Geogebra軟件在高中物理課堂教學(xué)中的應(yīng)用案例分析
——以簡諧振動(dòng)和機(jī)械波為例

殷正徐 吳 偉

(1. 江蘇省沭陽高級(jí)中學(xué),江蘇 宿遷 223600; 2. 南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院,江蘇 南京 210097)

·現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)·

Geogebra軟件在高中物理課堂教學(xué)中的應(yīng)用案例分析
——以簡諧振動(dòng)和機(jī)械波為例

殷正徐1,2吳 偉2

(1. 江蘇省沭陽高級(jí)中學(xué),江蘇 宿遷 223600; 2. 南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院,江蘇 南京 210097)

Geogebra是一款非常優(yōu)秀的物理教學(xué)多媒體軟件,本文以簡諧運(yùn)動(dòng)和機(jī)械波為例創(chuàng)建4個(gè)Geogebra課件,從原理介紹、操作過程、課件說明和優(yōu)化拓展4個(gè)方面加以闡述,彰顯本軟件功能強(qiáng)大和制作簡單的特點(diǎn).

Geogebra;機(jī)械振動(dòng);機(jī)械波;多媒體;物理教學(xué)

Geogebra是一套結(jié)合幾何、代數(shù)、數(shù)據(jù)表、圖形、統(tǒng)計(jì)和計(jì)算的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件,同時(shí)具有處理代數(shù)與幾何的功能,其功能比大家熟知的幾何畫板更加強(qiáng)大,操作卻更加簡單．Geogebra還具有開源、免費(fèi)和跨平臺(tái)等諸多優(yōu)點(diǎn),現(xiàn)已在世界各地的中小學(xué)課堂上得到越來越廣泛的應(yīng)用．自2001年發(fā)展至今,Geogebra在歐洲及美國獲得過數(shù)十項(xiàng)教育軟件大獎(jiǎng),被翻譯成58種語言,190多個(gè)國家的教學(xué)工作者正在使用,30多個(gè)國家將其寫入教科書．

本文以機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波為例,闡述Geogebra在物理課堂教學(xué)中的應(yīng)用,厘清課件原理,講明操作步驟,詮釋課件優(yōu)點(diǎn),并為進(jìn)一步研究提供思路．

1 簡諧運(yùn)動(dòng)及其圖像

1.1 課件原理

簡諧運(yùn)動(dòng)可以等效為勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)．利用Geogebra很容易實(shí)現(xiàn)一個(gè)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng),作出它在某個(gè)方向的投影(如y軸)即可模擬簡諧運(yùn)動(dòng)．在研究簡諧運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)時(shí),需要記錄其位移隨時(shí)間的變化,利用Geogebra的“追蹤”功能可以實(shí)現(xiàn)此目的．

1.2 課件制作

(1) 單擊“圓(圓心與一點(diǎn))”工具,單擊坐標(biāo)原點(diǎn),移動(dòng)鼠標(biāo)一定距離后再次單擊,可在繪圖區(qū)得到以點(diǎn)A(也是原點(diǎn))為圓心,以AB為半徑的圓c;

(2) 單擊“描點(diǎn)”工具,在圓c上除點(diǎn)B外的其他位置單擊,得到點(diǎn)C,設(shè)置其“速度”為3;

(3) 通過“線段”工具在x軸作線段AG(點(diǎn)G橫坐標(biāo)為6),用“描點(diǎn)”工具單擊線段AG,得到點(diǎn)E,用“垂線”工具作出過點(diǎn)E垂直于x軸的直線g;

(4) 再次利用“垂線”工具,作出過點(diǎn)C垂直于y軸的直線f,再用“交點(diǎn)”工具單擊直線f與點(diǎn)C的交點(diǎn),得到交點(diǎn)為點(diǎn)D,同樣得到直線f和g的交點(diǎn)為點(diǎn)F;

(5) 單擊“按鈕”工具,作出一個(gè)標(biāo)題為“開始運(yùn)動(dòng)”的按鈕,在其Geogebra腳本中寫入“啟動(dòng)動(dòng)畫[C](換行)啟動(dòng)動(dòng)畫[E]”,再制作出一個(gè)標(biāo)題為“停止運(yùn)動(dòng)”的按鈕,在其Geogebra腳本中寫入“啟動(dòng)動(dòng)畫[C,false](換行)啟動(dòng)動(dòng)畫[E,false]”;

(6) 創(chuàng)建標(biāo)題為“振動(dòng)圖像”的按鈕,在其腳本中寫入“跟蹤[F,true]”,用于記錄點(diǎn)F的蹤跡．

1.3 課件說明

單擊代數(shù)區(qū)圓c表達(dá)式前的實(shí)心圓,使之變?yōu)榭招?即可在繪圖區(qū)隱藏圓c,同理,隱藏直線g、h,隱藏點(diǎn)B、C、E和F．單擊“開始運(yùn)動(dòng)”,點(diǎn)D就在平衡位置(點(diǎn)A)兩側(cè)做簡諧運(yùn)動(dòng),單擊“停止運(yùn)動(dòng)”,點(diǎn)D就停止運(yùn)動(dòng),這樣就實(shí)現(xiàn)了模擬簡諧運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)E是直線AG上的一點(diǎn),其運(yùn)動(dòng)代表時(shí)間的變化,(過E點(diǎn)的)直線g上的點(diǎn)F與點(diǎn)D的位移始終相同,故F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)表征簡諧運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間的變化．單擊點(diǎn)E前的空心圓在繪圖區(qū)顯示點(diǎn)E,顯示其他必要的輔助線和點(diǎn),如圖1所示,單擊“振動(dòng)圖像”按鈕追蹤點(diǎn)F,再次單擊“開始運(yùn)動(dòng)”按鈕,可得簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像．

圖1 簡諧運(yùn)動(dòng)及其圖像

獲取位移-時(shí)間圖像是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn),也是教學(xué)難點(diǎn)．課本(人教版新課標(biāo)選修3-4,下同)“簡諧運(yùn)動(dòng)”一節(jié)正文通過頻閃儀拍攝一系列彈簧振子連續(xù)運(yùn)動(dòng)的照片,通過錯(cuò)位平鋪得到位移-時(shí)間圖像;“做一做”欄目是“用數(shù)碼相機(jī)和計(jì)算機(jī)繪制小球運(yùn)動(dòng)的x-t圖像”,與前一做法大同小異．這兩種方法皆繁瑣耗時(shí),對(duì)教學(xué)人員有很高的操作要求,在生成圖像過程中出現(xiàn)較多對(duì)學(xué)習(xí)無效的環(huán)節(jié),浪費(fèi)了寶貴的教學(xué)時(shí)間．而本文Geogebra課件在演示完簡諧運(yùn)動(dòng)后可順勢獲取圖像,并且是動(dòng)態(tài)生成,比起課本更加直觀,圖像意義更加清晰,而操作卻更加方便．

1.4 優(yōu)化拓展

以點(diǎn)D為中心創(chuàng)建小球,小球上端連接豎直彈簧的下端,彈簧上端固定在天花板上,這樣更有情景性,符合學(xué)生認(rèn)知習(xí)慣．為了表現(xiàn)簡諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn),還可以通過添加矢量,動(dòng)態(tài)顯示物體的位移、速度、加速度、受力等,并為這些物理量設(shè)置顯示/隱藏開關(guān),方便根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)整．參考本例,也很容易做出單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的Geogebra課件．

2 用Geogebra觀察聲音的波形

2.1 課件原理

Geogebra有個(gè)“播放聲音”的函數(shù)可以驅(qū)動(dòng)電腦播放聲音,其參數(shù)可以是一個(gè)正弦函數(shù),通過改變正弦函數(shù)的參數(shù)來改變聲音．

2.2 課件制作

(1) 右鍵點(diǎn)擊繪圖區(qū)空白區(qū)域,點(diǎn)擊“繪圖區(qū)……”設(shè)置坐標(biāo)系范圍,設(shè)置x軸最小值為-0.00002和最大值為0.00400,設(shè)置y軸最小值為-2.5和最大值為4;

(2) 點(diǎn)擊“滑動(dòng)條”按鈕,新建兩個(gè)變量A和f表示振幅和頻率,設(shè)置A最小值為1和最大值為3,設(shè)置f的最小值為500和最大值為2000;

(3) 在指令欄輸入:g(x)=Asin(2πfx),會(huì)在代數(shù)區(qū)出現(xiàn)表達(dá)式,在繪圖區(qū)會(huì)出現(xiàn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖像;

(4) 點(diǎn)擊工具欄中“文本”按鈕,先輸入“g(x)=”,然后點(diǎn)擊代數(shù)區(qū)g(x)函數(shù),最后點(diǎn)確認(rèn),得到會(huì)隨A、f變化而變化的動(dòng)態(tài)文本;

(5) 點(diǎn)擊工具欄中“按鈕”工具,在彈出窗口中的標(biāo)題框中填寫“播放聲音”,在Geogebra腳本中填寫“播放聲音[g,1,100]”指令,其中參數(shù)g代表函數(shù)g(x);

(6) 再次點(diǎn)擊“按鈕”工具,參考上文在標(biāo)題框填寫“停止播放”,在腳本中填寫“播放聲音[false]”,單擊該按鈕可以停止所有聲音的播放,如圖2所示．

圖2 用Geogebra播放聲音

2.3 課件說明

單擊“播放聲音”按鈕,播放由函數(shù)g(x)決定的聲音．調(diào)整滑塊A使之逐漸增大,可以看到函數(shù)g(x)的表達(dá)式在變化和波形振幅在增大,可以聽到聲音強(qiáng)度也在增大;調(diào)整滑塊f使之逐漸增大,同樣可以看到函數(shù)g(x)的表達(dá)式在變化,可以看到波形頻率在增大,也可以聽到聲調(diào)在升高.演示結(jié)束,單擊“停止播放”按鈕停止聲音的播放．

第11章第2節(jié)“簡諧運(yùn)動(dòng)的描述”的“做一做”欄目:用計(jì)算機(jī)觀察聲音的波形,筆者覺得其操作繁多且效果不佳,只能聽到音調(diào)不同而不能感受振幅的區(qū)別．此Geogebra課件在改變正弦函數(shù)的振幅和頻率時(shí),可以同時(shí)聽到聲音響度和音調(diào)的變化,給學(xué)生強(qiáng)烈的視聽刺激,創(chuàng)設(shè)形象生動(dòng)的物理情景,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,促進(jìn)學(xué)生對(duì)規(guī)律的理解和掌握．

2.4 優(yōu)化拓展

由音調(diào)可以想到音階,若把物理與音樂結(jié)合起來,該多有意思啊!在設(shè)計(jì)課件時(shí),將頻率變化設(shè)定在264-528Hz范圍,正好對(duì)應(yīng)C調(diào)音階中的中音do到高音do這段頻率．把do、re、mi、fa、sol、la、si、do(高)分別制作成一個(gè)按鈕,依次點(diǎn)擊發(fā)音,Geogebra瞬間變成一個(gè)電子琴.由音階再想到音樂,是否可以應(yīng)用Geogebra演奏音樂呢?當(dāng)然可以,隨即播放學(xué)生熟悉喜愛的《兩只老虎》(用“播放聲音[<音符順序>,<樂器>]”指令),伴隨著音樂想起,物理課堂也成了藝術(shù)殿堂！

3 模擬橫波的形成和傳播

3.1 課件原理

波是振動(dòng)隨著時(shí)間的變化在空間中的傳播,波動(dòng)函數(shù)為y=Asin(ωt-kx),其中含有時(shí)間變量t和空間變量x,Geogebra本身帶有坐標(biāo)系,不用設(shè)定變量x,只需要設(shè)定變量t．如果直接在命令欄輸入波函數(shù)y=Asin(ωt-kx),就會(huì)立即得到一個(gè)無限長的波列,無法表現(xiàn)其形成過程．將波源設(shè)置在坐標(biāo)原點(diǎn),波在沿x軸正向傳播過程中,波的位移Δx從0開始逐漸增大,在[0,Δx]區(qū)間會(huì)出現(xiàn)波形,這就是波的形成過程,是我們需要的圖形．利用Geogebra的IF函數(shù)很容易實(shí)現(xiàn)波動(dòng)函數(shù)的部分顯示,只要在 [0,Δx]區(qū)間設(shè)置為波動(dòng)函數(shù)以表示波動(dòng),而在區(qū)間[Δx,λ](研究一個(gè)波長范圍內(nèi)波的形成與傳播)設(shè)置為0表現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)還未振動(dòng)．

3.2 課件制作

(1) 在指令欄依次輸入“λ=13”和“T=0.5”,設(shè)置描述波的基本物理量,即波長為13和周期為0.5;

(2) 在指令欄依次輸入:ω=2π/T、k=2π/λ和v=λ/T,根據(jù)步驟(1)中的波長和周期,得到波數(shù)、圓頻率和波速;

(3) 點(diǎn)擊“滑動(dòng)條”按鈕,新建時(shí)間變量t,設(shè)置其最小值為0、最大值為0.5,設(shè)置“重復(fù)”為“?遞增(一次)”;

(4) 在指令欄輸入:Δx=vt,表示時(shí)間為t時(shí)波傳播的位移;

(5) 在指令欄輸入:如果[0≤x≤Δx,2sin(ωt-kx), 如果[Δx

(6) 在指令欄輸入:序列[(n,f(n)),n, 0, 13, 1],創(chuàng)建14個(gè)具有代表性的質(zhì)點(diǎn),作為教師授課和學(xué)生觀察的重點(diǎn),感受波的形成過程和傳播特點(diǎn);

(7) 適當(dāng)調(diào)節(jié)x軸和y軸的范圍,達(dá)到較好的視覺效果,可以參考圖3．

圖3 橫波的形成過程

3.3 課件說明

拖動(dòng)時(shí)間參數(shù)滑動(dòng)條使之變?yōu)?,此時(shí)14個(gè)典型質(zhì)點(diǎn)都處于平衡位置即x軸,右擊滑動(dòng)條,單擊“啟動(dòng)動(dòng)畫”命令,可見隨著時(shí)間t的變化,14個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)開始沿x軸依次開始振動(dòng),向遠(yuǎn)處傳播,動(dòng)態(tài)展示了波的形成和傳播過程,以及傳播的特點(diǎn)如“帶動(dòng)性”、“滯后性”等．

3.4 優(yōu)化拓展

優(yōu)化課件時(shí)可以借鑒課本,在振源的左邊畫參考圓,使參考圓上典型質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)與波動(dòng)中典型質(zhì)點(diǎn)一一聯(lián)系起來,體現(xiàn)波傳播過程的時(shí)空順序,更清楚地描繪了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和波的傳播關(guān)系．

4 模擬波的疊加

4.1 原理分析

模擬波的疊加似乎是最復(fù)雜的．設(shè)有兩列波y1=A1sin(ω1t-k1x)和y2=A2sin(ω2t-k2x),疊加以后的波是什么樣的呢?設(shè)疊加后的波為y,在Geogebra的指令欄輸入:y=y1+y2．完成了波的疊加.

4.2 課件制作

(1) 在指令欄分別輸入:A_1=1，ω_1=1，k_1=1,設(shè)定3個(gè)變量用于表示波函數(shù)y1的3個(gè)參量,其中A_1表示A1,“_”后面的內(nèi)容為下標(biāo);

(2) 同(1)為波函數(shù)y2設(shè)定3個(gè)參量:A_2=2，ω_1=2，k_1=0.8;

(3) 單擊“滑動(dòng)條”工具,創(chuàng)建時(shí)間變量t,設(shè)置最小值為0、最大值為10,設(shè)置“重復(fù)”為“?遞增(一次)”;

(4) 在指令欄分別輸入:y_1=A_1sin(ω_1t-k_1x)和y_2=A_2sin(ω_2t-k_2x),創(chuàng)建兩個(gè)波函數(shù)及其對(duì)應(yīng)圖像;

(5) 在指令欄輸入:y=y_1+y_2,創(chuàng)建兩列波疊加后的波;

(6) 選擇“描點(diǎn)”工具,然后在x軸上單擊,在x軸新建一個(gè)點(diǎn)P;

(7) 選擇“垂線”工具,依次單擊點(diǎn)P和x軸,作經(jīng)過點(diǎn)P的x軸的垂線l;

(8) 選擇“交點(diǎn)”工具,依次單擊垂線l與波形y1、y2和y的交點(diǎn),得到依次命名為點(diǎn)M、點(diǎn)N和點(diǎn)Q的3個(gè)交點(diǎn);

(9) 在指令欄依次輸入:y_M=y(M)、y_N=y(N)和y_Q=y(Q),得到3個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo);

(10) 選擇“文本”工具,單擊繪圖欄空白處創(chuàng)建文本,在文本編輯區(qū)輸入:“y(M)=y_M;y(N)=y_N;y(Q)=y_Q”,確認(rèn)后再一個(gè)創(chuàng)建文本,輸入:“?y(M)+y(N)=y(Q)”,最終效果如圖4所示．

圖4 波的疊加

4.3 課件說明

(1) 在繪圖區(qū)隱藏直線l,同理,隱藏點(diǎn)P、3個(gè)交點(diǎn)和兩個(gè)文本框;

(2) 隱藏y2和y,右擊滑動(dòng)條t“啟動(dòng)動(dòng)畫”,觀察波y1單獨(dú)存在時(shí)的傳播情況;

(3) 隱藏y1和y,右擊滑動(dòng)條t“啟動(dòng)動(dòng)畫”,觀察波y2單獨(dú)存在時(shí)的傳播情況;

(4) 使3列波在繪圖區(qū)同時(shí)出現(xiàn),右擊滑動(dòng)條t“啟動(dòng)動(dòng)畫”,觀察波的動(dòng)態(tài)疊加;

(5) 顯示點(diǎn)P、3個(gè)交點(diǎn)和兩個(gè)文本框,右擊滑動(dòng)條t“啟動(dòng)動(dòng)畫”,P點(diǎn)保持不動(dòng),觀察點(diǎn)M、點(diǎn)N和點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)關(guān)系;

(6) 停止動(dòng)畫,拖動(dòng)P點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng),觀察點(diǎn)M、點(diǎn)N和點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)關(guān)系;

(7) 得到結(jié)論:兩列波相遇時(shí)能夠保持各自的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),繼續(xù)傳播,在它們重疊的區(qū)域里,介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與這兩列波引起的振動(dòng),質(zhì)點(diǎn)的位移等于這兩列波單獨(dú)傳播時(shí)的位移的矢量和．

此課件可以分別演示隨著時(shí)間變化和空間變化的情況下波的疊加,也可以演示時(shí)間和空間同時(shí)變化的疊加,進(jìn)而得出兩列波在相遇區(qū)域的振動(dòng)規(guī)律．

4.4 優(yōu)化拓展

可以進(jìn)一步設(shè)定圓頻率、波數(shù)和振幅為變量,通過拖動(dòng)滑桿,得到更一般情況下的疊加規(guī)律．波的干涉和衍射都是波的疊加的表現(xiàn),所以此課件稍作修改就可以用來演示波的干涉和衍射,以及駐波的形成原理等等．為了表現(xiàn)波的干涉的空間性,可以運(yùn)用Geogebra的3D繪圖區(qū),從多角度觀察干涉現(xiàn)象．

從上述4例可見,Geogebra功能強(qiáng)大、應(yīng)用廣泛,且易學(xué)易用,只需簡單幾步操作就能得到非常實(shí)用的課件,這也可以解釋軟件在國外為何如此受到青睞．

1 人民教育出版社,課程教材研究所,物理課程教材開發(fā)中心.物理(選修3-4)[M].3版.北京:人民教育出版社,2014:24.

2 張賽男,周延懷,邵新一.基于Geogebra的輔助物理教學(xué)研究[J].軟件導(dǎo)刊,2012,11(6):199-201.

3 殷正徐,王輝.巧用幾何畫板觀察聲音的波形[J].物理教學(xué)探討,2013,31(3):49,51.

4 International Geogebra Institute.Geogebra幫助與教程[DB/OL].https://www.Geogebra.org/help/

2017-03-15)