一種基于最小二乘圓動態特征分析的圓度誤差穩健評估方法①

曹志民 呂秀麗 韓 建 吳 云 宋鴻梅 趙麗華

(1.東北石油大學 a.電子科學學院；b.博士后科研流動站；2.大慶油田博士后科研工作站)

一種基于最小二乘圓動態特征分析的圓度誤差穩健評估方法①

曹志民1,2呂秀麗1a韓 建1a吳 云1a宋鴻梅1a趙麗華1a

(1.東北石油大學 a.電子科學學院；b.博士后科研流動站；2.大慶油田博士后科研工作站)

針對現有圓形工件圓度誤差測量與評估方法大多僅從整圓全局的角度出發，而對局部圓度動態誤差特性關注不足的問題，設計了一種基于局部最小二乘圓參數動態特征的工件圓度高穩健評估方法。首先，通過隨機選取均勻分布的固定數目原始點進行初始圓參數擬合，在初始圓參數約束下對原始數據點進行劃分；接下來，對每一個劃分結合隨機采樣一致性(RANSAC)技術實現局部圓度參數的動態計算；最終在局部圓參數統計特征的支持下實現了局部和全局圓度誤差的評估。實驗結果表明：所提方法能夠穩定有效地實現工件圓度的評估。

圓度 圓形工件 局部誤差 RANSAC 最小二乘

隨著儀器儀表和機械技術的飛速發展，現代自動化儀器儀表和機械產品的工藝復雜度越來越高。關鍵零件的性能對相關產品的性能和壽命至關重要，其中使用最多的基本零件是圓形和圓柱形，因此圓度(圓度形變)測量一直以來都是學術界的研究熱點[1～3]。國際標準化組織ISO/TS針對圓度誤差的表示問題[4,5]給出了4種常用的方法：最小二乘圓(Least Square Circle, LSC)、 最大內接圓(Maximum Inscribed Circle, MIC)、最小周長圓(Minimum Circumscribed Circle, MCC)和最小區域圓(Minimum Zone Circle,MZC)。

這4種方法分別通過構造標準參考圓，并利用實測數據與標準參考圓間峰值或谷值距離給出相應的誤差表示。顯然，4種常用的標準參考圓表示條件的圓度誤差計算都屬于一種全局誤差表示，且這種誤差對噪聲和野值點非常敏感。實際應用中，除了關心工件截面整體圓度外，很多情況下需要對工件局部圓度誤差進行測量和評估，進而可根據分析結果進行工件生產工藝和應用領域的改進、評估。顯然，對于利用局部數據進行圓度評估問題，也需要通過給出類似參考圓的方法來實現，然而，以上4種方法中，只有最小二乘參考圓能夠適應局部數據圓擬合，其他3種方法都無法給出局部數據參考圓的精確估計。而實際應用中，局部圓度偏差等缺陷往往對工件質量有著不可忽略的影響，如外套管件外壓圓筒局部圓度偏差對局部彎曲應力的影響等[6]。針對這一問題，筆者提出了一種基于最小二乘圓動態特征分析的(局部)圓度誤差測量和評估方法。

1 最小二乘圓度測量方法

1.1 最小二乘法原理

數據擬合或參數估計問題一般可以轉化為最小二乘擬合或估計問題[7,8]。最小二乘問題是數學中的一種逼近優化方法[9]。對于具有如下關系的物理模型：

y=f(z;x1,x2,…,xn)

(1)

其中f是一個由參數x1,x2,…,xn定義的期望函數，z為控制變量或數據，y是關于數據z和模型參數x1,x2,…,xn的期望輸出。經過m次測量(m≥n)，可以得到m組觀測數據(zi,yi)(i=1,2, …,m)。由于測量誤差或噪聲的存在，觀測數據(zi,yi)不一定完全滿足期望函數(1)。為此，期望通過調整參數x1,x2,…,xn來實現如下目標函數的最小化：

(2)

式(2)最小化的一個必要條件是▽g(x1,x2,…,xn)=0。根據期望函數的不同，最小二乘問題可分為線性最小二乘和非線性最小二乘問題。對于線性最小二乘問題，有：

f(z;x1,x2,…,xn)=x1zn-1+…+xn-1z+xn

(3)

那么，對應的最小二乘問題的觀測方程為：

(4)

其中，[ε1,ε2,…,εm]T為期望模型的誤差向量。一般的，式(4)為一個超定方程組，寫成矩陣形式為：Ax=b+ε。那么，最小二乘擬合或估計問題最終形式可描述為如下最優化問題:

(5)

在矩陣A滿秩的情況下，參數向量的解析解x=(ATA)-1ATb。

對于非線性最小二乘問題來說，可結合必要

條件▽g(x1,x2,…,xn)=0完成最小二乘問題的求解。

1.2 最小二乘圓

由以上分析可知，最小二乘擬合需要確定期望函數，最終求解相關參數。對于圓擬合，需要通過一系列的數據點坐標(ui,vi)來擬合如下二維圓方程：

(ui-uo)2+(v-vo)2=r2

(6)

f((x,y);xo,yo,r)=x2+y2+xo2+yo2-2xxo-2yyo-r2

(7)

對應的最小化目標函數為：

(8)

令α=r2，最小化目標函數為：

(9)

取g(xo,yo, α)對α的偏導數，有：

(10)

即：

(11)

取g(xo,yo,α)對xo的偏導數,有：

(12)

即：

(13)

同理，取g(xo,yo, α)對yo的偏導數可得：

(14)

式(13)展開后有：

(15)

(16)

同理，有：

(17)

(18)

2 基于最小二乘圓動態特征分析的局部圓度評價

在可能存在野值點和噪聲的情況下，筆者結合隨機采樣一致性(RANdom Sampling and Consensus, RANSAC)技術進行局部圓度擬合，并記錄相應的圓參數，最終利用最小二乘圓擬合方法進行(局部)圓度評價，在給出目標整體圓度評價的基礎上同時給出局部圓度動態變化情況等細節信息。具體的算法步驟如下：

b. 初始化參考圓個數為Nc=0和參考圓參數向量為空集。

c. 利用樣本點關于初始參考圓圓心的角度信息將數據點分為N等份 (N的選擇需要保證每份不能少于k1個點)。

3 實驗結果與分析

為了驗證筆者算法的有效性，采用了兩組典型的圓度測試數據集[10,11]，如圖1所示。

圖1 實驗采用的兩組數據集

對以上兩組數據集分別計算了4種標準參考圓下的圓度誤差和筆者所提算法給出的兩種基于局部最小二乘圓動態特征的圓度誤差，圖2給出了筆者算法得到的局部最小二乘圓參數直方圖，最終實驗結果見表1、2(其中筆者方法給出的圓參數為所有局部最小二乘圓參數的均值)。

圖2 兩組數據局部最小二乘參數直方圖

參數LSCMICMCCMZC筆者方法uc/mm0.02420.0066-0.00570.00540.1451vc/mm0.00770.00280.00770.0079-0.1041r/mm1.43961.01431.9641-1.4812圓度誤差0.96180.05850.96240.9574Epv:2.5575Estew:0.5132

表2 數據集2的圓度誤差測量結果對比

由圖2可知，圓度測量數據的局部確實存在較大變動，需要進行局部圓度的動態參數測量。從表1、2的最終圓度誤差測量結果中可以看到，通過筆者方法進行的圓度誤差測量除了能夠體現局部參數動態變化外，還能很好地給出圓度參數計算和圓度誤差評估。

4 結束語

針對工業生產中復雜環境下圓形工件圓度測量的局部誤差測量需要，通過對測量數據進行局部最小二乘圓擬合并記錄局部擬合圓參數變化情況，設計了基于局部最小二乘圓動態特征的圓度測量和評估方法。通過對不同測量誤差分布特征的測量數據進行的圓度誤差測量實驗，驗證了筆者方法的有效性，為復雜工業生產環境下圓形工件圓度測量和評估提供了一種穩定有效的方法。

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[5] ISO/TS 12181-2,Geometrical Product Specifications (GPS)—Roundness,Part 2:Specification Operators[S].Geneva:ISO, 2003.

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[11] Jywe W Y, Chen C K, Liu C H.The Min-Max Problem for Evaluating the Form Error of a Circle[J].Measurement，1999，26(4)：273～282.

ARobustRoundnessErrorEvaluationMethodBasedonDynamicFeatureAnalysisofLeastSquareCircles

CAO Zhi-min1,2, LV Xiu-li1a, HAN Jian1a, WU Yun1a, SONG Hong-mei1a, ZHAO Li-hua1a

(1a.SchoolofElectronicScience; 1b.StationforPost-doctoralStudiesWork,NortheastPetroleumUniversity; 2.Post-doctoralResearchCenter,DaqingOilfield)

Considering the fact that existing circular workpieces’ roundness error measurement and evaluation mostly starts with a global manner for the measured circle and pay less attention to the dynamic error characteristics of local roundness, a robust roundness evaluation method for circular workpieces based on local least square circle fitting was proposed, in which, having equally-distributed initial points of fixed number selected randomly for parameter fitting and then having all data points divided into several local sections by employing initial entire circle parameters; and then for each local section, having random sampling and consensus (RANSAC) technology adopted to estimate dynamic local circle parameters and finally, having local and entire circle errors evaluated under the support of statistical feature of local circle parameters. Experiential results illustrate that the proposed method can stably perform robust roundness evaluation efficiently of the circular workpiece.

roundness,circular workpiece,local error, RANSAC,least square

國家自然科學基金項目(51374072)。

曹志民(1980-)，講師，從事圖像/視頻信號、石油勘探開發多源信號處理及模式識別等的研究，dahai0464@sina.com。

TH13

A

1000-3932(2017)06-0563-05

2016-11-26，

2017-05-04)