“圓”來是如此

李海洋

摘 要：素質教育下的數(shù)學教學，強調學生的主體性地位，提倡“經(jīng)歷”數(shù)學，獲得數(shù)學的“經(jīng)驗”。相對于傳統(tǒng)的填充式教學，現(xiàn)代教育的中考數(shù)學方向，突出數(shù)學知識作為一種“經(jīng)驗型模型”的技能應用，激發(fā)學生的創(chuàng)新性思路，培優(yōu)學生的發(fā)散性思維。植根于課本，基礎的幾何模型建構成為“壓軸題”的解決關鍵，借助于現(xiàn)代多媒體技術的“翅膀”，高屋建瓴，化繁為簡。

關鍵詞：中考數(shù)學 創(chuàng)新培優(yōu) 模型建構

“圓”的知識點作為中考必考內(nèi)容，往往令考生產(chǎn)生“難題”、“怪題”的解題心理陰影。其實歸根到底是圓的知識點掌握僅僅停留于課本所給的基本知識點的“表象”，缺乏依賴于課本，深挖課本中圓的知識點，系統(tǒng)化建構圓的基本幾何模型。近些年中考“淡化”了一些與圓相關的性質定理，如“切線長定理”、“切割線定理”、“弦切角”等。新課程標準的實施理念指出數(shù)學教學要兼顧基礎性和創(chuàng)新性。深入鉆研歷年中考數(shù)學試卷以及參與專業(yè)培訓后發(fā)現(xiàn)，數(shù)學選題的分層，以創(chuàng)新培優(yōu)為導向，注重素質化教育教學的同時，培養(yǎng)學生的發(fā)散創(chuàng)新思維， “淡化”轉變成一種更高層次的創(chuàng)新思維的要求，對教師的教育教學和學生的學習指明了方向。

由一道簡約而不簡單的題感受數(shù)學模型的巧妙。

觀察圖（1），關聯(lián)等腰直角三角形其邊角性質，深挖教材。人教版數(shù)學教材八年級上第十二章，提到了三種全等的模型“平移”、“翻折”、“旋轉”。結合等腰直角三角形解題的常用技巧，構造三角形“旋轉”。如圖（2）， 將△OBC順時針旋轉90°至△ABO'處，由“旋轉即全等”易知OC=AO'，△OO'B也是等腰Rt△，由A點運動路線和AO O'邊的性質可知OA+O'A≥OO'，即O'A≥OO'-OA=-3。似乎圓成了一種擺設。果真如此嗎？ 題目演變?nèi)缦拢喝鐖D（3），

從圓的知識入手，半圓（直徑）所對的圓周角是直角，嘗試構造Rt△ABD，此時△ACD中，定角∠ACD=120°，定長AD=2R=6，“定角定弦定圓”模型得以應用。簡解：輔助線如圖（4），∠ACD=120°，圓O'中優(yōu)弧的度數(shù)240°，從而有∠A O'O=60°，易知Rt△OO'A中，O'A=O'C=2OO'=2，在△OO'C中，OC ≥O'C-OO'=2-=。至此，“圓”來如此，這兩題是圓的建構模型之“定角定弦”。

深挖教材，明確考向，建構模型

把握教材中圓的系統(tǒng)化教學過程，總結整體框架結構，形成思維導圖。初中的平面幾何圖形源于生活中簡單的物體抽象而得，研究基本幾何圖形主要從“點”、“邊”、“角”三個方面，其表現(xiàn)形式是概念、算法、性質定理。基于理論，圓的教學中如何建構數(shù)學模型？

1、運用現(xiàn)代化多媒體教學設備，貫穿于圓的知識點教學中，滲透數(shù)學模型的思想，讓學生感受感知數(shù)學模型。如錐體的側面積的展開演示聯(lián)想到扇形，而扇形是圓的一部分，建立求錐體的側面積的數(shù)學思路，進而拓展。“化曲面為平面”的數(shù)學思想，也就能很輕松的解決“螞蟻繞圓柱”問題。

2、基于課本性質定理，深化提高，構建圓的基本幾何模型。圓的基本性質知：同弧（同弦）所對的圓周角是圓心角的一半。構建“三點共圓模型”。

如圖（5） ，這題是改編于某壓軸題。 簡證如下：易知優(yōu)角∠CDE=2∠CBE且DC=DE，所以B、C、E是以D為圓心“三點共圓”，從而為定值不變。再次體會到“圓”來如此！

3、廣閱資料，博采眾長，總結建立數(shù)學模型專題。信息化時代的到來，給資源的傳遞和共享帶來了極大的方便，結合教學過程練習，建立圓的數(shù)學模型專題題庫，如隱圓專題、圓與最值問題、點的共圓等。

三、數(shù)學模型的建構在中學數(shù)學教學中的作用

1、數(shù)學模型建構是數(shù)學教學中的思維精華，體現(xiàn)數(shù)學知識的本質聯(lián)系。數(shù)學模型的建構基于具體的一般性知識，將“一般化”的數(shù)學問題通過思維的分析判斷、推理類比、歸納總結，具有高效性、簡潔性、典型性的特點，更加體現(xiàn)知識的本質。數(shù)學教材中，無不滲透著模型思想，旋轉模型、翻折模型，“8”字型，“K”字型，“隱圓”模型等

2、圓的數(shù)學模型的建立和應用有效提高章節(jié)教育教學質量。

數(shù)學模型的建立是數(shù)學再創(chuàng)造后的知識精華，使學生不再停留于數(shù)學概念的“表象”，而是更加精確全面的了解知識的本質，精簡課堂過程，提高學生的認知水平。在教學中，對于學習困難的學生幫助非常明顯。在培優(yōu)教學中，提供了高層面的依據(jù)和指導。

3、順應中考方向，培養(yǎng)和提高創(chuàng)新性思維能力。

通過數(shù)學模型化思維的建立的過程中，充分發(fā)揮學生的主體能動性，培養(yǎng)學生的思維發(fā)散性，觀察推理的邏輯性，合理建構數(shù)學模型，順應中考數(shù)學。

參考文獻：

[1] 《教育綜合知識》 山香教師招聘考試命題研究中心，首都師范大學出版社

[2] 《 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》，北京師范大學出版社

[3] 《中考數(shù)學16講》 于新華，浙江大學出版社