零級超越亞純函數的q-差分多項式的值分布

金 瑾

(貴州工程應用技術學院 數學系循環經濟研究院, 貴州 畢節 551700)

零級超越亞純函數的q-差分多項式的值分布

金 瑾

(貴州工程應用技術學院 數學系循環經濟研究院, 貴州 畢節 551700)

利用Nevanlinna的亞純函數的值分布理論,研究零級超越亞純函數的q-微分多項式的值分布理論,討論差分多項式的特征函數和零點,取得一些結果,并且對差分多項式零點的一些經典結果建立差分模擬.

超越亞純函數; 差分多項式; 值分布; Nevanlinna理論

1 主要結果

W. K. Hayman[1]證明了下面的著名定理.

定理1.1[1]設f(z)為超越亞純函數,n為正整數,如果n≥3,則fn(z)f′(z)取每一個非零有窮復數無窮多次.

L. R. Sons[2]證明了以下定理.

定理1.2[2](a) 若f(z)超越亞純函數,并且N1(r,1/f)=S(r,f),令

ψ=fn0(f′)n1…(f(k))nk,

其中n0、n1、n2、…、nk是非負整數,并且k≥1,n0≥1,如果

那么δ(a,ψ)<1,其中a≠0,∞.

(b)f(z)是超越亞純函數,

ψ=fn0(f′)n1…(f(k))nk,

若nk≥1,n0≥2,且

那么δ(a,ψ)<1,其中a≠0,∞.N. Steinmetz[3]進一步減弱了定理1.2的(b)條件,證明了以下定理.

定理1.3[3]若f(z)超越亞純函數,ψ=fn0(f′)n1…(f(k))nk,如果nk≥1,n0≥2,則

其中，c≠0,∞為一常數.

Jiang X. H.等[4]得到如下結論.

定理1.4[4]設f(z)為平面內的超越亞純函數,a為任意非零復數,對任意的正整數m,i0,i1,…,in,λ=i0+i1+…+in,Δ=i0+2i1+…+nin，則當m≥λ+Δ+2時,

wm+awi0(w′)i1(w(2))i1…(w(n))in

可取無窮多個零點.Fang M. L.[5]又研究了f(z)+a(f′(z))n的值分布,得到下面結論.

定理1.5[5]設f(z)為平面內的超越亞純函數,a為非零復數,對任意的正整數n≥2,函數f(z)+a(f′(z))n取每一個有窮復數無窮多次.

張然然等[6]研究了亞純函數的差分多項式

(1)

定理1.6設f(z)是有限級亞純函數,滿足N(r,f)=S(r,f),設H(z,f)形若(1)的差分多項式,其中系數是為f(z)的小函數,且H(z,f)中僅有一個單項式具有最高次數degfH,則

H(z,f)=(degfH)T(z,f)+S(z,f).

在本文中,令

F(z)=f(q0z)i0f(q1z)i1f(q2z)i2…f(qkz)ik,

(2)

其中，k≥1為整數,q1,q2,…,qk為相互不同的非零復常數,i1,i2,…,ik為非負整數,ai(z)為f(z)的小函數.

記i0+i1+…+ik=n=degfH,則有以下定理.

定理1.7設f(z)是零級超越亞純函數,滿足N(r,f)=S(r,f),設F(z)、k、n為(2)式所定義,又設H(z,f)為形如(1)式的差分多項式,系數aλ(z)為f(z)的小函數,且H(z,0)≠0,記H(z,f)中不同σλ,j的個數為m,如果

n>min{mdegfH+2(k+1),

m(degfH+1)+k+1}，

則φ(z)=F(z)+H(z,f)有無窮多個零點,且滿足λ(φ)=σ(φ)=σ(f).

2 引理

對文獻[7]中的推論2.2作變形得到引理2.1.

引理2.1設f(z)是非常數有限級亞純函數,η1、η2是任意復常數,則

引理2.2[8]設f(z)是非常數的零級超越亞純函數,對常數q∈C-{0},則有

應用到文獻[9]的定理2.1,可以得到如下引理.

引理2.3設f(z)是非常數有限級亞純函數,c≠0是任意復常數,則

T(r+|c|,f)=T(r,f)+S(r,f),

N(r+|c|,f)=N(r,f)+S(r,f).

由文獻[10]得到:設f(z)是亞純函數,則對任意的c≠0,當r→∞時,不等式

(1+o(1))T(r-|c|,f)≤

T(r,f(z+c))≤(1+o(1))T(r+|c|,f)

成立.由上述不等關系的證明過程知，上述不等關系對密指量也成立.由引理2.3容易得到下面引理.

引理2.4設f(z)是非常數有限級亞純函數,r是任意復常數,則

T(r,f(z+c))=T(r,f)+S(r,f),

N(r,f(z+c))=N(r,f)+S(r,f),

3 定理的證明

定理1.7的證明令

其中

則差分多項式H*(z,f)中每一個單項式的次數都大于或等于1,且有H(z,f)=H*(z,f)+H(z,0).令

(3)

則

(4)

由(4)式,并注意到F(z)=f(q0z)i0f(q1z)i1f(q2z)i2…f(qkz)ik和i0+i1+…+ik=n=degfH得到

(5)

H(z,0)g(q0z)i0g(q1z)i1g(q2z)i2…g(qkz)ik,

其中

由引理2.1和2.2以及T(r,aλ)=S(r,f),得到

m(r,bλ)=S(r,f),T(r,H(z,0))=S(r,f).

m(r,H(z,0))=S(r,f),

下面證明m(r,Ω)=nm(r,g)+S(r,g).記degfH=d.類似于文獻[9]定理2的方法,將H(z,f)改寫為

(6)

其中

i=1,2,…,d,

(7)

由于H(z,f)的系數aλ(z)是f(z)的小函數,故有

m(r,aλ)≤T(r,aλ)=S(r,f).

因此,由引理2.1知,對i=0,1,2,…,d有

m(r,bi(z))=S(r,f),

(8)

若degfH=d=1時,則H(z,f)=b1(z)f(z)+b0(z),所以有

m(r,H)≤m(r,f)+m(r,b1)+

m(r,b0)+O(1)=m(r,f)+S(r,f).

若degfH=d>1時,則(6)式改寫為

H(z,f)=f(z)(bd(z)fd-1(z)+…+b1(z))+b0(z).

所以有

m(r,H)≤m(r,f)+m(r,(bd(z)fd1-1(z)+…+

b1(z))+b0(z))+S(r,f),

(9)

由(9)式和歸納法知

m(r,H)≤dm(r,f)+S(r,f),

(10)

由H(z,f)中僅有一個單項式具有最高次數degfH=d，故

因此,由T(r,aλ)=S(r,f)和引理2.1得到

(11)

(12)

令E1={θ||f(reiθ)|≥2A(reiθ),0≤θ≤2π},E2是E1的補集,因此當θ∈E1時有

于是,當z=reiθ,θ∈E1時有

|H(z,f)|=|f(z)|d|bd(z)+

從而

dm(r,f)=m(r,fd)=

(13)

由(8)式以及(11)～(13)式得到

dm(r,f)≤m(r,H)+S(r,f),

由上式及(10)式,并注意到degfH=d,得到

m(r,H)=dm(r,f)+S(r,f).

像上述一樣也可得到

m(r,Ω)=nm(r,g)+S(r,g).

(14)

m(r,Ω)=nT(r,f)+S(r,f),

(15)

利用第二基本定理以及(3)式得到

(16)

由(15)和(16)式得到

(17)

S(r,f)=mdN(r,f)+S(r,f).

此外,采用上述(6)～(10)式的方法得到m(r,H)≤dm(r,f)+S(r,f).因此

O(1)≤mdT(r,f)+S(r,f).

(18)

(19)

知,如果z0滿足F(z0)=∞和Ω(z0)+1=0,則H(z0,f(z0))=∞.因此有：

由(19)式又得

(20)

因此由(20)式得

(21)

由引理2.4得到

(22)

(23)

由上式和(18)、(22)和(23)式得到

(n-md-(k+1)-m)T(r,f)≤

(24)

再由(20)和(23)式得

(25)

又由(17)、(23)和(25)式得到

由上式和(18)式又可得

(n-md-2(k+1))T(r,f)≤

(26)

再由假設條件

n≥min{mdegfH+2(k+1),

m(degfH+1)+k+1},

以及(24)和(26)式并注意d=degfH可得

所以φ(z)=F(z)+H(z,f)有無窮多個零點,且滿足λ(φ)≤σ(f),又由引理2.4知

λ(φ)≤σ(φ)≤σ(f),

因此函數φ(z)有無窮多個零點且λ(φ)=σ(φ)=σ(f).

[1] HAYMAN W K. Picardvalue of meromorphic function and their derivatives[J]. Ann Math,1988,84(4):143-160.

[2] SONS L R. Defficiencies of monomials[J]. Math Z,1969,111(1):53-68.

[3] STEINMETZ N. Uber die nullstellens von differential polynomen[J]. Math Z,1981,176(2):255-264.

[4] JIANG X H, GAO L Y. The value distribution of functionwm+awi0(w′)i1…(w(n))in[J]. Pure Appl Math,2007,23(1):17-20.

[5] FANG M L, LAWRENCE Z. The value distribution of functionf(z)+a(f′(z))n[J]. Sci China,2008,A38(3):279-285.

[6] 張然然,陳宗煊. 亞純函數差分多項式的值分布[J]. 中國科學,2012,A42(11)：1115-1130.

[7] HALBURD R G, KORHONEN R J. Difference analogue of the lemma on the logarithmic derivative with applications to difference equations[J]. J Math Anal Appl,2006,314(2):477-487.

[8] BARNETT D C, HALBURD R G, MORGAN R J, et al. Nevanlinna theory for theq-difference operator and merorphic solutions ofq-difference equations[J]. Proc Royal Society of Edinburgh,2007,A137(3)：457-474.

[9] LAINE I, YANG C C. Clunie theorems for difference andq-difference polynomials[J]. J Lond Math Soc,2007,76(3):556-566.

[10] GOL’DBERG A A, OSTROVSKII I V. Distribution of values of meromorphic functions[J]. Math Notes Academy Sci Ussr,1976,19(4):320-323.

[11] 金瑾. 復方程f″+Af=0 的解的零點充滿圓[J]. 數學進展,2007,34(5):609-613.

[12] 金瑾. 一類高階齊次線性微分方程的亞純解與其小函數的復振蕩[J]. 工程數學學報,2014,31(3):399-405.

[13] 金瑾. 高階微分方程解與其小函數的關系[J]. 高校應用數學學報,2013,28(1):43-51.

[14] 金瑾. 關于一類高階齊次線性微分方程解的增長性[J]. 中山大學報(自然科學版),2013,52(1):51-55.

[15] 金瑾,武玲玲,樊藝. 高階非線性微分方程組的亞純允許解[J]. 東北師大學報(自然科學版),2015,47(1):22-25.

[16] 金瑾. 單位圓內高階齊次線性微分方程解與小函數的關系[J]. 應用數學學報,2014,37(4):754-764.

[17] 金瑾，李澤清. 一類高階非性代數微分方程組的非亞純允許解[J]. 應用數學,2014,27(2):292-298.

The Value Distribution ofq-difference Polynomials of Zero Order Transcendental Meromorphic Functions

JIN Jin

(DepartmentofMathematicsResearchInstituteofCircularEconomy,GuizhouUniversityofEngineeringScience,Bijie551700,Guizhou)

In this paper, the value distribution ofq-differential polynomials on zero order meromorphic function is studied by Nevanlinna value distribution theory on meromorphic function. We obtain some results for differential polynomials, and establish difference analogues of some classical result about the zeros of differential polynomials.

transcendental meromorphic function; difference polynomial; value distribution; Nevanlinna theory

2016-01-24

貴州省科學技術基金(2010GZ43286和2012GZ10526)、貴州省教育廳科學技術基金([2015]392)和貴州省畢節市科研基金 ([2011]02)

金 瑾(1962—),男,教授,主要從事復分析研究，E-mail:jinjin62530@163.com

O174.5

A

1001-8395(2017)05-0661-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.017

2010MSC：30D35； 39A10

(編輯 陶志寧)