塔式起重機運動慣性力引起貨物擺動特性分析

董明曉，張恩，韓松君，王勝春

（山東建筑大學機電工程學院，山東濟南250101）

塔式起重機運動慣性力引起貨物擺動特性分析

董明曉，張恩，韓松君，王勝春

（山東建筑大學機電工程學院，山東濟南250101）

塔式起重機機構運動容易引起貨物擺動，降低了起重機的工作效率和安全性。通過分析機構運動慣性力引起的貨物擺動特性，可為有效消除塔式起重機貨物擺動提供控制理論和方法。文章根據Lagrange-Euler運動方程，建立塔式起重機動力學模型，推導了慣性力引起的貨物擺動角度、角速度及貨物擺動中心線傾斜角度的計算公式，通過實驗仿真分析其擺動特性，并對機構運動慣性力引起的貨物擺動最大角度進行估算。結果表明：塔式起重機變幅機構和回轉機構運動慣性力使貨物產生空間擺動；貨物運動慣性力、離心力和科氏力的共同作用使擺動中心線發生傾斜，偏離了原來的平衡位置；貨物運動的離心力和科氏力進一步加大了空間擺動的幅值。

塔式起重機；貨物；慣性力；擺動幅值

Abstract：Cargo oscillation，induced bymechanism motions of tower cranes，reduceswork efficiency and safety of cranes.Therefore，it is necessary to analyze the swing performances induced by motion inertial forces of themechanisms to explore the control theories and methods for restraining the cargo oscillation.In this paper，the dynamicalmodels of the tower crane based on Lagrange-Euler equation ofmotion are set up and the oscillation characteristics induced by inertia force of the mechanism movements are analyzed.Then the calculation formula of the swing angle and angular velocity caused by the inertia force are deduced.The expression for calculating the inclination angle of the cargo oscillation centerline is proposed and the formula of the maximum oscillation angle induced by the inertial forces are put forward.The validity of the formula is proven by simulation.The simulation results show that themotion inertia forces of the translationmechanism and the rotation mechanism of the tower cranemake the cargo oscillate in space swing.The centrifugal force and the Coriolis force further increase the oscillation amplitude.The oscillation center line tilts are induced by the common effect of the inertia force，the centrifugal force and the Coriolis force and deviates from the original balance position.

Key words：tower crane；cargo；inertia force；oscillation amplitude

0 引言

起重機具有變幅、回轉和起升運動3種基本工作狀態，每個機構的運動都經歷加速、勻速和減速運動，為了提高工作效率，通常變幅、回轉和起升運動同時進行，這使貨物的運動情況更加復雜——隨著懸掛點移動，貨物做變擺長的空間擺運動，其動力學特性表現為時變的非線性二階振動特性。為了實現貨物的準確定位和擺動控制，通常是將模型進行線性化處理，簡化成平面單擺運動，然后提出消除貨物擺動控制策略［1-3］。這一簡化方法會降低消擺控制策略的實施精度，無法達到預期的控制效果［4-6］。而且沒有對機構運動慣性力引起貨物擺動的最大擺動角度進行估算，實現貨物擺動預測控制的目的［7-9］。更沒有研究貨物慣性力引起的物擺動中心線傾斜角度，實現在貨物運輸過程中通過控制機構運動慣性力控制貨物運動離心力和科氏力達到抑制貨物擺動的目的［10-13］。為了解決上述問題，文章分析了變幅機構、回轉機構和起升機構運動慣性力對貨物擺動的影響規律，研究機構運動對貨物空間擺動中心線的影響規律，并針對塔式起重機在無風的天氣里運輸大密度的貨物，不計空氣阻力和風載荷的情況下，推導出機構運動慣性力引起貨物擺動的最大擺角計算公式，探索有效消除塔式起重機貨物擺動提供控制理論和方法。

1 塔式起重機線性化模型

回轉塔式起重機是通過變幅機構、回轉機構和起升機構的運動達到運輸貨物的目的，根據貨物的運動特性，建立極坐標系，其坐標原點取在起重機回轉中心線與起重機回轉平面的交點處。貨物在小車運動的同時做空間擺動，并且隨著起升機構的運動，擺長不斷變化。根據這一運動特性建立非慣性直角坐標系和非慣性球坐標系，，坐標系的坐標原點取在小車上鋼絲繩的懸掛點處，隨著回轉機構同步回轉，并且隨著變幅機構一起運動，建立的坐標系如圖1所示［14］。

貨物懸掛在小車上，在圖1中將小車簡化為一個質點，小車在坐標系中的位置是ρ和分別為小車的位移和回轉角度，貨物在坐標系中的位置用表示，l為起升機構鋼絲繩長度，φ為起升機構鋼絲繩與平面的夾角，θ為起升機構鋼絲繩在平面上投影與過小車質點鉛垂線的夾角。變幅機構運動的速度和加速度分別為回轉機構運動的角速度和角加速度分別為，起升運動的速度和加速度分別為和，貨物擺動角度為θ和φ。

圖1 回轉塔式起重機坐標系統圖

根據Lagrange-Euler運動方程，在3大運行機構同時運動的情況下，建立塔式起重機非線性動力學模型［14］。由于 GB／T 3811—2008《起重機設計規范》規定，塔式起重機在運輸貨物時貨物的擺動角度不得大于10°［15］，所以確定貨物擺動的平衡位置θe＝0°和φe＝0°，在平衡位置附近將非線性化動力學模型作線性化處理，忽略高階無窮小，得出塔式起重機在3大機構同時運動的情況下線性化動力學模型，由式（1）～（5）表示為

式中：Jm為回轉機構的轉動慣量，kg·m2；M為小車質量，kg；m為貨物質量，kg；bρ為變幅機構運動阻尼系數，N·s／m；bψ為回轉機構運動阻尼系數，N·s／m；bl為起升機構運動阻尼系數，N·s／m；Fρ為變幅機構驅動力，N；Fψ為回轉機構驅動力，N；Fl為起升機構驅動力，N；g為重力加速度，m／s2。

式（1）～（5）是塔式起重機變幅運動、回轉運動、起升運動和貨物擺動的線性化動力學模型，以式（4）為例說明慣性力、離心力和科氏力的大小。將式（4）乘以貨物質量m，就變為貨物擺動的動力學方程，由式（6）表示為

2 慣性力引起的貨物擺動特性分析

2.1 慣性力引起貨物擺動的角度和角速度分析

2.1.1 計算公式

根據式（1）～（5）可知，貨物擺動角度θ（t）和φ（t）主要是由變幅機構和回轉機構運動慣性力引起的，如果變幅機構和回轉機構同時運動，將使貨物產生空間擺運動，并且回轉機構運動的離心力和科氏力加大了空間擺的擺動幅度，使擺動中心線發生傾斜。如果3大機構以最大的加速度進行起、制動，將引起貨物最大的擺動。從式（1）～（5）推導出變幅機構運動慣性力和回轉機構運動慣性力引起的貨物擺動計算公式，由式（7）、（8）表示為

式（7）的通解由式（9）表示為

式中：c1、c2分別為由起重機系統初始狀態決定的待定系數；ωn為貨物擺動的固有頻率l。起重機系統通常情況下初始狀態為0，所以貨物擺動角度和角速度可以由式（10）、（11）表示為

將式（10）、（11）用泰勒級數展開，且忽略高次項，式（10）、（11）化簡成式（12）、（13）表示為

2.1.2 實驗仿真分析

按照z-135塔式起重機以1∶30的比例設計回轉塔式起重機模擬實驗臺［14］，試驗臺參數如下：小車質量M為1.5 kg，貨物質量m為1 kg，變幅機構最大運動加速度 amax為 1 m／s2，額定速度 vmax為0.5 m／s，阻尼系數為 0.1 N·s／m，變幅機構加速運動 0.5 s，勻速運動 9 s，再減速運動 0.5 s；回轉機構轉動慣量 Jm為 5.5 kg·m2，額定回轉速度為0.1 rad／s，回轉機構加速回轉 0.5 s，然后勻速回轉9 s，再減速回轉0.5 s；起升機構額定運動速度為0.2 m／s，起升機構鋼絲繩長度由 0.8 m 提升到0.4 m，再下降到0.8 m。

貨物擺動角度θ（t）和φ（t）如圖2所示。從圖2可以看出變幅機構運動慣性力引起的貨物擺動角度θ（t）變化不大，貨物擺動角度幅值φ（t）隨著變幅機構的運動和回轉幅度的增大而不斷增大。

圖2 貨物擺動角度圖

2.2 貨物擺動中心線的傾斜角度分析

2.2.1 計算公式

隨著變幅機構和回轉機構的運動，貨物開始做空間擺運動，其擺動的中心線開始傾斜。起升運動不影響貨物擺動中心線的位置，但影響貨物自由擺動延續時間的長短。而變幅機構運動加速度和回轉機構運動速度使貨物擺動的中心線發生傾斜，擺動中心線的傾斜角度 θe和 φe分別由式（14）、（15）［14］表示為

式（14）、（15）描述了變幅機構運動和回轉機構運動對貨物擺動中心線的作用規律。變幅機構和回轉機構的運動位移、速度和加速度使貨物擺動中心線發生傾斜，相當于貨物在傾斜的重力場內做空間擺運動，擺動中心線也是貨物空間擺的平衡位置。

2.2.2 實驗仿真分析

對貨物擺動中心線的傾斜角度進行仿真計算，仿真計算參數同圖2的仿真參數。貨物擺動角度中心線 θe（t）和 φe（t）如圖3所示。

圖3 回轉塔式起重機貨物擺動中心線圖

由圖3可以看出，貨物擺動中心線與變幅加速度成近似線性關系，當小車加速運行時，貨物擺動中心線向反方向擺動；當小車勻速運行時，貨物擺動中心線不發生傾斜。貨物擺動中心線 φe（t）與 θe（t）有著相似的關系，只是由于回轉運動離心力的存在使貨物擺動中心線φe（t）不為零，隨著回轉半徑的增加，離心力逐漸加大，φe（t）越來越大，回轉運動離心力對貨物擺動中心線φe（t）影響較大。當變幅機構和回轉機構運動的位移、速度和加速度超過一定值時，不再滿足非線性化處理條件，應求解新的平衡位置，在新的平衡位置附近進行模型線性化處理。

2.3 慣性力引起貨物擺動的最大擺動角度分析

塔式起重機以最短時間起動，在完成起動瞬間貨物擺動角度 θ（t）和角速度滿足即變幅運動引起最大擺速同理，回轉運動引起貨物最大擺速

對于密度大、體積小的貨物，空氣阻力的影響非常小［16］，且GB／T 3811—2008規定，在風力大于6級的天氣里不允許操作起重機［15］。因此，只針對塔式起重機在無風的天氣里運輸大密度的貨物的情況，不計空氣阻力和風載荷，推導慣性力引起貨物擺動的最大擺動角度的估算公式。根據能量守恒定律，估計慣性力引起貨物擺動的最大擺角度公式，由式（16）、（17）表示為

式（16）、（17）揭示了起重機變幅機構和回轉機構的動力學參數對貨物擺動的最大幅值的作用規律。根據式（16）、（17）的推導可以得出：當起升高度和變幅機構運動速度滿足l＜（18vmax）2／（π2g）時，貨物的擺動角度 θ（t）大于 10°。根據 GB／T 3811—2008規定，貨物的擺動角度不得大于10°，因此這將超過起重機操作規程中貨物擺動角度的規定，屬于危險作業，應該停止操作；當起升高度和回轉機構回轉速度滿足時，貨物擺動角度φ（t）大于10°，也超過起重機操作規程中貨物擺動角度的規定。在這種情況下，應該根據式（14）、（15）重新計算貨物擺動的平衡位置，重新推導式（1）～（5），作為起重機系統線性化模型。

3 結論

通過上述研究表明：

（1）塔式起重機變幅機構和回轉機構運動慣性力引起貨物擺動，在小車的勻速運動過程中，在變幅機構運動平面內的貨物擺動角度和角速度變化不大；隨著回轉幅度的增大，在回轉運動切向平面內的擺動角度和角速度逐漸增大。

（2）離心力和科氏力的共同作用使擺動中心線發生傾斜，偏離了原來的平衡位置，線性化模型存在這較大誤差，應重新計算貨物擺動的平衡位置，建立新的起重機線性化模型。

（3）隨著變幅運動和回轉運動的進行，貨物運動的離心力和科氏力逐漸增大，貨物將產生更大幅度的空間擺動，將超出起重機安全操作規程中規定的最大擺動角度，導致起重機操作不安全。

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（學科責編：趙成龍）

Analysis of cargo oscillation caused by inertia force ofmechanism motions for tower cranes

Dong Mingxiao，Zhang En，Han Songjun，et al.
（School of Mechanical and Electrical Engineering，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）

TH213

A

1673-7644（2017）04-0307-04

2017-06-26

國家自然科學基金項目（51475277）；山東省高端外國專家項目（370020121030）；山東省科技發展計劃項目（2013GCG20303）

董明曉（1965-），女，教授，博士，主要從事機電系統運動控制、振動控制等方面的研究.E-mail：mxdong＠sdjzu.edu.cn