一類帶有混合噪聲的非線性隨機時滯系統魯棒L1控制

李艷輝 李星蒴 張永豐

(1.東北石油大學電氣信息工程學院；2.大慶油田有限責任公司第二采油廠規劃設計研究所)

一類帶有混合噪聲的非線性隨機時滯系統魯棒L1控制

李艷輝1李星蒴1張永豐2

(1.東北石油大學電氣信息工程學院；2.大慶油田有限責任公司第二采油廠規劃設計研究所)

針對一類帶有混合噪聲的非線性連續不確定隨機時滯系統，研究了魯棒L1控制器的設計問題。通過構造時滯依賴的Lyapunov函數，利用積分不等式方法，建立系統在均方意義下漸近有界的充分條件，并在此基礎上設計控制器，使閉環系統均方漸近有界且輸出峰值小于給定的L1性能指標γ。基于LMI技術，將魯棒L1控制問題轉化為凸優化問題，并通過一組線性矩陣不等式予以解決。最后，通過數值仿真驗證了所設計控制器的有效性。

隨機時滯系統 混合噪聲 魯棒L1控制器 非線性

持續干擾一直是工業生產中不可避免的一大難題，如化工過程中進口流量的持續波動，輸電系統的耦合干擾及電磁干擾等。持續干擾輕則影響產品質量，重則使系統失穩甚至造成生產事故。對于此類問題，魯棒L1控制作為一種抑制持續干擾的有效方法逐漸成為研究熱點。魯棒L1控制方法的目的在于設計一個控制器，使得系統不僅滿足穩定性能，而且在持續幅值有界干擾下依然能夠獲得峰值-峰值增益的最小上界。由于持續干擾在實際系統中普遍存在，因此魯棒L1控制得到了廣泛的研究和應用[1,2]。文獻[3]提出一類基于T-S模型的網絡控制系統，研究了魯棒L1控制問題，并給出了一種動態輸出反饋控制器的設計方法。文獻[4]基于倒立擺系統給出了一種L1/H∞濾波器的設計方法。但這些成果只是考慮了系統的外界擾動，而忽略了系統內部存在的隨機噪聲現象。

隨機噪聲分為乘性噪聲和加性噪聲。前者一般由信道不理想導致，與系統狀態為乘積關系，即噪聲隨狀態收斂為零而衰減，目前對于這類噪聲的研究較為多見[5,6]；后者一般由系統自身結構不理想(如熱噪聲、散粒噪聲等)導致，與系統狀態呈加性關系，因此該噪聲不依賴于系統狀態而獨立存在。文獻[7]利用Bellman隨機動態規劃法推導了兩類噪聲的LQ最優控制算法，并通過解代數黎卡提方程的方法得出了相應的控制器。文獻[8]基于帶有兩類噪聲的隨機系統設計了干擾觀測器，通過前饋控制方法給出了系統均方漸近有界的充分條件。綜上，在混合兩類噪聲的情況下研究隨機系統的魯棒L1控制問題具有十分重要的意義。

在此，筆者研究了一類非線性不確定隨機時滯系統在混合噪聲情況下的魯棒L1控制問題。通過狀態反饋控制器使閉環系統均方意義下漸近有界，同時滿足魯棒L1性能的干擾抑制水平。最后，用數值仿真驗證結論的有效性。

1 問題描述

考慮如下隨機時滯不確定系統：

(D+ΔD)x(t)ξ1(t)+D1ξ2(t)

(1)

y(t)=Cx(t)

x(t)=φ(t),?t∈[-ρ,0]

其中，x(t)∈Rn為狀態變量，u(t)∈Rm為控制輸入，v(t)∈Rp為干擾輸入，y(t)∈Rq為控制輸出，φ(t)為[-ρ,0]范圍內的初始函數，ξ1(t)、ξ2(t)分別為乘性和加性白噪聲，f(x(t),t)為非線性函數，f(0,t)=0，且滿足：

fT(x(t),t)f(x(t),t)≤cxT(t)x(t)

(2)

[ΔAΔA1ΔDΔB]=GΓ(t)[H1H2HDHB]

(3)

其中，G、H1、H2、HD、HB為已知常數矩陣，Γ(t)為未知時變矩陣，且滿足：

ΓT(t)Γ(t)≤I?t

dx(t)=(A+ΔA)x(t)dt+(A1+ΔA1)x(t-τ(t))dt+(B+ΔB)u(t)dt+Bvv(t)dt+

F0f(x(t),t)dt+(D+ΔD)x(t)dW1+D1dW2

(4)

y(t)=Cx(t)

x(t)=φ(t),?t∈[-ρ,0]

其中，W1(t)和W2(t)為相互獨立的標準維納過程，滿足E[dW(t)]=0,E[d2W(t)]=dt，E[·]為數學期望。

為實現控制目的，筆者設計了如下狀態反饋控制器：

u(t)=Kx(t)

(5)

其中，K為待設計的控制器參數。

考慮上述控制器，構造閉環系統：

dx(t)=(A+BK+ΔA+ΔBK)x(t)dt+(A1+ΔA1)x(t-τ(t))dt+Bvv(t)dt+

F0f(x(t),t)dt+(D+ΔD)x(t)dW1+D1dW2

(6)

y(t)=Cx(t)

x(t)=φ(t),?t∈[-ρ,0]

引理1[8]假設存在函數V(t)、κ∈Kv∈K∞和正數p、β、σ，對于(x(t),t)∈Rn×R+使得：

κ(|x|p)≤V(x,t)V(x,t)≤-σV(x,t)+β

(x(t),t)∈Rn×R+滿足：

則系統是p階均方漸近有界。

引理2[4]設Φ是給定的對稱矩陣，H和G為適當維數矩陣，那么對于所有滿足ΓT(t)Γ(t)≤I的矩陣函數Γ(t)，有下述不等式成立：

Φ+GΓ(t)H+HTΓT(t)GT<0

成立的充要條件是存在一個標量ε>0，使得：

Φ+εGGT+ε-1HTH<0

滿足以上條件的控制器被稱為魯棒L1控制器。

2 L1性能指標分析

定理1 考慮閉環系統(6)，給定標量α>0、β>0、c>0、h>0，若存在正定矩陣P∈Rn×n、Q∈Rn×n、R∈Rn×n和正數ε1∈R，滿足下列線性矩陣不等式：

(7)

αQ-(1-αh)R<0

(8)

(9)

(10)

Ω11=PA+ATP+PBK+KTBTP+PΔA+ΔATP+PΔBK+KTΔBTP+

則閉環系統均方漸近有界且滿足L1擾動抑制水平γ。

證明設P>0、Q>0、R>0，選取Lyapunov-Krasovskii泛函為：

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

V1(t)=xT(t)Px(t)

根據伊藤公式，得：

V≤ηT(t)Φη(t)+Tr[PD1]-xT(s)Rx(s)ds

(11)

ηT(t)=[xT(t) xT(t-τ(t)) vT(t)]

Ω=PA+ATP+PBK+KTBTP+PΔA+ΔATP+PΔBK+KTΔBTP+

進一步變換可得：

V≤ηT(t)Πη(t)+Tr[D1TPD1]-xT(s)Rx(s)ds-αxT(t)Px(t)+αvT(t)v(t)

(12)

存在以下不等式：

考慮式(8)、(12)，則有：

V≤ηT(t)Πη(t)+Tr[PD1]-αV(t)+αvT(t)v(t)

(13)

V≤Tr[PD1]-αV(t)+αvT(t)v(t)

(14)

V≤αvT(t)v(t)-αV(t)+β

(15)

設p=2，κ(|x|p)=λmin(P)|x|2，σ=α，根據引理1，當v(t)=0時，系統為均方漸近有界。

(16)

根據式(9)和Schur補定理可知，m(t)<0，則有：

E{yT(t)y(t)}

(17)

3 魯棒L1控制器設計

在定理1的基礎上，筆者進一步給出了魯棒L1控制器的求解方法，并以線性矩陣不等式的形式給出了其參數化表示形式。

定理2 考慮閉環系統(6)，給定標量α>0、β>0、δ>0、h>0，若存在正定矩陣X∈Rn×n、M∈Rn×n、N∈Rn×n和標量ε1∈R、ε2∈R、ε3∈R使如下不等式成立，則閉環系統(6)為均方漸近有界且滿足干擾抑制水平為γ的L1性能：

(18)

αM-(1-αh)N<0

(19)

(20)

(21)

證明在定理1成立的基礎上，經過分離不確定項和應用Schur補引理，式(7)可等價為：

(22)

對式(22)進行全等變換，左右乘對角陣diag(P-1,P-1,I,I,I,I,I)，定義變量X=P-1，M=P-1QP-1,N=P-1RP-1,Y=KX,δ=c-1,則式(22)可化簡為：

(23)

由此可以得到狀態反饋控制器的參數矩陣K=YX-1。同理，對式(8)、(9)兩邊分別左右乘X、矩陣diag(X,I,I)及其轉置，則定理2得證。

4 數值分析

考慮閉環系統(6)，其相關參數為：

取利普希茨常數c=1，通過對α線性搜索得到參數α=0.4，在非線性函數f(x(t),t)=sin(t)x(t)的基礎上，根據定理2可得干擾抑制度γ=0.9066，則所求控制器為：

u(t)=[-13.1032 -36.6474]x(t)

選取初始狀態x(0)=[-1 2]，設峰值有界的外部干擾v(t)=sin(t)，通過數值仿真分別得到開環和閉環系統的輸出信號y(t)響應曲線如圖1所示。可以看出，開環系統(無控制器)輸出曲線是發散的，而帶有魯棒L1控制器的閉環系統輸出曲線是收斂的，且滿足給定的L1干擾抑制水平，表明筆者設計的控制器是有效的。

圖1 開環/閉環系統的輸出響應曲線

5 結束語

針對一類帶有混合噪聲的非線性隨機時滯系統，通過Lyapunov穩定性理論、LMI技術和積分不等式，研究了該系統的魯棒L1控制問題。所設計的魯棒L1控制器能夠保證所研究系統均方意義下漸近有界，且滿足指定的L1噪聲抑制水平。仿真結果證明，筆者設計的狀態反饋控制器是有效的。

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RobustL1ControllerforNonlinearStochasticTime-delaySystemwithMixedNoises

LI Yan-hui1, LI Xing-shuo1, ZHANG Yong-feng2

TH865

A

1000-3932(2017)07-0619-06

2017-01-13，

2017-05-02)

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國家自然科學基金項目(61673102)；中國高等教育機構博士基金項目(20132322120003)；黑龍江省博士后科學研究發展基金項目(LBH-Q13177)；黑龍江省自然科學基金項目(F201403)；東北石油大學培育基金項目(XN2014112)。

李艷輝(1970-)，教授，從事魯棒控制、濾波和智能控制的研究，LY_hui@hotmail.com。