基于梯度增強型Kriging模型的氣動反設計方法

韓少強,宋文萍,韓忠華*,王樂

西北工業大學 航空學院 翼型葉柵空氣動力學國家級重點實驗室,西安 710072

基于梯度增強型Kriging模型的氣動反設計方法

韓少強,宋文萍,韓忠華*,王樂

西北工業大學 航空學院 翼型葉柵空氣動力學國家級重點實驗室,西安 710072

基于Kriging模型的代理優化算法目前在氣動優化設計中得到了廣泛應用。但在高維(設計變量大于30個)氣動優化中,計算量過大的問題對其進一步發展產生了嚴重制約。將翼型和機翼氣動反設計問題轉化為優化問題,采用Adjoint方法進行快速梯度求解,利用基于梯度增強型Kriging(GEK)模型的代理優化算法分別開展了18、36和108個設計變量的氣動反設計。首先,通過采用在設計空間局部建立GEK模型的方法成功地將基于代理優化算法的氣動反設計問題的維度拓展到了100維以上。其次,研究了梯度計算精度對基于GEK模型的反設計的影響,發現梯度精度越高,反設計的最終效果越好,同時效率相當。最后,通過不同維度的氣動反設計算例,比較了改進擬牛頓法(BFGS)、基于GEK模型和Kriging模型的代理氣動反設計方法,結果表明基于GEK模型的代理優化算法的效率大幅度高于基于Kriging模型的代理優化算法,并且維度越高,效率優勢越明顯;同時,基于GEK模型的代理優化算法在優化效果及分析程序調用次數上相比于BFGS方法也略有優勢。

設計優化;Kriging;梯度增強型Kriging(GEK);代理模型;BFGS;翼型反設計;機翼反設計

Kriging模型具有較好預測非線性、多峰值函數的能力,且能給出未知點預測值的誤差估計。因此,Kriging代理優化算法[1-2]受到了廣泛的重視。近年來,Kriging模型被越來越多地應用于氣動及多學科優化設計中[3-8],在得到優良的設計結果的同時大大減少了優化設計所需要的計算時間。另一方面,相對于優化方法,反設計方法具有計算效率高、針對性強和可信度高等特點[9],在飛行器氣動設計領域仍然是不可或缺的[10]。目前Kriging代理優化算法在氣動反設計中的應用較少,并且以設計變量個數較少的翼型反設計為主。Toal等[11-12]通過翼型反設計,著重比較了使用不同優化算法優化Kriging超參數對最終反設計結果的影響。但是他們并非著眼于Kriging代理優化算法在翼型反設計中的應用研究,也未能得到真正有效的反設計結果。劉俊等[13]將翼型氣動反設計問題轉化為優化設計問題,利用Kriging代理優化算法進行了翼型的單目標、多目標氣動反設計;研究了模型加點準則對設計結果的影響;并和多項式響應面模型優化方法進行了比較研究。結果表明,Kriging代理優化算法的優化效果和效率都明顯優于基于多項式響應面的優化方法。

隨著人們對設計結果的性能要求以及可信度要求的提高,一方面更高可信度的數值模擬程序被應用于飛行器的氣動設計中,這就意味著單次數值模擬所需的計算花費將急劇增長。另一方面隨著設計變量個數(設計空間維度)的增加,Krig-ing模型精確建模所需要的CFD調用次數呈指數增長[14],這種現象又被稱為“維度之咒”。對于機翼甚至更復雜的三維外形優化,設計變量多,Kriging優化過程需要大規模調用耗時的CFD分析。因此,針對高維問題亟待發展更加高效的氣動優化設計方法。

為了提高Kriging代理優化效率,梯度增強型Kriging(Gradient-Enhanced Kriging,GEK)模型在Kriging模型中引入梯度信息,即在建立代理模型時除了利用樣本點處的函數值,同時還要利用樣本點處的梯度值,從而提高模型的精度。這樣,建立和Kriging模型相同精度的GEK模型,需要的樣本點數量將大大減少。在氣動設計領域,當前已具備高效計算梯度的技術——Adjoint方法[15-17],只需額外花費一次與CFD相當的計算量即可獲得目標函數對所有設計變量的梯度。也就是說,當使用高效梯度計算方法時,建立相同樣本點數的GEK模型只需比Kriging模型增加較少的計算量,而建模精度卻可以得到大幅度提高,從而充分發揮GEK模型的優勢。Liu[18]和Chung[19]等分別提出了一種間接GEK模型和一種直接GEK模型。間接GEK模型利用一階泰勒展開將梯度值變成附加樣本點的函數值,然后按常規Kriging模型方法建立近似模型。GEK模型直接將樣本點的梯度值和樣本點的函數值一起加權到模型的預測值中。Laurenceau等[20-21]比較了Kriging、直接GEK、間接GEK模型在氣動問題中的預測精度,發現在相同樣本點數下兩種GEK模型的精度都高于Kriging模型。Han等[22]發展了一種更一般化的直接GEK模型,允許梯度信息在任意位置引入,且允許在某些樣本點處不使用梯度信息。Han等在此基礎上,又發展了一種新的GEK模型[23],通過建立一系列子GEK模型來代替原有GEK模型,從而大幅度降低相關矩陣的維度,提高GEK建模的效率。宋超等[24]利用梯度信息,選取擾動步長得到初始樣本點附近的派生點,以派生點擬合出能夠預測目標函數趨勢的低精度Kriging模型。然后以初始樣本點修正該模型得到高精度的Kriging模型。顯然,該方法并未直接將梯度信息耦合進Kriging建模過程中。

目前,GEK模型已在氣動優化設計中得到一些初步應用。Chung[25]和Xuan[26]等將GEK模型與序列二次規劃(SQP)法相結合,進行了初步氣動優化設計,他們用有限差分法來計算目標函數的梯度,但未對優化效率及優化效果進行研究。劉俊等[27]進行了基于Kriging模型和GEK模型的翼型氣動反設計比較研究,使用Adjoint方法計算梯度,發現在計算量一致的前提下,GEK模型優化結果更好且收斂更快。對于設計變量較多(大于30個)的優化問題,Kriging模型的“維度之咒”逐漸凸顯。GEK模型能否在一定程度上緩解“維度之咒”,在設計變量個數上有所突破,這成了當前代理優化算法在氣動優化應用中鮮有涉及卻十分重要的研究方向。另外,由于GEK模型每次建模過程中用到的響應值和梯度值遠遠多于梯度算法每次尋優過程所用到的響應值和梯度值,所以有必要將基于GEK模型的代理優化算法和改進擬牛頓(BFGS)方法進行比較研究。

本文使用GEK代理優化算法進行了翼型及機翼的壓力分布反設計,包括18維翼型氣動反設計和36維、108維機翼氣動反設計,并和Kriging代理優化方法、BFGS方法進行了對比研究。通過在設計空間局部建立GEK模型,使得基于代理優化算法的氣動反設計的維度突破了100維,“維度之咒”得到明顯緩解。

1 優化設計方法

1.1 幾何參數化與設計變量范圍確定

在利用優化方法進行翼型優化設計之前先要用一些設計參數來代替翼型,即對翼型進行參數化。CST參數化方法是由波音公司的工程師Kulfan提出來的。該方法用一個類函數C(ˉx)和一個型函數Sˉ()x 的乘積加上一個描述后緣厚度的函數Δyte來表示一個翼型的幾何形狀:

關于CST參數化求解方法,具體可參見文獻[28]。

同時,還要給定優化過程中設計參數的變化范圍。利用一個較“厚”的翼型和一個較“薄”的翼型,并使得這兩個翼型之間的范圍足夠大,可以包含目標翼型。將兩個翼型之間的空間作為真實設計空間,如圖1中陰影部分所示,c為翼型弦長。兩個翼型所對應的CST參數即為設計變量上下限。機翼反設計采用控制剖面翼型的CST參數作為設計變量。

1.2 優化問題數學模型

氣動反設計問題轉化為優化設計問題后,目標函數可以寫為

式中:pd為目標壓力分布;p為反設計得到的壓力分布;B為沿物面積分;S為積分面。

1.3 試驗設計方法

在構建Kriging模型之前,需要采用試驗設計方法對設計空間進行抽樣,來生成一定數量的初始樣本點。

1.3.1 拉丁超立方試驗設計

翼型反設計中一般初始樣本點個數大于設計變量個數,采用拉丁超立方抽樣[29](Latin Hypercube Sampling,LHS)試驗設計方法生成初始樣本點。它的基本原理為:如果進行ns次抽樣(即總共ns個樣本點),那么就把nv個設計變量都分成等概率的ns個區間,于是整個抽樣空間就被分為等概率的(nv)ns個小區間。然后將ns個樣本{0,1,…,ns-1}隨機地放入設計空間中并滿足下列兩個條件:

1)每一個樣本點在小區間內隨機地分布。

2)將所有樣本點投影到任意一維時,每一個小區間內有且僅有一個樣本點。

1.3.2 蒙特卡羅試驗設計

當初始樣本點數小于設計變量個數時,很多試驗設計方法已經無法實現而蒙特卡羅(Monte Carlo,MC)抽樣[30]仍然適用。機翼反設計中由于設計變量個數較多,初始樣本點個數一般少于設計變量個數,所以采用蒙特卡羅抽樣試驗設計方法生成初始樣本點。其實現比較簡單,假設給定區間[xl, xu],xu和xl為上下限,在該區間內生成一個隨機數,該隨機數即所生成的樣本點。對于nv維空間,即設計變量為nv,在每一維空間內生成一個隨機數,這nv個隨機數即構成了設計空間內的一個樣本點。

1.4 梯度增強型Kriging模型

本文不對Kriging模型進行詳細介紹,詳見文獻[31-33]。GEK模型是在Kriging模型基礎上發展起來的,其思想、原理和建模方法與Kriging模型基本一致。但是GEK模型不僅利用了樣本點處的函數值,還利用了樣本點處的梯度值。下面介紹本文所采用的由Han等[22]發展的一種直接GEK模型。

首先,在Kriging模型中,對于m維問題,假設對目標函數(或狀態變量)抽樣獲得n個函數值,抽樣位置及相應的樣本點響應值可寫成

式中:S為樣本矩陣,每一行代表一個樣本點;ys為列向量,每一個元素代表一個樣本點的函數值。建立近似模型的目的就是利用已知的樣本數據(S,ys),來獲得任意未知點處的預測值。

對于GEK模型,將上述樣本數據的響應值列向量加以拓展,把樣本點處的梯度信息以偏導數的形式加入到響應值中。于是得到含梯度信息的樣本及響應值矩陣為式中:xg(j)(j∈{1,2,…,n′})為第j個提供偏導數的樣本點(每個偏導數看作一個樣本點);向量ys?y(j)中的?y(j)= (?x)表示第j個偏導數信息(對

k第k個獨立變量的偏導數,k∈ {1,2,…,m})。

需要說明的是,這里梯度信息的引入具有一般性:梯度信息的抽樣位置可以與函數值的抽樣位置相同,也可不同;可以引入所有偏導數信息,也可只引入部分偏導數信息。也就是說,總的偏導數個數n′可以小于n·m。如果沒有任何偏導數信息,GEK模型將退化為傳統的Kriging模型。因此,可以認為,這種GEK模型是一種可考慮梯度信息的更一般化的Kriging模型。

隨著優化設計問題維度的增加,如果在優化過程中采用所有的樣本點進行GEK建模,模型訓練過程將面臨非常巨大的計算量(對于108維氣動反設計算例,每個樣本點都有1個響應值和108個梯度值,以100個樣本點為例,GEK模型需構建的相關矩陣大小將是10 900×10 900)。在本文的108維算例中,將反設計問題作為局部優化問題處理,GEK模型每次建模只使用當前所有樣本點中距離當前最優點最近的10個樣本點,這樣每次建立局部代理模型時相關矩陣的大小都可以控制為1 090×1 090,大幅減小了優化建模部分的計算量。事實證明這種方法在高維機翼氣動反設計中是高效可行的。

1.4.1 GEK預測值與均方誤差

GEK模型對未知函數的預測值定義為所有抽樣函數值和所有抽樣偏導數值的加權,即

式中:w(i)為第i個函數值的加權系數;λ(j)為第j個偏導數信息的加權系數。與Kriging模型類似,引入靜態隨機過程假設:

式中:β0∈1為未知常數;Z(·)為均值為0的靜態隨機過程,且協方差滿足

式中:σ2為隨機過程Z(·)的方差;R為僅與空間距 離 有 關 的 “相 關 函 數 ”;和分別為相關函數相對于x(i)和x(j)處第k個分量的偏導數。

與Kriging模型推導過程類似,可得到GEK模型的預測值為

式中:R為樣本點相關矩陣;r為樣本點與未知點x的相關向量;F=[1 … 1 0 … 0]T;β0=(FTR-1F)-1FTR-1ys。

均方誤差MSE為

1.4.2 相關函數模型

相關矩陣R和相關向量r的建立需要計算相關函數及其一階導數、二階導數值。假設兩個樣本點x(i)和x(j)之間的相關函數僅與兩點之間的距離有關(即R(x(i),x(j))=R(x(i)-x(j))),于是,此處考慮以下形式的相關模型:

本文采用3次樣條相關函數:

1.4.3 參數模型

由式(10)可知,GEK模型中存在超參數θ,

與Kriging模型相同,該超參數通過采用最大似然估計(MLE)法求解下列優化問題獲得

1.5 加點準則及其約束處理

代理優化方法的一個關鍵技術是加點準則。由于建立一個較精確的全局近似模型需要大量的樣本點,特別是設計變量較多時,因此,為了減少總的樣本點數,首先使用較少的樣本點建立初始代理模型,再尋找一定準則下的最優點并將其作為新的樣本點來更新代理模型重新優化。加點準則的使用直接決定了優化的成敗及優化效率。

本文的氣動反設計優化算例中,加點方法采用MSP(Minimum of Surrogate Prediction)[34]準則。該準則認為代理模型足夠精確,直接尋找代理模型上目標函數的最小值,即建立代理模型后,求解下列子優化問題:

式中:NG為約束個數;^y(x)和^gi(x) 分別為目標函數和約束函數的代理模型。本文使用遺傳算法和梯度優化相結合的方法求解式(13)子優化問題,可得到代理模型上預測的目標函數最優解x*。再對x*進行精確數值模擬分析,并將結果作為新的樣本數據,添加到現有樣本數據集中,重新建立代理模型,直至整個優化過程收斂。該準則是一種局部加點準則,在氣動反設計問題中有較好的效果。

1.6 優化設計流程

本文氣動反設計優化采用自主開發的優化軟件SurroOpt,是結合代理模型、試驗設計方法、多點加點準則、遺傳算法、梯度優化算法等發展的代理優化設計方法。圖2給出了代理模型優化設計方法的流程圖,圖中DoE(Design of Experiment)表示試驗設計。

2 流場求解程序驗證

采用自主開發的二維和三維流場求解程序PMNS2D/3D,通過求解雷諾平均Navier-Stokes方程對翼型及機翼進行氣動分析?？臻g離散采用中心有限體積法,LU-SGS隱式時間推進,使用了隱式殘值光順、當地時間步長、多重網格等加速收斂措施。

2.1 RAE2822翼型繞流計算

翼型為RAE2822亞臨界翼型,計算網格如圖3所示。全湍流計算,湍流模型為剪切應力輸運(SST)模型,計算狀態為馬赫數Ma=0.72,迎角α=2.8°,雷諾數Re=6.5×106。根據圖4可以看出:計算壓力系數Cp分布與試驗值吻合較好,驗證了二維流場求解程序的可靠性。

2.2 M6機翼繞流計算

M6機翼的表面網格和空間網格如圖5所示,網格量為50萬。全湍流計算,采用Spalart-Allmaras湍流模型,計算狀態為Ma=0.839 5,α=3.06°,Re=1.17×107。由圖6可以看出,M6機翼不同站位的壓力分布計算值與試驗值吻合較好,驗證了三維流場求解程序的可靠性。圖中:z/b表示機翼展向位置坐標與半展長的比值。

3 Adjoint梯度求解程序驗證

采用自主開發的二維和三維梯度求解程序,通過求解連續Adjoint方程得到反設計目標函數對所有設計變量的梯度。并和二階精度有限差分方法計算的梯度進行比較,來驗證Adjoint梯度求解程序的可靠性。

3.1 RAE2822翼型壓力分布反設計梯度

目標壓力分布為RAE2822翼型在計算狀態下的壓力分布。計算翼型為NACA0012翼型,計算網格的類型和規模與圖3所示的網格一致。計算狀態為 Ma=0.72,α=2.8°,Re=6.5×106。根據圖7可以看出2種方法計算的梯度值吻合較好,驗證了二維Adjoint梯度求解程序的可靠性。

3.2 M6機翼壓力分布反設計梯度

目標壓力分布為M6機翼在計算狀態下的表面壓力分布。計算機翼的翼根和翼梢剖面形狀均為NACA0012翼型,計算網格的類型和規模與圖5所示網格一致。計算狀態為Ma=0.839 5,α=3.06°,Re=1.17×107。根據圖8可以看出2種方法計算的梯度值吻合較好,驗證了三維Adjoint梯度求解程序的可靠性。

4 反設計算例與分析

使用基于GEK模型的代理優化方法進行了18、36、108維的氣動反設計研究,同時和Kriging代理優化設計方法及BFGS方法進行了對比。需要說明的是,GEK模型建模和BFGS方法所需要的梯度信息均采用Adjoint方法求解,用Adjoint方法求解一次反設計目標函數對所有設計變量的梯度,花費的計算量相當于一次CFD求解。對于三維外形,CFD分析的計算量遠大于代理模型建模的計算量,所以僅以CFD分析次數作為計算量統計的依據。

4.1 RAE2822翼型18維反設計

以RAE2822翼型單目標反設計為例。設計狀態為Ma=0.734,α=2.79°,Re=6.5×106。在求解Navier-Stokes方程時,采用SST湍流模型進行全湍流計算。

使用8階CST參數化方法,共18個設計變量。使用基于GEK模型的代理優化方法開展了RAE2822翼型氣動反設計,并和Kriging代理優化方法及BFGS方法進行了對比研究。取相同的設計空間,代理優化方法取20個初始樣本點,加點準則為MSP。

根據表1展示的優化設計結果可以看出,GEK代理優化方法的效率是Kriging代理優化方法的3倍,最終得到的目標函數值是Kriging代理優化方法的1/5。GEK代理優化方法的效率是BFGS的2.5倍,最終得到的目標函數值略小于BFGS方法。

表1 RAE2822翼型反設計結果Table 1 Inverse design results of RAE2822 airfoil

根據圖9所示的目標函數收斂歷程,可以看出相比Kriging模型,GEK模型使得翼型代理優化的效率大幅提高。說明梯度信息可以提高代理模型精度,從而使用更少的樣本點即可鎖定最優點的位置。本算例中,相對于BFGS方法,GEK代理優化方法也具有較明顯的效率優勢,最終優化效果也更好。

根據圖10(a)和圖10(b)可以看出,使用3種優化方法的反設計翼型外形及壓力分布與目標翼型及壓力分布吻合較好,說明3種方法都達到了較好的反設計效果。

通過控制連續Adjoint方程求解殘差的下降量級,可以間接控制Adjoint梯度的求解精度。分別將Adjoint求解殘差下降1、2、3個量級的梯度用于基于GEK模型的代理優化。從表1的優化結果和圖11給出的優化收斂曲線可以看出,GEK模型所使用的梯度精度越高,最終的反設計目標函數越小,反設計效果越好,同時計算量相當。

4.2 M6機翼36維反設計

以M6機翼單目標反設計為例。設計狀態為Ma=0.839 5,α=3.06°,Re=1.17×107。

剖面翼型使用8階CST參數化方法,翼根翼梢兩個剖面共36個設計變量,通過兩個剖面沿展向線性插值即可得到M6機翼。使用基于GEK模型的代理優化方法開展了M6機翼氣動反設計優化,并和Kriging代理優化方法及BFGS方法進行了對比研究。取相同的設計空間,代理優化方法取10個初始樣本點,加點準則為MSP。

根據表2展示的優化設計結果可以看出,基于Kriging模型的代理優化方法花費了將近8倍于GEK模型的計算量,最終得到的目標函數是GEK模型的2.5倍。GEK代理優化方法的優化效果略優于BFGS方法,但BFGS調用的流場求解次數是GEK代理優化方法的2.6倍。

根據圖12所示的目標函數收斂歷程,可以看出在36維的氣動反設計問題中,Kriging模型的“維度之咒”已經開始顯現。此時采用GEK模型可以使機翼反設計的效率大幅度提高。

表2 M6機翼反設計結果Table 2 Inverse design results of M6 wing

圖13(a)和圖13(b)給出了反設計機翼和M6機翼的19%站位剖面翼型的外形及壓力分布比較。圖14(a)和圖14(b)給出了反設計機翼和M6機翼的79%站位剖面翼型的外形及壓力分布比較。可以看出使用3種方法的反設計機翼外形及壓力分布與目標機翼及壓力分布均吻合較好。

根據圖15所示的目標函數收斂歷程可以看出,GEK模型所使用的梯度精度越高,最終目標函數越小,反設計效果越好。

4.3 CRM機翼108維反設計

對第五屆AIAA阻力預測研討會(DPW-5)所使用的由NASA開發的CRM機翼進行氣動反設計(Ma=0.85,α=2.16°,Re=5.0×106)。

CRM機翼平面形狀比較復雜,以圖16所示的9個剖面翼型形狀參數作為設計變量進行壓力分布反設計。將9個剖面沿展向樣條插值后即可近似得到CRM機翼。采用5階CST參數化方法,對剖面翼型進行參數化,每個剖面有12個設計變量,9個剖面共108個設計變量。

CRM機翼繞流計算使用的網格為C-H結構化網格,如圖17所示。網格量約140萬,遠場約為翼根弦長的30倍。

如前文所述,為了減少高維問題中GEK模型訓練所花費的時間,在設計空間局部建立GEK模型來進行CRM機翼氣動反設計,并和Kriging代理優化方法及BFGS方法進行對比研究。取相同的設計空間,代理優化取100個初始樣本點,使用MSP加點準則。

根據表3給出的CRM機翼代理氣動反設計結果可以看出,使用GEK模型最終得到的目標函數大小約為Kriging模型的1/65,而花費的計算量不到Kriging模型的1/2。預計在本算例中,要達到相當的優化效果,基于Kriging模型的代理優化方法花費的計算量將是基于GEK模型的代理優化方法的數十倍。同時,在108維反設計算例中,GEK代理優化方法的優化效果略優于BFGS方法,流場求解的調用次數也略少于BFGS方法。需要說明的是,在本算例當中,由于只在設計空間局部建立GEK模型,GEK代理優化算法的優勢可能沒有得到充分發揮。

圖18給出了不同方法反設計收斂曲線的比較,圖19～圖21分別給出了反設計機翼0.5%站位(翼根)、40.8%站位及99.4%站位(翼梢)處的剖面翼型及壓力分布和CRM機翼的比較?？梢钥闯?基于GEK模型的代理優化方法使用不到500次CFD計算得到的外形和CRM機翼吻合得很好,而基于Kriging模型的代理優化方法花費了1 000次CFD計算,得到的外形和CRM機翼仍有較明顯的差距。

5 結 論

1)對于翼型和機翼的氣動反設計,基于GEK模型的代理優化方法比基于Kriging模型的代理優化方法具有明顯的效率優勢。相比于BFGS方法,基于GEK模型的代理優化方法仍然有更高的效率,同時也可以得到更好的優化效果。

2)Adjoint梯度求解精度越高,基于GEK模型的代理氣動反設計效果越好。

3)對大于30個設計變量的高維優化問題,基于Kriging模型的代理優化開始顯現“維度之咒”。GEK模型由于在建模過程中使用了梯度信息,可以使用較少的樣本點來建立高精度的模型,在高維問題中表現出了巨大的效率優勢?；贕EK模型的代理優化方法可在一定程度上緩解“維度之咒”,使得代理優化問題的維度成功拓展到100維以上。

本文所采用的GEK模型,在設計變量和樣本點數量較多的情況下,建模所花費的時間仍然較多,所以在108維算例中采用了建立局部代理模型的方法來減少計算成本。今后需要對該模型做進一步改進,提高模型訓練效率,在高維問題中利用所有樣本點的響應值和梯度值來建立高精度代理模型,從而更加充分地發揮GEK模型的優勢。

致 謝

感謝劉俊博士在優化設計平臺開發方面所做的工作。

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Aerodynamic inverse design method based on gradient-enhanced Kriging model

HAN Shaoqiang,SONG Wenping,HAN Zhonghua*,WANG Le

National Key Laboratory of Science and Technology on Aerodynamic Design and Research,School of Aeronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi'an 710072,China

Up to date,the surrogate-based optimization methods using Kriging model are widely used in the aerodynamic optimization design.However,the huge time costs seriously restrict the in-depth development of Kriging model when it comes to cases with dimension course(more than 30 design variables).lnverse design problems of airfoils and wings are formulated as optimization problems.Surrogate-based optimization using gradient-enhanced Kriging(GEK)model is adopted to conduct aerodynamic inverse design of 18,36 and 108 variables,and gradient is solved via the efficient adjoint method.lt is worth mentioning that the dimension of aerodynamic inverse design using surrogate-based optimization is successfully expanded to more than 100 by constructing GEK model in part of the design space.Besides,the influence of gradient accuracy on surrogate-based optimization using GEK model is studied.The results show that the effect of optimization is improved with more accurate gradients.BFGS(Broyden,Fletcher,Goldfarb and Shanno)and surrogate-based optimizations using GEK and Kriging models are compared through aerodynamic inverse design of different dimensions.The results show that surrogate-based optimization using GEK model has significantly higher efficiency,and the advantage of efficiency is more obvious with higher dimension of design.At the same time,surrogate-based optimization using GEK model has better optimization effect and less number of calls of analysis programs than the BFGS method.

design optimization;Kriging;gradient-enhanced Kriging(GEK);surrogate model;BFGS;inverse design of airfoil;inverse design of wing

2016-09-26;Revised:2016-10-17;Accepted:2016-11-15;Published online:2016-11-24 10:34

URL:www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161124.1034.006.html

National Natural Science Foundation of China(11272265)

V211.3

A

1000-6893(2017)07-120817-15

10.7527/S1000-6893.2016.0299

2016-09-26;退修日期:2016-10-17;錄用日期:2016-11-15;網絡出版時間:2016-11-24 10:34

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161124.1034.006.html

國家自然科學基金(11272265)

*通訊作者.E-mail:hanzh@nwpu.edu.cn

韓少強,宋文萍,韓忠華,等.基于梯度增強型Kriging模型的氣動反設計方法[J].航空學報,2017,38(7):120817.HAN S Q,SONG W P,HAN Z H,et al.Aerodynamic inverse design method based on gradient-enhanced Kriging model[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2017,38(7):120817.

(責任編輯:李明敏)

*Corresponding author.E-mail:hanzh@nwpu.edu.cn