基于兩參數偏斜正Logistic失效分布的可靠性統計分析

李 爭，徐曉嶺

(上海對外經貿大學 統計與信息學院， 上海 201620)

【基礎理論與應用研究】

基于兩參數偏斜正Logistic失效分布的可靠性統計分析

李 爭，徐曉嶺

(上海對外經貿大學 統計與信息學院， 上海 201620)

提出了一種新的壽命分布——兩參數偏斜正Logistic失效分布，研究了其概率密度函數、失效率函數的圖像特征；給出了k階矩的表達式和參數的極大似然估計，運用bootstrap方法得到了參數的區間估計；通過模擬算例說明本方法的可行性。

兩參數偏斜正Logistic失效分布；概率密度函數；失效率函數；極大似然估計；Monte-Carlo模擬

兩參數Logistic分布在眾多場合有著重要的應用，例如生長發育、繁殖、動態率、劑量反應率、人口數量、測量、產品可靠性等等。設連續型隨機變量Y服從兩參數Logistic分布，記為Y～Logistic(μ,β)，其分布函數FY(y)和密度函數fY(y)分別為

y,μ∈(-∞,+∞),β>0

其中，μ稱為位置參數，β稱為刻度參數。

特別地，若μ=0，此時稱Y服從單參數Logisic分布Logistic(0,β)；若μ=0,β=1，此時稱Y服從標準Logistic分布Logistic(0,1)。

在文獻[1]詳細闡述了關于Logistic分布的理論研究與應用成果，文獻[2]在全樣本場合下利用兩參數Logistic分布樣本的樣本均值及樣本方差，建立了Logistic分布位置參數與刻度參數的漸近正態估計量，得到給定置信水平1-α下兩個參數的漸近置信區間估計。

文獻[3]提出一類非對稱偏斜分布，即兩參數偏斜Logistic分布，其概率密度函數為

y,λ∈(-∞,+∞),β>0

其參數λ體現分布的偏斜程度。文獻[4-6]研究了兩參數偏斜Logistic分布的一些性質。

觀察上述的偏斜分布，由于其隨機變量的取值范圍是(-∞,+∞)，所以無法用來擬合產品的失效分布。本文提出了一種新的壽命分布——兩參數偏斜正Logistic的失效分布，研究了其概率密度函數、失效率函數的圖像特征。給出了其k階矩的表達式和參數的極大似然估計，運用bootstrap方法得到了參數的區間估計。最后通過模擬算例說明本文方法的可行性。

1 兩參數偏斜正Logistic失效分布及其性質

設非負連續型隨機變量X的概率密度函數為

x∈[0,+∞),λ∈(-∞,+∞),β>0

定理1：如果隨機變量X服從兩參數偏斜正Logistic失效分布PL(λ,β)，f(x)為隨機變量X的概率密度函數，則有：當λ≤0時，f(x)在定義域[0,+∞)上單調遞減；當λ>0時，f(x)在定義域[0,+∞)上先增后減，圖像呈“倒浴盆”形。

當λ=0時，h(x)=-2(ex-1)<0，有f′(x)<0，則f(x)單調遞減；當λ<0時，h(x)的值始終小于λ等于0時的h(x)的值，從而f′(x)<0，則f(x)單調遞減。因而，當λ≤0時，f(x)單調遞減。當λ>0時，令y=ex，此時有：

h(y)=yλ+λy-y-yλ+1+λ+1

y∈[1,+∞),λ∈(0,+∞)

h′(y)=λ-1-[(λ+1)yλ-λyλ-1]

令φ(y)=(λ+1)yλ-λyλ-1，y≥1，λ>0。則φ′(y)=λ(λ+1)yλ-1-λ(λ-1)yλ-2>0，φ(y)單調遞增，且φ(y)≥1。

1) 當0<λ<2時，存在唯一的一點η1使得h(η1)=0，而且當y∈[1,η1)時，h(y)>0，即x∈[0,lnη1)時，f′(x)>0，則f(x)在x∈[0,lnη1)上是單調遞增的；當y∈[η1,+∞)時，h(y)<0，即x∈[lnη1,+∞)時，f′(x)<0，則f(x)在x∈[lnη1,+∞)上是單調遞減的；

2) 當λ>2時，h(y)先增后減，存在唯一的一點η2使得h(η2)=0，而且當y∈[1,η2)時，h(y)>0，即x∈[0,lnη2)時，f′(x)>0，則f(x)在x∈[0,lnη2)上是單調遞增的；當y∈[η2,+∞)時，h(y)<0，即x∈[lnη2,+∞)時，f′(x)<0，則f(x)在x∈[lnη2,+∞)上是單調遞減的。

綜合上述情況，當λ>0時，f(x)是一個先增后減的函數。

定理2： 如果非負連續型隨機變量X服從兩參數偏斜正Logistic失效分布PL(λ,β)，則失效率函數γ(x)單調遞增。

證明：易見

大學士的官銜通常分為兩部分：學士銜和尚書、侍郎銜。這兩個官銜的連接用“兼”字。例如仁宗即位那年的8月，楊士奇為禮部左侍郎兼華蓋殿大學士，似乎他兼有兩職。實際上，大學士兼領的尚書、侍郎是虛職。如果要處理部務，應加“掌”“判”等差遣用詞。

由引理1可知，失效率函數γ(x)單調遞增。

證明：

將f(x)泰勒展開得：

2 參數的點估計與區間估計

設X1,X2,…,Xn是來知兩參數偏斜正Logistic失效分布PL(λ,β)的樣本量為n的簡單隨機樣本，其觀察值記為x1,x2,…,xn。

似然函數為

對數似然函數為

對數似然函數lnL(λ,β)分別對λ和β求偏導數并化簡得如下方程組：

表1 極大似然估計的1 000次模擬結果

取樣本容量n=15(5)25，參數真值取λ=0.5(0.5)1.5,β=1，通過10 000次Monte-Carlo模擬結合bootstrap方法得到λ和β的區間估計，結果如表2所示(顯著性水平取10%)，從中可以看出，隨著樣本容量的增大，參數的區間估計范圍不斷縮小。

3 模擬算例

例1：取樣本容量n=20，參數真值取α=1.5,β=1，通過Monte-Carlo模擬產生服從兩參數偏斜正Logistic失效分布PL(1.5,1)的隨機數如下：

1.895 2， 0.379 4， 2.050 0， 0.321 7， 0.340 8， 1.741 1，

0.871 2， 1.786 5， 2.165 1， 1.554 6， 2.124 4， 0.639 8，

2.102 1， 4.419 7， 2.861 5， 0.256 1， 0.964 7， 0.971 6，

1.900 2， 1.600 7

例2：取樣本容量n=20，參數真值取α=1,β=1，通過Monte-Carlo模擬產生服從兩參數偏斜正Logistic失效分布PL(1,1)的隨機數如下：

0.281 0， 2.648 5， 0.199 4， 0.424 7， 0.953 9， 1.538 4，

0.515 0， 1.511 1， 2.499 6， 3.654 5， 2.312 6， 2.013 4，

1.182 2， 1.517 1， 0.572 2， 1.837 0， 0.288 1， 2.422 1，

2.564 7， 0.482 8

例3：取樣本容量n=20，參數真值取α=0.5,β=1，通過Monte-Carlo模擬產生服從兩參數偏斜正Logistic失效分布PL(0.5,1)的隨機數如下：

3.295 3， 3.393 2， 0.420 9， 2.918 3， 0.230 2， 1.418 3，

0.734 9， 0.897 7， 0.419 8， 3.428 8， 3.328 6， 1.131 7，

1.209 5， 2.958 7， 0.402 2， 1.436 4， 0.347 4， 2.476 7，

0.895 3， 0.705 2

表2 Monte-Carlo模擬的區間估計

4 結論

本文通過非對稱偏斜分布(兩參數偏斜Logistic分布)構造出了一種新的壽命分布——兩參數偏斜正Logistic失效分布，記為X～PL(λ,β)。

本文證明了該壽命分布的失效率函數γ(x)單調遞增。在參數λ≤0場合，其密度函數f(x)單調遞減，而在λ>0場合，其密度函數f(x)呈“倒浴盆”形。同時也證明了該壽命分布矩的存在性。

在全樣本場合，本文給出了求參數λ和β的極大似然估計方法，并通過Monte-Carlo模擬考察了點估計的精度，利用Monte-Carlo模擬結合bootstrap方法得到參數λ和β的區間估計，通過模擬算例說明本文方法的應用。

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ReliabilityStatisticalAnalysisBasedonTwo-ParameterSkewPositiveLogisticFailureDistribution

LI Zheng, XU Xiaoling

(School of Statistics and Information, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai 201620， China)

A new lifetime distribution called two-parameter skew positive Logistic failure distribution was proposed. And the image characteristics of density function and failure rate function were investigated. Then, the expression of thek-order moment and maximum likelihood estimation of the distribution were studied. The feasibility of method in the paper was confirmed by some simulation examples.

two-parameter skew positive Logistic distribution; stock return; risk function; maximum likelihood estimation; Monte-Carlo simulation

2017-06-07；

2017-07-19

國家自然科學基金項目(11671264)；上海對外經貿大學2017年研究生科研創新項目

李爭(1992—)，男，碩士研究生，主要從事應用統計研究。

10.11809/scbgxb2017.10.037

本文引用格式：李爭，徐曉嶺.基于兩參數偏斜正Logistic失效分布的可靠性統計分析[J].兵器裝備工程學報，2017(10):181-184.

formatLI Zheng, XU Xiaoling.Reliability Statistical Analysis Based on Two-Parameter Skew Positive Logistic Failure Distribution[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(10):181-184.

O213

A

2096-2304(2017)10-0181-04

(責任編輯唐定國)