城市軌道交通網絡末班車銜接優化模型*

汪 波 黃建玲 牛 豐

城市軌道交通網絡末班車銜接優化模型*

汪 波1，2黃建玲1，2牛 豐3

（1.北京市交通信息中心，100073，北京；2.綜合交通運行監測與服務北京市重點實驗室，100073，北京；3.中國鐵路總公司，100844，北京//第一作者，教授級高級工程師）

城市軌道交通網絡運營結束階段，末班車在路網換乘站內能否實現合理地銜接，最能體現出以人為本的客運服務以及科學高效的運營秩序。根據城市軌道交通網絡特點，提出了城市軌道交通網絡末班車銜接編制的原則。從站間列車運行時間約束、線間列車換乘銜接、末班列車線間銜接目標等角度，研究了軌道交通網絡末班車銜接優化量化方法，建立了網絡末班列車銜接優化模型。以北京軌道交通城區1號線、2號線和5號線局部路網為實例，編制了網絡末班列車的優化時刻表。算例結果表明，模型及其優化算法可行，對路網運輸計劃編制工作有較強的實用性。

城市軌道交通網絡；末班車計劃；列車銜接；多目標線性規劃

由于城市軌道交通（以下簡為“軌道交通”）網絡的復雜性，制定和優化首、末班車的銜接具有很大的難度，需要結合網絡實際運營情況進行詳細分析。在路網換乘站內，相比首班車銜接，末班車是否能合理銜接對乘客出行的影響更大。

1 軌道交通網絡末班車確定原則

軌道交通網絡換乘站不同線路任何兩個方向間都存在換乘可能，n條線路相交換乘站銜接的換乘方向數為4n（n-1）。即：2線換乘車站有8個換乘方向，3線換乘車站的換乘方向將多達24個［1-2］。由于網絡結構的復雜性，以及列車運行的連續性，一條線路的末班車開出后，在某換乘站某換乘方向上，乘客能換乘他線列車，但是在該換乘站的其他換乘方向、列車運行依次經過的其他換乘站，乘客不一定能成功換乘［2］。為降低軌道交通網絡末班車銜接的難度，可根據城市居民生活特征、道路交通運行情況及網絡結構特點，事先確定如下末班車銜接的原則。

（1）末班車時段，軌道交通客流流向主要是市內往郊區方向，末班車銜接應滿足市區乘客向市郊方向出行。

（2）根據客流規律確定各區域末班車的發車時間范圍。以北京軌道交通為例，末班車發車時間不應早于 22：30，市區線不宜晚于24：00，市郊線不宜晚于 23：00。

（3）合理確定特殊線路與路網其他線的銜接方案，如機場線、新開通線路可暫不考慮與路網其他列車的末班車銜接［3］。

2 軌道交通網絡末班車銜接的影響因素

末班車的制定除需考慮列車出發、到達等時間標準外，還要考慮各線列車間乘客的換乘走行時間，形成良好換乘。這些時間要素構成了影響軌道交通網絡末班車能否銜接的重要因素。

軌道交通末班車制定的影響因素主要有各線列車的末班車到達和發車時刻、區間運行時間、站停時間以及各換乘站不同換乘方向的乘客換乘走行時間等。具體表示如下。

（1） tarr，up，ij表示第 i條線上行方向的末班列車到第j站的時刻，其中，up代表上行（下同）；

（2） tarr，down，ij表示第 i條線下行方向的末班列車到第j站的時刻，其中，down代表下行（下同）；

（3） Δtrun，up，ij為第 i條線上行方向列車從第 j-1站到第j站的區間運行時間；

（4） Δtrun，down，ij為第 i條線下行方向列車從第 j-1站到第j站的區間運行時間；

（5）Δtstop，ij表示第 i條線的列車在第 j站的站停時間（上下行相等）；

（6） tdepart，up，ij表示第 i條線上行方向的末班列車在第j站的發車時刻；

（7） tdepart，down，ij表示第 i條線下行方向的末班列車在第j站的發車時刻；

（8）ΔTi表示第i條線的發車時間間隔；

（9）Δttrans，jp表示第j站兩條線之間某換乘方向p的乘客換乘走行時間。

列車到站時間、站停時間、運行時間及離站時間有以下關系：

為便于研究，本文引入車站換乘冗余時間概念，其含義為乘客在換乘站某換乘方向平p經過換乘走行后，仍可實現換乘的富余時間，用Δtjp表示。以路網中A線上行方向換乘B線下行方向為例，換乘冗余時間可表示為：

本文中，各線始發站末班車時間為列車發車時刻，中間站末班車時間為列車到達時刻。

3 軌道交通網絡末班車銜接優化模型

設軌道交通網絡有 A、B、C、D、E、F 共 6條線，各線間僅有兩兩換乘車站，共9個換乘站（見圖1），換乘站的集合為S。則：

圖1 軌道交通網絡示意圖

以地鐵A線與D線的換乘站“1”為例，兩線相交共有8個換乘方向，見圖2。首班車情況下，不管列車的銜接情況如何，乘客總能等到換乘A線列車的到來。而對于末班車來說，當錯過換乘線列車時將無法再乘到車，因此二者之間有一定的區別。

圖2 換乘站換乘銜接方向示意圖

3.1 站間列車運行時間約束

通常情況下，軌道交通列車出發后在站間的運行時間及在每站的站停時間都是固定的。例如，當D線上行列車到達換乘站1的時刻確定后，列車到達換乘站2、換乘站3的時刻均可通過下式計算：

同樣，對于D線下行的列車有：

記L為路網中線路的集合，本例中L=｛A，B，C，D，E，F｝。

記Si為路網中i線上的換乘站。則有：

D 線上的換乘站的集合為 SD，SD=｛1，2，3｝，則有：

其中，i∈L； j， j-1∈Si。

3.2 線間列車換乘銜接約束

研究線間列車換乘銜接是網絡末班車銜接優化的重點，本文以圖2中換乘方向（3）、（6）的情況為例進行研究。由A線上行列車與D線下行方向列車換乘銜接關系，兩種情況可以表示為：

銜接情況如圖3所示。

從圖 3中可以看出，由于 Δt1（3）＞ 0，所以 A 線上行方向列車可成功換乘D線下行方向列車；而Δt1（6）＜0，表示乘客無法由D線下行方向列車成功換乘A線上線方向列車。

令TA1、TA′1分別表示列車在1站的到達時間矢量，則：

以ΔTR1表示乘客在1站各個換乘方向的換乘走行時間矢量，則：

以ΔTX表示乘客在1站各個換乘方向的換乘冗余時間矢量，則：

以ΔTS1為各列車在1站的站停時間矢量，則：

綜上，車站1各換乘方向列車的銜接關系方程為：

圖1中其他8個換乘站可用同樣的方法表示。針對路網換乘站末班車銜接關系的方程為：

圖3 車站1部分末班車換乘銜接方向示意圖

3.3 軌道交通網絡末班車銜接優化模型表述

一個兩線的換乘站共有8個換乘方向，不可能保證每個換乘方向的要求都能得到同等程度的滿足，可根據8個方向的客流分布、銜接方向性質等實際情況，確定8個方向的重要程度［4-5］。

按照上述討論的順序，依次標識換乘車站j中8個方向的權重為ωj（1），ωj（2），…，ωj（8），以矢量表示為：

從3.2節分析可得到以下結論：當Δtjp＜0時，表明在換乘站j的p換乘方向換乘失敗，當Δtjp＞0時，表明在換乘站j的p換乘方向換乘成功；若要保證重要（客流量較大）的換乘方向換乘成功，則其相反方向一定不能換成成功（如圖2所示（1）、（6）兩個換乘方向），如果 ω1（1）≥ 0，那么 ω1（6）=0。

記δjp為0、1變量，表示首班車各換乘方向是否能夠換乘成功。當δjp=1時，表明在換乘站j的p換乘方向換乘成功；當δjp=0時，表明在換乘站j的p換乘方向換乘失敗。即：

若考慮換乘站j的各個換乘方向p的重要度不同，可將δjp乘以其權重ωjp，以此來盡量保證重要的換乘方向能夠換乘成功。

軌道交通路網末班車優化的目標有兩個。首先，盡量保證主要換乘方向能夠換乘成功；此外，在實現上述目標后，需盡量減少乘客在末班車之間換乘的等待時間，即讓列車盡可能在差不多的時間到達某換乘站，這樣將會節約列車的運營成本。軌道交通網絡的末班車銜接優化模型為：

式中：

ΔTXj——乘客在第j個換乘站從到達換乘站臺候車至上車離開的乘客等待冗余時間矢量，j表示路網的換乘站，j∈S；

TA，j，TA′j——第j個換乘站各線列車的到達時刻矢量，j∈S；

ΔTRj——乘客在第j個換乘站的換乘走行時間；

ΔTSj——某次列車在換乘站j的站停時間，j∈S；

tarr，up，ij，tarr，down，ij——分別表示i線上行、下行列車到達j站的時刻，i表示路網中的某條線路，i∈L，j∈Si，∪Si=S；

Δtstop，ij——i線列車在j站的站停時間，i∈L，j∈S；

Δtrun，ij——i線列車從j站前一站到j站的運行時間，i∈L，j∈S。

4 軌道交通網絡末班車銜接案例分析

選擇北京軌道交通1、2、5號線及其5個換乘站進行末班車的銜接分析。3條線及換乘站的分布如圖4所示。

圖4 1、2、5號線網絡及末班車主要換乘方向示意圖

記 L 為路網中線的集合，L=｛1，2，5｝；S 為路網換乘站的集合，S=｛F，D，J，Y，C｝，其中 F 為復興門站，D為東單站，J為建國門站，Y為雍和宮站，C為崇文門站。箭頭為主要考慮銜接方向。

1、2、5號線的運行時間及換乘站站停時間如表1～6所示。

取任何站內線線間的乘客換乘走行時間為120 s。模型先計算保證各主要換乘方向能換乘的最優解，再計算此條件下的最優方案（乘客等待時間最少）。

本文采用軌道交通網絡末班車優化銜接模型，運用lingo9.0算得相對列車末班車時刻表，如表7所示。

表1 1號線運行時間

表2 1號線換乘站站停時間

表3 2號線運行時間

表4 2號線換乘站站停時間

表5 5號線運行時間

表6 5號線換乘站站停時間

由表7可知，1號線的上行方向始發時刻最早，即蘋果園站的始發時刻最早。根據末班車確定原則，末班車發車時間不早于10∶30∶00，所以定1號線末班車蘋果園站的發車時刻為10∶30，其他車站末班車時刻如表8及圖5所示。

表7 末班車始發及到達各換乘站相對時刻表

表8 末班車始發及到達各換乘站時刻表

根據表8可算出末班車主要換乘方向銜接結果，如表9所示。當最大候車時間＞0時，表明該方向可實現末班車的換乘。

5 結語

軌道交通網絡中線路和換乘站的增加，帶來了各線之間列車銜接困難的問題，體現在每天的首末班車時段，即存在首班車等待過久、末班車不能換乘，尤其是保證各線間末班車的換乘銜接變得非常困難。

本文提出軌道交通網絡末班車原則，應結合各換乘站不同方向的換乘量，先確定路網中需銜接的換乘站和換乘方向，再確定線路各站的末班車時間。一個2線換乘站有多個換乘方向，不可能保證每個換乘方向的要求都能得到同等程度的滿足，若要保證重要（客流量較大）的換乘方向換乘成功，則其相反方向一般不能換乘成功。

圖5 末班車列車時刻表

表9 末班車主要換乘方向銜接結果

本文建立了在整個軌道交通路網中盡量實現多換乘方向換乘成功和減少總換乘時間為目標的多目標線性規劃模型。并采用該模型對北京軌道交通局部網絡末班車時間進行了優化設置。實際數據和計算表明，該網絡末班車制定模型是可行的，可以擴展到更大規模軌道交通網絡，以及含有 3線、4線換乘站的末班車時間求解。

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Optimum Model of Last Train Connection for Urban Mass Transit Network

WANG Bo，HUANG Jianling，NIU Feng

At the end of everyday rail transit operation，the rational connection of last trains at interchange stations on rail transit network can reflect directly the people-oriented service level，and the efficient operation order.Firstly，based on the complexity of urban rail transit network，the principles in last train connection system are proposed.Secondly，from angles of inter-station running time constraint，interchange connection and objectives of last train linkage on different lines，the optimum quantitative method for last train linkage is studied，and an optimization model is set up.Taking parts of Beijing rail transit Line 1，Line 2 and Line 5 as the research targets，an optimized timetable for last trains in network is produced.The algorithm result shows that the model and optimization algorithm is feasible and practical for the network transport planning.

urban rail transit network； last train planning；train connection；multi-objective linear programming

U292.4

10.16037/j.1007-869x.2017.10.002

First-author′s address Beijing Transportation Information Center，100073，Beijing，China

*北京市自然科學基金重點項目（8171003）

2016-01-26）