基于一道高考題談兩種競賽方法的運用

方 林 許新勝 陶士金

(1. 安徽師范大學(xué)物電學(xué)院,安徽 蕪湖 241000; 2. 安徽省巢湖市第四中學(xué),安徽 巢湖 238000; 3. 合肥市教科院物理教研室,安徽 合肥 230071)

基于一道高考題談兩種競賽方法的運用

方 林1,2許新勝2陶士金3

(1. 安徽師范大學(xué)物電學(xué)院,安徽 蕪湖 241000; 2. 安徽省巢湖市第四中學(xué),安徽 巢湖 238000; 3. 合肥市教科院物理教研室,安徽 合肥 230071)

本文通過對一道高考題的另兩種不同解法(即系統(tǒng)牛頓第二定律、摩擦角圖解法)的歸納總結(jié),以期達(dá)到拓寬對高考及競賽題的解答思路及對其他力學(xué)問題的解答有啟發(fā)作用的效果．

高考; 斜面; 加速度; 彈簧; 摩擦力

圖1

(1) 求物塊處于平衡位置時彈簧的長度;

(2) 選物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點,沿斜面向下為正方向建立坐標(biāo)軸,用x表示物塊相對于平衡位置的位移,證明物塊做簡諧運動;

(3) 求彈簧的最大伸長量;

(4) 為使斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài),動摩擦因數(shù)μ應(yīng)滿足什么條件(假設(shè)滑動摩擦力等于最大靜摩擦力)?

由于本題主要難點在第(4)問,限于篇幅,我們略去前3問,重點剖析第(4)問的思路,給出另兩種解法．

另解1(系統(tǒng)牛頓第二定律):

中學(xué)階段運用牛頓第二定律解題時,研究對象往往選取單個物體或保持相對靜止的幾個物體所組成的整體．實際上,牛頓第二定律對幾個有相對運動的物體所組成的系統(tǒng)(即質(zhì)點組)也適用．系統(tǒng)牛頓第二定律的表達(dá)式為F外=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan,即系統(tǒng)受到的合外力等于系統(tǒng)內(nèi)各物體的質(zhì)量與其加速度乘積的矢量和.該式為矢量方程，可以在某一方向上列出分量式.

下面運用這種方法來處理第(4)小問．

根據(jù)物塊實際運動特點,按物塊的加速度沿斜面向下和向上兩種情形分別進(jìn)行討論．

圖2

如圖2所示,當(dāng)物塊的加速度方向沿斜面體向下時,設(shè)物塊運動時的加速度為a,可將其分解為水平向左的加速度ax和豎直向下的加速度ay,

則對系統(tǒng),根據(jù)牛頓第二定律,

水平方向有f=max+M·0=macosα；

豎直方向有Mg+mg-FN=may+M·0=masinα.

而要使斜面體保持不動,需滿足f≤fm=μFN,即μ(Mg+mg-may)≥max.

物塊沿斜面體運動的加速度的最大值

圖3

如圖3所示,當(dāng)物塊的加速度方向沿斜面體向上時,設(shè)此時的加速度為a′,現(xiàn)將其分解為水平向右的加速度ax′和豎直向上的加速度ay′,

則對系統(tǒng),根據(jù)牛頓第二定律,

水平方向有f′=max′+M·0=ma′cosα

豎直方向有FN′-Mg+mg=may′+M·0=ma′sinα.

而要使斜面體保持不動,需滿足f′≤fm′=μFN′,即μ(Mg+mg+may′)≥max′.

綜合以上分析可知

說明:運用系統(tǒng)牛頓第二定律來分析該問,打破了常規(guī)思路,巧妙地將有相對滑動的兩個物體當(dāng)成整體來研究,接著分別在水平和豎直方向?qū)ο到y(tǒng)列出牛頓第二定律求解,這樣就避開了用隔離法分析時所必需的物體間繁雜的受力分析．由此可見,當(dāng)物體間受力較多或受力不清晰(如摩擦力方向不確定)時可以選系統(tǒng)作為研究對象來簡化問題．

另解2(摩擦角):

圖4

因靜摩擦力0

本題第(4)問,也可以采用摩擦角知識結(jié)合圖像法來分析．

下面按彈簧為壓縮(圖5)和拉伸(圖6)兩種情況分析第(4)問,分別作出斜面體的受力分析示意圖如圖5和圖6,其中N為物塊沿斜面運動時對斜面體的壓力(為恒力),T為彈簧對斜面的作用力,R為地面施加于斜面的摩擦力f與支持力FN的合力,即全反力．對比分析圖5和圖6,不難發(fā)現(xiàn),彈簧彈力越大,摩擦角φ(或φ′)就越大．

圖5

圖6

當(dāng)彈簧被壓縮時,根據(jù)平衡條件,對斜面,在豎直方向有Mg+Ncosα=Rcosφ+Tsinα,

水平方向有Rsinφ=Nsinα+Tcosα，

再隔離m,

沿斜面方向,由牛頓第二定律得

T+mgsinα=ma,

垂直斜面方向,由平衡條件得

N=mgcosα,

由題意,為使斜面始終處于靜止?fàn)顟B(tài),應(yīng)滿足f≤fm=μFN.

故動摩擦因數(shù)μ應(yīng)滿足μ≥tanφm.

彈簧拉伸時,根據(jù)平衡條件

對斜面,豎直方向有

Mg+Ncosα+T′sinα=Rcosφ′,

水平方向有

T′cosα=Nsinα+Rsinφ′，

再隔離m,

沿斜面方向,由牛頓第二定律得

T′-mgsinα=ma,

垂直斜面方向,由平衡條件得N=mgcosα,故

由上述分析可知,為使斜面始終處于靜止?fàn)顟B(tài),動摩擦因數(shù)μ應(yīng)滿足μ≥tanφm′.

綜上,因tanφm>tanφm′,故

說明:在高中物理自主招生及競賽時常會遇到相關(guān)摩擦的靜力學(xué)問題,這類題的計算量往往比較大,相比常規(guī)思路而言(整體法、隔離法解題),運用摩擦角和全反力知識解題,將會有更大優(yōu)勢．

綜上,對比兩種不同方法,我們不難發(fā)現(xiàn):系統(tǒng)牛頓第二定律的研究對象是物塊和斜面體(含彈簧)組成的整體,這樣就不用考慮物塊和斜面體間的相互作用力(內(nèi)力),只需考慮系統(tǒng)所受外力來分析問題了．而摩擦角法的研究對象是斜面體,雖然是用隔離法分析問題,但通過全反力的等效替代,減少了斜面體受力的個數(shù),再作出斜面體的受力分析圖(常見的為三角形,本題為多邊形),就可以直觀地找到臨界狀態(tài),進(jìn)而迅速求出對應(yīng)受力的極值．

1 方林. 2014年安徽高考壓軸題的三種不同解法[J].物理教學(xué)，2015(3):69-70.

2 方林.推陳出新,能力提升——對2013年安徽高考理綜卷第20題的評析[J].物理教師，2013(12):73-74.

2017-04-12)