基于流速冪級數解的明渠縱向離散系數計算方法

張文俊,胡 煜,任華堂,夏建新

(中央民族大學生命與環境科學學院,北京 100081)

基于流速冪級數解的明渠縱向離散系數計算方法

張文俊,胡 煜,任華堂,夏建新

(中央民族大學生命與環境科學學院,北京 100081)

針對縱向離散系數計算多直接采用經驗公式或在流速分布的求解中引入經驗公式,不能完全反映離散物理機制的問題,基于矩形斷面一維水流控制方程,利用冪級數求解流速分布的理論解,提出了矩形斷面明渠縱向離散系數的計算方法,并進一步將其推廣至天然河流。利用該方法計算了104條天然河流的縱向離散系數,結果表明計算值與實測值處于同一量級,計算結果在可接受范圍內。

縱向離散系數;明渠;冪級數;流速分布

近10年來,河流突發水污染惡性事件時有發生,不僅對河流水生生態系統造成嚴重破壞,更為嚴重的是對下游大中城市供水安全造成威脅,如2005年松花江特大突發苯污染事故、2010年福建紫金礦業銅酸水滲漏事故、2012年廣西龍江鎘污染事故等。如何模擬污染物云團在河流中的遷移過程,準確預測污染物到達各取水口時間以及恢復供水時間,是制定污染事故應急預案的基礎。由于斷面流速分布的不均勻性,排放到河流中污染物形成的云團形狀將發生變化,即為河流的縱向離散作用。離散作用的強弱直接決定了污染云團遷移過程,在天然河流污染物預測中,由于計算量小、所需資料少等優點,多采用一維縱向遷移離散方程求解,將流速分布不均勻導致的離散作用概化為離散項,而離散項準確求解主要依賴于縱向離散系數,因此,準確確定縱向離散系數對于精準預測河流突發污染的影響范圍和時間具有重要意義。

天然河流縱向離散系數為河流水環境模型的關鍵參數,一直是環境水力學研究中的熱點問題。1954年Taylor[1]根據圓管試驗基于徑向擴散和縱向離散平衡首先提出了縱向離散系數的概念,Elder[2]將縱向離散系數的計算從圓管拓展到不考慮橫向差異的明渠中,基于垂向擴散和縱向離散的平衡得到離散系數計算公式。對于天然河流,Fischer等[3]指出明渠縱向離散主要是由于縱向流速的橫向分布不均勻引起的,而流速垂向差異的影響可忽略不計,并基于橫向擴散和縱向離散的平衡推導出三重積分形式的縱向離散系數計算公式:

(1)

(2)

在天然河流中,由于流體運動的非線性特性,無法得到流速的分布資料。在離散系數的確定上,除了示蹤試驗[4]方法之外,仍然以經驗公式為主,通過量綱分析等方法將離散系數表示為河流特征參數平均流速、底部摩阻流速、水深、河寬等變量的函數[5],通過對實測數據的擬合分析得到了一系列公式,如Seo等[6]、Kashefipour等[7]、Sahay等[8]的公式,但這些公式物理意義不明確,且主要是用于特定類型的河流,不易推廣。

隨著對河流水動力特性認識的不斷深入,基于合理假定得到流速分布特性,使得利用式(1)計算河流縱向離散系數具備可行性。鄧志強等[9]以拋物型斷面河道為對象,基于謝才公式得到橫斷面流速分布,繼而導出縱向離散系數理論公式;陳永燦等[10]基于最大熵值原理提出確定梯形斷面縱向流速分布的方法,得到梯形斷面明渠縱向離散系數計算公式; Wang 等[11]則通過矩形斷面的水流控制方程,采用傅里葉級數形式表達的流速分布,求解得到縱向離散系數計算公式。

雖然相關方法在計算離散系數中都取得了一定的效果,但是在流速分布求解中均不同程度地引入了經驗公式或數理原理等,而采用流體動力學方程進行流速求解再得到離散系數的公式尚不多見。本文以常見的矩形斷面形態河流為對象,基于恒定均勻流條件下河流控制方程,采用冪級數形式求解得到河流流速分布,將流速分布代入式(1)求解可得矩形斷面河流縱向離散系數值,并將其推廣到天然河流縱向離散系數的計算。

1 縱向離散系數的冪級數求解方法

1.1 矩形斷面流速分布的求解

對于圖1所示的均勻恒定明渠流動,流速分布滿足以下動力學方程:

(3)

(4)

圖1 矩形河流斷面示意圖

令y′=2y/B,對河寬進行歸一化,式(4)化為

(5)

(6)

(7)

當斷面最大流速umax已知時,則系數a0=umax,再代入式(6)和式(7),即可得到不同冪次的系數;當umax未知時,利用岸邊界位置流速為零的條件,得到

(8)

聯立式(6)(7)(8),可以得到不同冪次項的系數。在實際應用求解中,冪級數項數一般可取6～10項,而對于寬深比較大的河流,所取項數則相應增加。

將計算工況設置為H=1.0 m,改變寬深比B/H=10、50、100、150、200,Am=1.0 m2/s,cd=0.001,J=0.000 75,計算結果如圖2所示。由圖可2見,隨寬深比增加,斷面流速更加均勻:當深度一定時,隨著河寬的增加,水流受岸邊摩擦力的影響減弱,流速分布更加趨于均勻,符合水流的運動規律,說明所得到的冪級數解是合理的。

圖2 矩形斷面縱向流速分布

1.2 矩形斷面縱向離散系數計算

(9)

將其代入式(1),可得:

(10)

(11)

其中,三重積分

(12)

2 天然河流縱向離散系數計算

2.1 計算條件

2.2 結果與討論

為分析本文計算方法計算結果的精度,采用對數比偏差KDR、對數平均絕對誤差Me和對數均方根Rms這3個統計指標進行評價,定義如下:

(13)

(14)

(15)

式中:Dlp為本文公式計算值;Dlm為實測值。

對數比偏差反映計算值與實測值的接近程度,當計算值與實測值之比越接近1時,則KDR越接近0,而KDR∈(-0.3,0.3)時,則計算值與實測值比值為0.5～2。對數平均絕對誤差反映出計算值與實測值的整體偏離情況，對數均方根反映計算值與實測值的離散情況，對數平均絕對誤差和對數均方根值越接近于0,說明計算值與實測值越接近,方程預測效果越好。

將本文公式計算值與實測值比較(圖3),可見本文公式計算值較為均勻地分布在實測值兩側,但也存在一定的偏離,這主要是由于本文流速的冪級數解是基于矩形斷面均勻流假定得到的,而天然河流的斷面形式多種多樣,將其統一概化為水面寬度與平均水深的矩形斷面,會出現一定程度的失真,縱向離散系數的計算值和實測值之間存在一定的誤差。

圖3 縱向離散系數計算值與實測值的比較

將本文公式計算值與理論性較強的Wang等[11]、Deng等[13]的公式計算值進行了比較,結果見圖3。由圖3可看出,本文公式計算精度優于Wang等[11]的公式,但和Deng等[13]的公式相比則偏低。這是由于Deng等[13]的公式在離散系數的推導中流速分布由謝才公式計算,而謝才公式基于天然河流大量數據得到,對于自然河流具有更好的適用性。本文的流速冪級數解是基于矩形斷面均勻流條件下的動力學方程得到的,故在將自然河流概化為矩形斷面過程中出現了一定程度的失真。盡管如此,由于流速分布公式的物理意義相較謝才公式更為明確且計算精度總體不低于其他公式,本文計算方法仍然具有一定的意義。

表1 不同縱向離散系數經驗公式對比分析

為進一步分析KDR的誤差與寬深比的關系,圖4給出了不同寬深比下的誤差分布情況。當寬深比較小時,本文公式計算值和Deng等[13]的公式計算值與實測值偏差處在相對合理的區間,而當寬深比大于100時,則所有理論公式計算結果的誤差都會增大。

圖4 對數比偏差與寬深比的關系

本文公式計算值與前人公式的計算值對比分析見表1,本文公式對于104條天然河流計算值的KDR分布在(-1,1)區間的比例為90%,即計算值與實測值基本在一個量級,與其他傳統公式在同一水平;對數平均絕對誤差Me為0.46,即本文公式整體計算值在實測值的0.34～2.8倍之間;對數均方根Rms為0.054,計算結果波動性不大,與各傳統公式計算值誤差相比相差不大,處于居中水平。

3 結 語

基于一維均勻恒定流控制方程,利用冪級數解法得到斷面流速分布表達式,該解法能夠較好地反映流體運動的力學機制,且形式簡單,易于計算,與天然河流流動規律相吻合。通過將流速分布的冪級數解代入Fischer理論公式推導了矩形明渠縱向離散系數計算方法,該方法物理機制明確,可根據精度要求確定求解項數。將該縱向離散系數計算方法推廣到天然河流中,并利用104條天然河流的實測資料進行了驗證,結果顯示計算值和實測值量級一致,能夠反映天然河流的離散特性。

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Computationoflongitudinaldispersioncoefficientinopenchannelsbasedonpowerseriessolutiontovelocitydistribution//

ZHANG Wenjun,HU Yu,REN Huatang,XIA Jianxin

(CollegeofLifeandEnvironmentalSciences,MinzuUniversityofChina,Beijing100081,China)

The longitudinal dispersion coefficient is usually computed directlyby empirical formulas or indirectly through introducing empirical formulas during the solution tovelocity distributions,which cannot fully reflect the physical mechanisms of dispersion.Based on the one-dimensional governing equation of river dynamics, a method to calculate longitudinal dispersion coefficient involving a power series solution to velocity distributionwas proposed.This formulation has been extended to the applications in 104 natural rivers with simplified rectanglecross-sections.The computed values are in the same order of magnitudes with the measured ones, indicating acceptable results.

longitudinal dispersion coefficient; open channel; power series; velocity distributions

國家自然科學基金(51479218)

張文俊(1992—),男,碩士研究生,主要從事環境水力學研究。E-mail:s151093@muc.edu.cn

任華堂(1976—),男,副教授,博士,主要從事環境水力學研究。E-mail:renhuatang@muc.edu.cn

10.3880/j.issn.1006-7647.2017.06.008

TV133

A

1006-7647(2017)06-0044-04

2016-12-11 編輯：熊水斌)