作圖法巧解鏡像電荷與零勢能面
——兼談圓的對稱點在鏡像法中的應用

宋輝武 劉 博

(1. 鄂爾多斯市第一中學,內蒙古 鄂爾多斯 017010； 2. 長春師范大學物理學院，吉林 長春 130032)

·復習與考試·

作圖法巧解鏡像電荷與零勢能面
——兼談圓的對稱點在鏡像法中的應用

宋輝武1劉 博2

(1. 鄂爾多斯市第一中學,內蒙古 鄂爾多斯 017010； 2. 長春師范大學物理學院，吉林 長春 130032)

結合數學上關于圓的對稱點的概念,利用幾何作圖的方式處理了和鏡像法有關的典型的電學問題——接地導體球問題,第一,簡潔準確地找到像電荷的位置,并計算其電荷量;第二,作出了兩個不等量異號點電荷的零勢面．

對稱點; 作圖; 像電荷; 零勢面; 阿波羅尼斯圓

1 確定像電荷的位置和電荷量

鏡像法,顧名思議就是鏡子加上像的思想方法,眾所周知,最簡單也最典型的模型就是接地無限大平面導體板附近若有一個點電荷,則導體表面為零勢面,這個零勢面即相當于一個“鏡子”,而關于這個鏡子對稱的地方便可以等效出一個像電荷,此種情況下像電荷到鏡子的距離等于點電荷到鏡子的距離,像電荷的電荷量與點電荷的電荷量等大且電性相反,可以看出像電荷和這個點電荷是關于鏡子對稱的,這是一類問題,常見的另一個典型的問題就是接地導體球的像電荷問題,如下所示.

圖1

例1.如圖1所示,真空中有一半徑為R0的接地導體球,距球心為a(a>R0)處有一點電荷Q(正電荷),求空間各點的電勢．

解析:此題是郭碩鴻教授主編的《電動力學》54頁選取的一個問題,用于講解鏡像法,鏡像法即用一個假想電荷Q′來代替球面上的感應電荷,最后把問題變為求解兩個點電荷在空間各點產生的電勢,對于這個問題,關鍵是如何找到像電荷的位置和像電荷的電荷量．郭教授給出的參考答案如下:

如圖1所示,假設可以用球內一個假想點電荷Q′來代替球面上感應電荷對空間電場的作用,由對稱性,Q′應在OQ連線上,關鍵是能否選擇Q′的大小和位置使得球面上φ=0的條件得到滿足?

考慮球面上任一點M,邊界條件要求:

式中r為Q到M的距離,r′為Q′到M的距離,因此對球面上任一點,應有

由圖1可以看出,只要選Q′的位置使△OQ′M∽△OMQ,即

探究:實際上如果我們懂得了鏡像法的內涵,根本不用進行復雜的計算即可得出像電荷的位置和電荷量．

圖2

下面筆者再介紹一種更簡便的方法準確地找到像電荷的位置,那就是作圖法,為了得出更加具有普遍意義的方法,我們考慮一種比較復雜的情況．假設現在有兩個球形的零勢面,即兩個球形的鏡子,如何找到兩個同時關于這兩個鏡子對稱的點呢?如圖2所示,圓O1和圓O2的半徑分別為R1和R2,圓心在同一條直線上,并且兩個圓心之間的距離為L,下面我們通過作圖的方式找到同時關于這兩個圓對稱的兩點,首先過圓O1和圓O2的切線交兩個圓于點A、B,以|AB|長為直徑作一個圓O,與直線|O1O2|交于點M、N,則M、N兩點既關于圓O1對稱,又關于圓O2對稱,證明如下:

圖中∠O1AB=∠O2BA=∠AMB=∠ANB=90°,

又∠AMO1+∠BMO2=∠O1AN+∠BAN=90°,

根據同弦所對的圓周角相等,可知∠BMO2=∠BAN,

因此∠AMO1=∠O1AN,

因此△O1MA∽△O1AN,即可得R12=|O1M|·|O1N|,

所以M、N兩點關于圓O1對稱;

同理可得R22=|O2N|·|O2M|,

所以M、N兩點也關于圓O2對稱．

圖3

下面我們再回過頭來看例1就會感覺容易很多,此時我們可以將上述的圓O2進行無限壓縮,最后縮小成一個點Q,即變為例1的模型,如圖3所示,首先我們過點電荷Q作圓O的切線QA交圓O于點A,再以|OA|長為直徑作圓O′,與線段OQ交于點Q′,這樣一來我們便輕輕松松地找到了像電荷Q′的位置,并且此時滿足∠OAQ=∠AQ′Q=90°,直角三角形中的射影定理在這里即表示為R02=|OQ′|·|OQ|=b·a．

必須強調的是,對于圖2的問題來說,既然我們已經說M、N是同時關于這兩個圓對稱的兩點,那么是否意味著在M、N兩點的電荷Q、Q′能同時滿足圓O1和圓O2是兩個不同的零勢面?答案是否定的,下面來看證明,

為了方便,我們設|O1M|=b,|O2N|=c,則|O1N|=L-c,|O2M|=L-b,

考慮M、N兩點關于圓O1對稱,則應該有

(1)

考慮M、N兩點關于圓O2對稱,則應該有

(2)

(1)(2)兩式相乘,可得

R1·R2=(L-c)(L-b),

(3)

而實際上根據對稱性,滿足的是以下方程:

R12=b·(L-c),

(4)

R22=c·(L-b),

(5)

若(3)～(5)3個方程同時成立,則應該滿足L=b+c,顯然此時M、N兩點將重合為一點,因此這是不可能的．也就是說如果有兩個點電荷,那么它們的零勢面只能是唯一的,這一點我們通過下面例2的討論也將再一次得到證實．

2 確定兩個不等量異號點電荷的零勢能面

上面講述的問題是已知零勢面即已知鏡子,然后尋找像電荷,下面我們來看一下相反的過程,即已知兩個點電荷尋找零勢面．

圖4

例2.如圖4所示,兩個不等量異號點電荷-q和Q,相距為d,其中q

3 總結

“鏡像法”是大學物理的必修內容,如果我們能夠以數學理論為依據,結合幾何作圖的方式簡單易懂地處理掉這些問題,相信會激起學生的研究熱情,學生會好奇“為什么可以這樣作圖呢?這其中難道有什么更深層次的物理意義?”圖文并茂始終是我們理科學習的一個重要手段,在強調培養學生核心素養的時代背景下,教師如果能夠提出一些具有啟發探究意義的物理問題作為課堂引入,相信會有利于引導學生的深入學習．利用作圖的方法解決物理問題實際上有很多形式,筆者撰寫此文,旨在拋磚引玉．

1 郭碩鴻.電動力學[M].北京:高等教育出版社,2008.6.

2 鄭金.利用阿氏圓巧解物理題[J].物理教師,2017(4)： 64-66.

本文獲吉林省教育學會“十三五”教育科學課題“高中物理與其他學科進行交叉教學的研究”(課題編號:13513148B)資助.

2017-05-12)