角運動。因此，三自由度動態試驗裝置可以捕獲飛機三軸轉動運動的主要特征，以達到開展氣動/運動耦合、多軸運動耦合研究的目的。

采用常規直支桿腹撐或背撐方式實現大角度范圍的運動模擬，需要在模型表面開設較大的孔，這樣將嚴重影響模型的氣動特性。而采取翼型主支桿和預彎曲桿的方式，既大幅減小了對后方流場的干擾，又可以很好控制對模型外形的破壞。當然，由于支撐的存在會對模型的氣動力產生一定的干擾，比如支撐會在模型區誘導一定的上洗氣流，從而對模型Cm0的產生一個平移量等。支架干擾的貢獻量可以通過CFD計算模擬或風洞支架干擾試驗等手段獲取，并在氣動力建模中予以考慮。

繞速度矢橫滾是飛機最基本的機動動作之一。常規腹撐或背撐方式無法實現360°連續滾轉，但利用風洞的氣流方向保持不變的特點，通過一個小巧的曲桿與模型同步滾轉，就可以巧妙地解決繞速度矢旋轉的問題。另外，置于模型內部的萬向鉸可以實現模型迎角、側滑角的連續變化。這樣，在可控的風洞流場環境下就實現了物理意義明晰的三自由度運動。

2 數學模型

2.1前提和假設

風洞試驗時，模型質心位于風洞試驗段中心保持不變，但模型的姿態可繞三軸轉動，因此，在動力學建模時可作如下假設：

(1) 假設飛機模型及試驗裝置均為剛體，不存在變形情況；

(2) 假定曲桿所受氣動力為零，曲桿的旋轉軸平行于風洞來流方向；

(3) 模型的轉動中心為其重心，且模型和曲桿的重心在曲桿的旋轉軸上；

(4) 試驗模型的慣量和旋轉速率較小，可忽略陀螺力矩的影響。

2.2軸系定義

在系統動力學分析時需涉及三種坐標系(如圖3所示)，分別為：

地軸系oxgygzg，簡稱Sg，其ozg沿鉛垂方向向下，oxg在水平面內，并與風洞軸線平行，與來流方向相反，oyg與平面oxgzg垂直，指向右。

模型體軸系oxayaza，簡稱Sa，原點位于模型重心，oxa軸在飛行器對稱平面內，平行于機身軸線或機翼的平均氣動弦線，指向前；oza位于對稱面內，垂直于oxa，指向下；oya垂直于對稱平面，指向右。

曲桿體軸系oxryrzr，簡稱Sr，原點位于曲桿重心，軸系定義與Sa類似。

用φr、θr、ψr分別表示曲桿滾轉角、俯仰角、偏航角，導出Sr與Sg的轉換矩陣Tgr、Trg。

2.3基于絕對坐標方法的動力學方程

2.3.1 絕對坐標

利用絕對坐標方法進行動力學分析，首先假設系統內所有剛體為無約束的自由剛體，以各剛體的質心笛卡爾坐標和繞質心轉動的角度坐標或歐拉參數作為系統的絕對坐標，對各剛體建立無約束的動力學方程，再利用拉格朗日乘子法將其與系統鉸約束方程聯立，構成完整的動力學方程。

系統的絕對坐標為：

剛體基于自身體軸的角速度向量為：

ωi=(piqiri)T,i=r,a

2.3.2 動力學方程的一般形式

確定坐標后，根據拉格朗日乘子法，可以給出受約束的動力學方程一般形式如下[22]：

其中，A是與無約束動力方程有關的系數矩陣，B是該方程組右側向量，Φq為約束方程Φ(q)的Jacobian矩陣，λ為拉格朗日乘子，ζ為加速度約束方程組右側向量。下面將給出該動力學方程的推導過程。

2.3.3 無約束的動力學方程

一般情況下，剛體Ri繞質心轉動的運動方程為如下形式：

式中ωabi為剛體Ri的絕對角速度，其可以表示為：

式中ω0為多體系統零剛體的角速度，系統選定支撐座為零剛體，因此ω0=0，式(5)可簡化為：

將上式代入式(4)后得到：

此處引入反對稱陣的概念：設有向量a=(a1a2a3)T,則a的反對稱陣為：

則式(7)可以整理為：

2.3.4 約束條件

因此，本系統的幾何約束方程組Φ(q)為：

上述約束條件為不顯含時間的定常約束，上式對t求導即可得到速度約束方程：

式中Φq為約束方程Φ(q)對坐標q的雅可比矩陣。

速度約束方程再次對時間求導，得到加速度約束方程：

2.3.5 拉格朗日乘子法

引入3個拉格朗日乘子λ=(λ1λ2λ3)T，將上述約束方程與相同標號的拉格朗日乘子相乘，加入動力學方程中，得到下式：

與加速度約束方程聯立，得到受約束的動力學方程：

2.4力和力矩

2.4.1 氣動力模型

本文基于常規風洞試驗得到的基本氣動力、舵效及動導數等數據建立了如下的氣動力模型，各系數均在體軸系下描述，氣動力模型中支架干擾的貢獻量可通過后續補充風洞試驗獲得。該飛機模型舵面全零狀態下的基本氣動力矩見圖4所示。

(18)

式中V為來流速度，δe、δr、δf、δa分別表示模型升降舵、方向舵、襟翼和副翼角度，各氣動系數按照基本量疊加增量的方式計算。以俯仰力矩系數Cm為例，按照下式進行計算：

Cm=Cmbasic(α,δf)+ΔCmβ(α,β,δf)+ΔCmsup(α,β)+

2.4.2 摩擦力矩計算

式中，σ0為剛性系數，N·m/rad；σ1為阻尼系數，σ2為粘性系數，N·m·s/rad；Z為剛毛平均形變，Ts為靜摩擦力矩，Tc為庫侖摩擦力矩，N·m；參數αf的引入使該模型符合Stribeck效應，單位為s/m；參數νd用以減弱高轉速下剛毛偏轉的影響，并且保證了摩擦力矩模型的鈍性，單位為rad/s。

當系統處于穩態時，dZj/dt=0，此時摩擦力矩模型可以簡化為式(23)。圖5給出了該裝置俯仰運動方向摩擦特性的地面測試結果。

(23)

3 仿真與結果分析

3.1仿真程序

仿真程序在Matlab環境下編寫，采用Nelder-Mead算法在給定初始狀態下配平飛機；導出約束方程的Jacobian矩陣的解析形式，與無約束的動力學方程聯立構成動力學模型，然后采用無違約算法進行求解[25-27]；采用多維線性插值方法獲取氣動力，根據LuGre模型解算摩擦力矩。圖6給出了計算程序的相關模塊和主要流程。

為了分析曲桿、摩擦力矩等因素對飛機模型響應特性的影響規律，選取三種工況進行對比研究，即Ⅰ.僅試驗模型的三自由度運動(無摩擦), Ⅱ.試驗模型和曲桿的三自由度運動(無摩擦), Ⅲ.試驗模型和曲桿的三自由度運動(有摩擦)。通過Ⅰ和Ⅱ的對比，可以獲得曲桿對系統的影響規律；通過Ⅱ和Ⅲ的對比，可以獲得摩擦對系統的影響規律。

3.2算法驗證

Adams是美國MSC公司開發的可用于開展多體動力學仿真的成熟軟件。為驗證前述動力學模型與算法的正確性，利用Adams-Matlab聯合仿真功能進行確認。采用較為常用的斜拉桿操縱進行對比(升降舵-10°，副翼-3°)，兩種方法的對比驗證結果見圖7，圖中Rig為本文算法的結果。不同算法下，縱向響應的一致性很好；橫航向響應基本吻合，曲線形態相似，只是其動態振蕩過程略有差異。總的來說，不同算法的差異可以接受，達到了算法驗證的目的。后文在此基礎上利用本文的方法對試驗裝置進行詳細分析。

3.3典型操縱

為了便于分析，針對縱、橫、航向分別采用典型的階躍信號激勵飛機的動態響應；縱向、橫向及航向的操縱信號分別為1°升降舵階躍、1°副翼階躍和1°方向舵階躍信號。同時給出一組大迎角混合操縱的響應結果，各舵面輸入信號為：在1 s時輸入-30°升降舵階躍，4 s時輸入6°方向舵階躍，12 s時輸入10°副翼階躍。飛機模型的機翼后掠角約30°，其主要參數見表1。仿真初始狀態的主要參數見表2。圖8～圖11給出了相應的動力學響應仿真結果。圖中標注3-DOF為基于飛機模型三自由度轉動方程無桿狀態的仿真結果，Rig為飛機模型在虛擬飛行試驗裝置上的仿真結果，Rig+Friction為在該裝置基礎上增加摩擦力影響的仿真結果。

表1 模型主要參數Table 1 Major parameters of the test model

表2 初始狀態主要參數Table 2 Main initial state parameters

3.4縱向階躍操縱響應分析

升降舵操縱的響應結果如圖8所示，有桿、無桿仿真結果吻合較好。從理論分析，純縱向運動中曲桿不會對俯仰運動的響應產生影響，因此模型與機構均無滾轉、偏航等橫航向運動。

但摩擦力矩對俯仰角、俯仰速率均有一定影響。對俯仰速率的影響主要體現在阻尼作用和死區現象。阻尼作用體現在俯仰速率峰值變小，在第一、二個峰值分別比無摩擦仿真結果減少0.11°/s和0.25°/s；死區現象表現為俯仰速率曲線在第二次過零時(約1.8 s)不再振蕩衰減，而是自此時以后一直為零。與之相應的，俯仰角響應峰值略有減小，并在1.8 s后不再變化，提前0.7s進入穩定狀態，其穩態值與無摩擦狀態相比約有0.02°的微小差量。

3.5橫向階躍操縱響應分析

副翼操縱的響應結果如圖9所示，曲桿使模型滾轉速率、偏航速率響應變慢，速率響應振蕩稍平緩，穩態值差異較小；曲桿帶來模型滾轉角響應差量約0.8°(仿真結束時)。模型側滑角、偏航角響應差異不大。曲桿滾轉角與模型滾轉角的響應基本同步一致，最大差量約0.3°。

摩擦力矩對速率響應的動態過程和穩態值均有一定影響。模型滾轉速率峰值較無摩擦結果小0.4°/s，穩態值存在0.4°/s的差量；偏航速率峰值較無摩擦結果相差約0.13°/s，穩態值差量為0.04°/s。由于模型滾轉角由速率積分決定，有無摩擦兩種狀態滾轉角響應出現明顯的斜率差異，滾轉角最大差量達3.4°；模型偏航角最大相差約0.18°，側滑角穩態值相差約0.05°。

3.6航向階躍操縱響應分析

方向舵操縱的響應結果如圖10所示，三種狀態下總體響應趨勢一致，但也存在一定差異。曲桿使偏航速率振蕩峰值先減小后增加，峰值時間略有推遲，穩態值變化不大；與之對應，曲桿使側滑角、偏航角響應的振蕩幅值也略增大。此種差異主要來自于萬向鉸偏航旋轉軸的偏斜，曲桿慣量的影響次之。

曲桿使模型滾轉速率峰值減小，峰值時間稍推遲，穩態值基本不變；但操縱初始階段響應曲線形態差異明顯。在操縱后0.2 s內無桿狀態下模型先正滾轉后減速變為負滾轉，而有桿狀態下模型直接表現為負滾轉。模型滾轉角響應的差異與速率差異吻合，二者在仿真結束時存在0.26°的差量。另一方面模型滾轉角與曲桿滾轉角在操縱初始時運動趨勢相反，曲桿滾轉角正滾轉最大達0.8°。結合加速度曲線分析發現，曲桿的存在使滾轉運動對應慣量增大，導致滾轉模態時間常數變大，使得滾轉角速率響應變慢，加上萬向鉸偏航旋轉軸偏斜的影響，導致了滾轉速率在1～5 s的較大差異；而萬向鉸偏航旋轉軸的偏斜使偏航運動分解為繞該軸的旋轉和繞速度矢的旋轉，后者造成了曲桿與模型在初始響應時滾轉方向不一致。

摩擦力矩的影響主要表現為阻尼作用，模型的偏航速率和滾轉速率收斂更快，其中偏航速率在3.6～3.8 s時呈現了死區現象，偏航速率穩態值差量約0.04°/s，使偏航角斜率略有差異，在仿真結束10 s時差量約0.3°，側滑角差量約0.05°；滾轉速率穩態值與無摩擦結果存在約0.4°/s的差量，使滾轉角響應的斜率呈現明顯差別，仿真結束時滾轉角相差約3.2°。

3.7大迎角混合操縱響應分析

如圖11所示，輸入升降舵信號后，模型快速抬頭，迎角在1.3 s時達到峰值，其后迅速收斂穩定在28.6°；輸入方向舵信號后，模型4.6 s時達到側滑角峰值后略有收斂但振蕩劇烈，均值在8°左右，同時產生約-49°/s的滾轉速率和-31°/s的偏航速率，模型開始繞速度矢連續滾轉；輸入副翼信號后，滾轉速率和偏航速率繼續負增長，即模型繞速度矢加速滾轉。

與前面小迎角狀態相比，模型的響應特性有所不同。主要體現在：一是縱向和橫航向之間的耦合更為嚴重。操縱方向舵后，模型迎角、俯仰速率出現小幅振蕩，且振蕩形態與側滑角類似；這主要是由于模型隨側滑變大在俯仰方向會產生一定的上仰力矩(見圖4、圖11)。二是典型模態的響應特性和操縱性發生變化。縱向運動方面，小迎角下單位舵偏產生的迎角穩態響應為1.1°，而大迎角狀態下為0.73°，與升降舵效率隨迎角增大而降低的規律吻合。航向運動方面，小迎角下單位舵偏的側滑穩態響應為1.4°，大迎角狀態下為1.2°，量值相當；但大迎角狀態下模型荷蘭滾模態響應特性惡化、振蕩加劇，這是由于隨迎角增大航向穩定性降低、動態阻尼下降所致。橫向運動方面，小迎角下單位舵偏滾轉速率的穩態響應為-8.7°/s，而大迎角狀態下為-5.4°/s，與副翼舵效、滾轉阻尼隨迎角和側滑角增加而顯著降低的規律相符。

大迎角狀態下，機構摩擦對響應結果的穩態值有微小影響，其影響規律與小迎角狀態響應結果一致。從圖中還發現，大迎角狀態下曲桿對模型航向操縱響應的影響明顯增大，其差異仍來自于萬向鉸偏航旋轉軸的偏斜以及曲桿慣量，但與小迎角狀態不同的是，此時曲桿慣量為主要影響因素，偏航旋轉軸的偏斜次之。這是因為：偏航旋轉軸的偏斜主要影響偏航運動，曲桿慣量主要影響滾轉運動，并且隨著模型迎角增大，曲桿慣量對于滾轉運動的影響加大。而在航向操縱響應中偏航運動和滾轉運動又是相互耦合的，最終就導致了側滑響應的明顯差異。目前設計的曲桿慣量約占飛機滾轉慣量的20%，小迎角狀態下差異不大；但在大迎角狀態，側滑響應峰值相差約30%。因此曲桿慣量最好在20%以內甚至更小，以保證試驗模擬的合理性和相似性。

4 結 論

本文基于絕對坐標方法建立了一種虛擬飛行試驗裝置的動力學模型；基于該模型所獲得的典型操縱響應結果趨勢合理，量值正確，表明該動力學模型可從理論上有效指導該類試驗裝置的設計與實現。通過仿真分析得到：

1) 曲桿對試驗模型滾轉角速率響應變慢；對偏航運動的振蕩過程有一定的增強效果，該影響隨模型迎角增大而變大；但曲桿對穩態響應影響不大。因此建議旋轉曲桿應盡量采用輕質材料制作，其慣量最好控制在飛機滾轉慣量的20%以內，以降低對模型操縱響應的影響。

2) 摩擦力矩對短周期、荷蘭滾等模態的動態過程和各特征量的穩態值有一定影響，在低旋轉速度下可能產生死區現象。因此該裝置應采用摩擦貢獻較小的精密軸承，以盡量減小摩擦力矩對模型操縱響應的影響。

本文提出的裝置尚未開展風洞試驗；后續將對現有試驗裝置和模型進行適應性改造，以開展大迎角風洞虛擬飛行試驗進一步驗證數學模型和算法。

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Modelingandsimulationforalowspeedwindtunnelvirtualflighttestrig

GUO Linliang1,*, ZHU Minghong2, FU Hao2, KONG Peng2, ZHONG Chengwen1

(1.SchoolofAeronautics,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China; 2.LowSpeedAerodynamicsInstituteofChinaAerodynamicsResearchandDevelopmentCenter,Mianyang621000,China)

In order to realize the maneuver simulation of large angle and multi-degree-of-freedom, a three degree-of-freedom dynamic test rig, which enables simulation of the velocity vector roll and uncontrolled flight condition such as stall/departure/spin, is developed to solve the aerodynamic/motion coupling issues. The rotational motion of the three axis of the aircraft model is simulated by the combined motion of the 2-DOF gimbal. Based on multi-body dynamics theory, the dynamical equation of the curved rod and aircraft model with terms accounting for friction in the gimbals is obtained with Lagrange multiplier method. The simulation results show that, the rig can provide the ability to realize the velocity vector roll, and the rotation of the curved rod is synchronous with the rolling motion of the aircraft model. The curved rod has an effect on the dynamic response of rotational rates, while the frictional torque makes a difference on both the dynamic response and steady state value of rotational motions. The mathematical model and simulation validation provides a guide for wind tunnel test.

wind tunnel virtual flight test; dynamically similarity; 3-DOF dynamical test; multi-body dynamics; flight simulation

V212.1

A

10.7638/kqdlxxb-2017.0164

0258-1825(2017)05-0708-10

2017-08-11;

2017-09-28

國家重點基礎研究發展計劃資助(2015CB755800)

郭林亮*(1982-)，男，湖北人，博士研究生，研究方向：實驗空氣動力學，飛行動力學與控制. E-mail: guolinliangliang@163.com

郭林亮, 祝明紅, 傅澔, 等. 一種低速風洞虛擬飛行試驗裝置的建模與仿真[J]. 空氣動力學學報, 2017, 35(5): 708-717, 726.

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