圓錐面等測(cè)地曲率曲線的軌跡規(guī)劃方法

劉永佼,王顯峰,肖軍*

南京航空航天大學(xué) 材料科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,南京 210016

圓錐面等測(cè)地曲率曲線的軌跡規(guī)劃方法

劉永佼,王顯峰,肖軍*

南京航空航天大學(xué) 材料科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,南京 210016

為解決復(fù)合材料錐殼鋪放過(guò)程中的纖維殘余應(yīng)變過(guò)大的問(wèn)題,提出了等測(cè)地曲率曲線的軌跡規(guī)劃方法。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)軌跡的測(cè)地曲率決定了纖維的殘余應(yīng)變,于是通過(guò)計(jì)算圓錐上任意曲線的測(cè)地曲率推導(dǎo)出了等測(cè)地曲率曲線的表達(dá)式,并證明在圓錐展開(kāi)面上等測(cè)地曲率曲線是圓弧。最后,通過(guò)計(jì)算等測(cè)地曲率軌跡的殘余應(yīng)變及其與圓錐母線的夾角分析該軌跡鋪放工藝性。結(jié)果表明:等測(cè)地曲率軌跡相較于固定角軌跡與測(cè)地線軌跡具有良好的可設(shè)計(jì)性和鋪放工藝性。

復(fù)合材料;自動(dòng)鋪絲;軌跡規(guī)劃;等測(cè)地曲率;圓錐面

復(fù)合材料因其輕質(zhì)、高強(qiáng)度、高模量、可設(shè)計(jì)性強(qiáng)、易于實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化整體化制造等特點(diǎn)而應(yīng)用于航空航天等尖端技術(shù)領(lǐng)域[1-6]。復(fù)合材料錐殼在航空航天領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,如各類(lèi)運(yùn)載器與載荷的連接過(guò)渡段、固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴管、人造衛(wèi)星的碳纖維纏繞錐殼,以及航空領(lǐng)域上如飛機(jī)的雷達(dá)罩,寬體客機(jī)的尾機(jī)身等[7-8]。自動(dòng)鋪絲技術(shù)可實(shí)現(xiàn)大尺寸、復(fù)雜形狀復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件的精密自動(dòng)化制造,是復(fù)合材料低成本自動(dòng)化制造技術(shù)的重要發(fā)展方向[9-14]。

現(xiàn)有復(fù)合材料結(jié)構(gòu),常以固定角度鋪層設(shè)計(jì)以滿足纖維按復(fù)合材料強(qiáng)度設(shè)計(jì)方向排布。一般采用0°鋪層、±45°鋪層和90°鋪層按照特定順序排布[15-16]。對(duì)于圓錐一類(lèi)的可展曲面,采用解析法求解軌跡具有更高的精確度。圓錐構(gòu)件采用固定角軌跡鋪放時(shí),鋪放軌跡偏離測(cè)地線,鋪放過(guò)程有制造殘余壓縮應(yīng)變產(chǎn)生,隨圓錐截面變小而變大,即從大端到小端應(yīng)變逐漸增大[17]。纖維壓縮應(yīng)變過(guò)大的區(qū)域鋪放質(zhì)量較差,進(jìn)而影響制件的性能[18]。對(duì)此,本文對(duì)圓錐的幾何特征進(jìn)行解析,規(guī)劃出等測(cè)地曲率的鋪放軌跡,使整個(gè)制件的殘余應(yīng)變均勻分布,避免產(chǎn)生性能薄弱區(qū)。

1 等測(cè)地曲率曲線求解

1.1 應(yīng)變與測(cè)地曲率

由于預(yù)浸料中增強(qiáng)纖維彈性模量非常高,鋪放過(guò)程中纖維縱向拉伸變形能力有限,而纖維縱向受壓縮作用產(chǎn)生的微屈曲是預(yù)浸帶變形的主要機(jī)制。根據(jù)文獻(xiàn)[19]可得在平面上纖維鋪放的殘余應(yīng)變?yōu)?/p>

式中:w為帶寬;kg為測(cè)地曲率。式(1)表明,當(dāng)所使用的預(yù)浸帶寬度w一定時(shí),平面上鋪放軌跡測(cè)地曲率越小,纖維應(yīng)變絕對(duì)值越小,軌跡的可鋪放性越好。

實(shí)際鋪放的型面多為曲面,以自由曲面為對(duì)象研究其上任意一條曲線的特征,如圖1所示,e1、e2、e3為單位向量。C為曲面上一條曲線,P為曲線上的任意一點(diǎn),k為曲線在P點(diǎn)的曲率向量,t為曲面在P點(diǎn)的切向量,n為曲面在P點(diǎn)的法向量。根據(jù)微分幾何理論,曲線上的任意一點(diǎn)的曲率向量k可以分解成兩個(gè)部分:一個(gè)在曲面法線n的方向上,另一個(gè)在與n和曲線在該點(diǎn)切向量t都垂直的方向上:

式中:kn為曲線的法向曲率。kn是與曲面本身有關(guān)的曲率,它只會(huì)使預(yù)浸帶產(chǎn)生厚度方向的縱向彎曲變形,由于預(yù)浸料很薄(0.125～0.2 mm),不會(huì)對(duì)軌跡的可鋪放性產(chǎn)生影響。而測(cè)地曲率kg的存在則會(huì)使預(yù)浸帶產(chǎn)生側(cè)向彎曲變形進(jìn)而影響可鋪放性,所以對(duì)于任意的自由曲面的鋪放軌跡可將其測(cè)地曲率的大小作為評(píng)判軌跡纖維應(yīng)變大小的依據(jù)[20]。由此可以推出等測(cè)地曲率曲線上纖維殘余應(yīng)變處處相等。

1.2 等測(cè)地曲率曲線計(jì)算方法

如圖2所示,以圓錐的頂點(diǎn)為原點(diǎn),圓錐的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸建立直角坐標(biāo)系。圓錐面可以表示為XOZ平面內(nèi)一條直線l繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周掃過(guò)的空間,該直線過(guò)O點(diǎn)且不與X 軸、Z軸垂直,l與Z軸的夾角θ為圓錐的半頂角。圓錐面上任意一點(diǎn)P的位置可以通過(guò)u、v兩個(gè)變量表示,其中u表示l繞Z軸旋轉(zhuǎn)的角度,v表示P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離。點(diǎn)P的位置矢量OP記為r,則圓錐面可以表示為矢量函數(shù)r(u,v)的值域。該函數(shù)可以寫(xiě)成直角坐標(biāo)系的形式r(x,y,z),兩者的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

根據(jù)微分幾何的知識(shí)可知,空間曲線C可以寫(xiě)成位置矢量函數(shù)r(s)的形式,s為該點(diǎn)到曲線起始點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)。當(dāng)曲線C位于圓錐面上時(shí),其位置矢量函數(shù)還需滿足圓錐面的函數(shù)表達(dá)式,所以圓錐面上的曲線C的表達(dá)式為r(u(s),v(s))。由于該曲線具有等測(cè)地曲率的性質(zhì),從該性質(zhì)入手可以推導(dǎo)出u(s)和v(s),代入式(3)即可得到曲線在笛卡兒坐標(biāo)系下的參數(shù)方程。

微分幾何[21]中給出了測(cè)地曲率的計(jì)算公式為kg=r″(s)·(n(s)×r′(s)) (4)式中:r′(s)和r″(s)分別為r(s)的一階和二階導(dǎo)數(shù);n(s)為圓錐面的單位法向量。對(duì)于任意曲面r(u,v),其單位法向量n(u,v)的計(jì)算公式為

式中:ru(u,v)和rv(u,v)分別為r(u,v)關(guān)于u和v的一階偏導(dǎo)數(shù)。將式(3)代入圓錐面的直角坐標(biāo)表達(dá)式r(x,y,z)得到:

對(duì)式(6)分別求關(guān)于u、v的一階偏導(dǎo)數(shù),并代入式(5)和u=u(s)得到圓錐面的單位法向量:

因?yàn)榍€C位于圓錐面上,因此曲線C參數(shù)代入圓錐面參數(shù)方程依然成立。將u=u(s)、v=v(s)代入式(6)得到曲線C的參數(shù)方程:

對(duì)r(s)分別求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),并和式(7)一并代入式(4)中可得:

式(8)無(wú)法直接得出u(s)和v(s)滿足何種條件時(shí)測(cè)地曲率kg為常數(shù),不妨對(duì)特定的u(s)進(jìn)行討論,找出盡可能簡(jiǎn)單的曲線。

當(dāng)u′(s)=0時(shí),則u(s)為常數(shù),u″(s)=0,此時(shí)kg恒等于0。由u(s)為常數(shù)可知曲線C是圓錐的母線,同時(shí)也是圓錐的測(cè)地線,測(cè)地線測(cè)地曲率恒為0,也是等測(cè)地曲率曲線。

當(dāng)u′(s)≠0且u″(s)=0時(shí),不妨設(shè)u=as+b則:若要kg為常數(shù)則要通過(guò)多項(xiàng)式求和消去式(9)中v、v′、v″中的含s項(xiàng),式中多項(xiàng)式各項(xiàng)v、v′、v″的總次數(shù)都是2,若v=v(s)對(duì)于s求導(dǎo)不改變含s項(xiàng)的次數(shù),則可通過(guò)調(diào)整各項(xiàng)系數(shù)來(lái)消去含s項(xiàng)。常見(jiàn)函數(shù)中滿足此條件的有兩種,v=m ens和v=m cos(cs)+n sin(cs)(為簡(jiǎn)化計(jì)算設(shè)常數(shù)項(xiàng)為0,m、n、c為待定系數(shù))。分別代入式(9)可得:

首先分析式(10),若要消除e2ns中s的影響,則需要m=0或n=0(a≠0且圓錐sinθ＞0)。對(duì)于v=m ens而言,m=0時(shí)v=0,曲線C為圓錐的頂點(diǎn),不符合等測(cè)地曲率曲線的要求;當(dāng)n=0時(shí),v=m,此時(shí)曲線C為圓錐的截面圓,圓錐的截面圓是等測(cè)地曲率曲線。

接下來(lái)分析式(11),含s的項(xiàng)都是三角函數(shù)的二次項(xiàng),所以最佳的消除方式是通過(guò)正余弦平方和為1的方式消除三角函數(shù)項(xiàng)。因此需要將系數(shù)配平,最直接的方法是令c=a sinθ,代入式(11)得:

式(12)中各參數(shù)均為常數(shù),此種條件下曲線C是等測(cè)地曲率曲線。為進(jìn)一步確定曲線C的幾何信息,則要盡可能確定式(12)中的未知參數(shù),或者明確他們所代表的幾何意義。由圖2的圓錐坐標(biāo)圖和式(6)的圓錐表達(dá)式,很容易得到在此坐標(biāo)系下曲線C的弧長(zhǎng)微分表達(dá)式:

將u=as+b和v=m cos(cs)+n sin(cs)以及c=a sinθ代入式(13),并通過(guò)等式左右相等可得線C的表達(dá)式為

1.3 等測(cè)地曲率曲線的幾何特征

對(duì)式(13)作變量代換,令x=v cos(u sinθ),y=v sin(u sinθ),則式(13)變形為

式(15)是平面上弧長(zhǎng)的微分表達(dá)式,從式(14)空間弧長(zhǎng)表達(dá)式變換到式(15)平面弧長(zhǎng)表達(dá)式的過(guò)程中,d s并未發(fā)生變化,即保長(zhǎng)變換。該變換過(guò)程對(duì)應(yīng)的幾何意義是將圓錐的側(cè)面展開(kāi)成平面扇形的過(guò)程。接下來(lái)討論曲線C在展開(kāi)后的平面上具有什么樣的幾何特征。

為了計(jì)算簡(jiǎn)便,設(shè)式(14)中的b=0且v≠0,則由式(14)可得v=m cos(u sinθ)+n sin(u sinθ),代入x=v cos(u sinθ),y=v sin(u sinθ)并整理可得

從式(16)可以看出曲線C在展開(kāi)圖上是一個(gè)過(guò)原點(diǎn)(圓錐頂點(diǎn))的圓,其半徑為其測(cè)地曲率等于該圓的曲率。由于過(guò)頂點(diǎn)的圓在軌跡規(guī)劃時(shí)有種種的局限性,所以該結(jié)論工程意義有限。為了盡可能滿足軌跡規(guī)劃的要求,要將該結(jié)論推廣到展開(kāi)圖上一般圓上,即圓錐展開(kāi)圖上的任意圓弧都是等測(cè)地曲率曲線。欲證明該結(jié)論,需要大量的微分幾何知識(shí)。圓錐曲面r(u,v)的全微分d r=rud u+rvd v,簡(jiǎn)記為d r=rαdα,式中:rα=?r(u,v)/?α;α=u,v。后面出現(xiàn)的希臘字母α、β、γ、τ等若不特殊說(shuō)明,作為變量時(shí)取值需要分別遍歷u、v。根據(jù)微分幾何曲面論給出r(u,v)的第一基本形式和第二基本形式:I=d r·d r=(rα·rβ)dαdβ,II=d2r·n=(rαβ·n)dαdβ,其中n,這樣,曲面圓錐曲面的兩個(gè)基本形式為

而第一類(lèi)基本量gαβ和第二類(lèi)基本量bαβ可以分別寫(xiě)成一個(gè)2階矩陣,將矩陣記為(gαβ)。根據(jù)曲面論中第一基本形式的性質(zhì)可知,矩陣(gαβ)是正定矩陣,因此(gαβ)存在逆矩陣,記為(gαβ)。第一基本形式還具備另外一個(gè)重要性質(zhì):I與參數(shù)選擇無(wú)關(guān)。即當(dāng)x=x(u,v),y=y(u,v)時(shí),存在gˉαβ使得I=gˉαβdαdβ。因此從圓錐曲面變換r(u,v)到平面r-(u,v)的過(guò)程中第一基本形式I是不變的,第二基本形式II是不具備該性質(zhì)的,即II與參數(shù)選擇相關(guān)。而下面要證明測(cè)地曲率kg的值與參數(shù)選擇無(wú)關(guān),即kg中不含第二類(lèi)基本量。

由定義可得ru·rv=0,結(jié)合式(5)可知{r ;ru,rv,n} 是空間中的正交標(biāo)架,即ru、rv、n是線性無(wú)關(guān)的,而?rα/?β仍然是空間中的向量,因此不妨假定

即系數(shù)Dαβ恰好是圓錐曲面的第二類(lèi)基本量bαβ。在式(18)兩邊用切向量rτ作內(nèi)積,則得

函數(shù)r(u,v)的兩次偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)的次序無(wú)關(guān),因此rαβ關(guān)于下指標(biāo)α、β是對(duì)稱的,于是記號(hào)Cαγβ和Cγαβ關(guān)于下指標(biāo)α、β是對(duì)稱的。對(duì)gαβ=rα·rβ求偏導(dǎo)數(shù)得到并代入式(21)得到

將下標(biāo)調(diào)換可得到

將這兩式相加,再減去式(22),并且利用Cγαβ關(guān)于后兩個(gè)下標(biāo)的對(duì)稱性,則得

因此

由此可見(jiàn),式(19)的系數(shù)函數(shù)Cγαβ是由圓錐曲面的第一類(lèi)基本量及其一階偏導(dǎo)數(shù)決定的,因?yàn)榈谝换拘问接傻谝活?lèi)基本量決定,且第一基本形式與參數(shù)選取無(wú)關(guān),所以結(jié)合微分形式不變性可知,Cαγβ也是與參數(shù)選取無(wú)關(guān)的函數(shù)。

設(shè)圖1中的自由曲面為圓錐曲面r(u,v),其上的任意一條曲線u=u(s)、v=v(s)在空間中的參數(shù)方程為

r(s)=r(u(s),v(s))

沿曲線C建立正交標(biāo)架場(chǎng){r;e1,e2,e3},所以

結(jié)合式(2)和圖1以及微分幾何中對(duì)曲線曲率的定義可得:

在該式中代入式(18)可得

由于e3(s)=n,所以n⊥e2(s),因此

但是

因此,rγ·e2(s)的結(jié)果是rγ、n、e1(s)的混合積,混合積的幾何意義是三個(gè)向量構(gòu)成的平行六面體的體積,由于n是單位向量,故

因此

前文已經(jīng)證明Cαγβ只與曲面的第一類(lèi)基本量及其偏導(dǎo)數(shù)有關(guān),因此kg只依賴于曲面的第一類(lèi)基本量和曲線的參數(shù)方程,與參數(shù)選擇無(wú)關(guān)。由于kg中不含有曲面第二類(lèi)基本量,因此曲面作保長(zhǎng)變換x=v cos(u sinθ)、y=v sin(u sinθ)時(shí),測(cè)地曲率kg不發(fā)生變化。

由于圓錐曲面展開(kāi)成平面扇形的過(guò)程kg不變,而平面上有kn=0,k=kg·e2(s),e2(s)為平面內(nèi)的單位向量,即平面曲線的測(cè)地曲率等于其曲率。平面上任意圓的曲率是常數(shù),因此圓錐展開(kāi)圖上的任意圓弧在空間中都是等測(cè)地曲率曲線。

2 等測(cè)地曲率曲線工藝性分析

以錐角為60°的圓錐為例,圖3是小端直徑230 mm,大端直徑577 mm,長(zhǎng)300 mm的一個(gè)圓錐面,紅色軌跡(左側(cè))是固定角度軌跡,與圓錐面母線的夾角始終為30°。藍(lán)色軌跡(右側(cè))是以固定角軌跡的兩端點(diǎn)為起始點(diǎn)和終止點(diǎn),以圓錐曲面為支持面所做的測(cè)地線。綠色軌跡(中間)是介于固定角軌跡和測(cè)地線軌跡之間的一條等測(cè)地曲率曲線。等測(cè)地曲率曲線是三點(diǎn)確定的圓弧,分別是固定角軌跡的兩端點(diǎn)和固定角與測(cè)地線之間的一點(diǎn),本例中第三點(diǎn)取固定角軌跡中點(diǎn)與測(cè)地線軌跡中點(diǎn)的連線的中點(diǎn)。

圖3中各軌跡為自動(dòng)鋪放時(shí)的參考軌跡,即中心軌跡。以自動(dòng)鋪絲為例,計(jì)算寬度為6.35 mm的單根預(yù)浸紗沿各軌跡鋪放時(shí)產(chǎn)生的壓縮應(yīng)變,其中沿固定角度軌跡鋪放的壓縮應(yīng)變記為εa,沿等測(cè)地曲率軌跡鋪放的壓縮應(yīng)變記為εc,沿測(cè)地線軌跡鋪放的壓縮應(yīng)變記為εg,圓錐的截面直徑記為d。從小端到大端各部分應(yīng)變值如表1所示。從表中可以看出,固定角軌跡在小端附近壓縮應(yīng)變很大。實(shí)際鋪放時(shí)纖維不產(chǎn)生宏觀褶皺變形的臨界應(yīng)變值受很多工藝參數(shù)影響,根據(jù)文獻(xiàn)[18]可知在殘余壓縮應(yīng)變達(dá)到0.5%時(shí)纖維的力學(xué)性能已有明顯下降,本文暫且以0.5%為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行衡量,可以看出按固定角軌跡鋪放時(shí),小端附近的鋪放質(zhì)量很差。從表1中可知,沿測(cè)地線鋪放纖維不產(chǎn)生應(yīng)變;沿等測(cè)地曲率曲線鋪放時(shí)纖維產(chǎn)生一個(gè)較小的應(yīng)變,在鋪放容許的范圍之內(nèi)。從鋪放質(zhì)量來(lái)看,測(cè)地線優(yōu)于等測(cè)地曲率曲線,固定角軌跡有時(shí)不能滿足鋪放要求。

表1 小端至大端纖維壓縮應(yīng)變Table 1 Fiber compressive strain from small end to large end of cone

雖然沿測(cè)地線鋪放的鋪放質(zhì)量很好,但其鋪放方向與固定角度是有較大偏差的。表2計(jì)算了三種軌跡上從小端到大端各點(diǎn)處軌跡與圓錐母線的夾角,其中固定角軌跡與圓錐母線的夾角記為φa,等測(cè)地曲率軌跡與圓錐母線的夾角記為φc,測(cè)地線軌跡與圓錐母線的夾角記為φg。

從表2中可以看出,沿測(cè)地線鋪放時(shí),纖維方向與最初設(shè)計(jì)有較大偏差,其最大偏差已超過(guò)10°,這對(duì)制件的力學(xué)性能會(huì)有較大影響[22]。等測(cè)地曲率曲線在角度偏離上要小于測(cè)地線。

由此可以看出,等測(cè)地曲率曲線是一種在方向性和鋪放性上均介于固定角與測(cè)地線之間的一種曲線,即在具有較小的纖維應(yīng)變的情況下同時(shí)還能兼顧一定的方向性。等測(cè)地曲率曲線的位置可以通過(guò)圓弧的第三點(diǎn)來(lái)進(jìn)行調(diào)節(jié),使其更加靠近固定角曲線或是測(cè)地線,即更加注重方向性或是可鋪放性。因此在實(shí)際鋪放中可根據(jù)具體情況采用等測(cè)地曲率曲線來(lái)替代固定角曲線或測(cè)地線進(jìn)行鋪放。

為驗(yàn)證上述分析的合理性,以航天材料及工藝研究所提供的T300/603環(huán)氧樹(shù)脂預(yù)浸料為原料,以平面?zhèn)葟濅伔艑?shí)驗(yàn)代替錐面鋪放實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。式(1)指出纖維的壓縮應(yīng)變受預(yù)浸料寬度和測(cè)地曲率影響,1.3節(jié)證明了錐面曲線的測(cè)地曲率與展開(kāi)面上圓弧曲率等價(jià),因此可以用平面?zhèn)葟潓?shí)驗(yàn)來(lái)替代錐面鋪放實(shí)驗(yàn)。預(yù)浸料鋪放工藝條件如表3所示。

表2 小端至大端纖維角度Table 2 Fiber angle from small end to the large end of cone

結(jié)合表1和式(1)可以計(jì)算出應(yīng)變值對(duì)應(yīng)的曲率半徑,固定角應(yīng)變值最大值和最小值對(duì)應(yīng)的曲率半徑分別是505 mm和1 055 mm,等測(cè)地曲率應(yīng)變值對(duì)應(yīng)的曲率半徑為1 545 mm。圖4給出了不同曲率半徑下的寬度為6.35 mm單絲鋪放結(jié)果,當(dāng)圓弧半徑R=6 350 mm時(shí),預(yù)浸料表面光滑未出現(xiàn)褶皺,當(dāng)圓弧半徑R=1 270 mm時(shí),預(yù)浸料開(kāi)始出現(xiàn)少許皺褶,此時(shí)纖維的壓縮應(yīng)變?yōu)?.5%;當(dāng)圓弧半徑R=790 mm時(shí),預(yù)浸料尚未出現(xiàn)脫粘,此時(shí)應(yīng)變值為0.8%,當(dāng)圓弧半徑R=580 mm時(shí),預(yù)浸料已經(jīng)出現(xiàn)脫粘,此時(shí)應(yīng)變?yōu)?%。由此可以得出,沿固定角鋪放時(shí)從大端到小端,纖維褶皺會(huì)逐漸增多直至脫粘;而沿等測(cè)地曲率曲線鋪放時(shí)預(yù)浸料表面光滑無(wú)褶皺,鋪放效果較好。

表3 鋪放工藝參數(shù)Table 3 Laying process parameters

3 結(jié) 論

1)為解決圓錐面纖維鋪放的殘余應(yīng)變問(wèn)題,提出了等測(cè)地曲率軌跡規(guī)劃方法,并以測(cè)地曲率作為殘余應(yīng)變的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。探究了圓錐曲面上曲線的測(cè)地曲率與曲線方程之間的關(guān)系,并推導(dǎo)出展開(kāi)圖上過(guò)圓錐頂點(diǎn)的圓具有等測(cè)地曲率曲線的性質(zhì)。

2)證明了圓錐曲面展開(kāi)面上的任意圓在空間中都是等測(cè)地曲率曲線,使得在圓錐面上采用等測(cè)地曲率軌跡規(guī)劃成為可能。值得注意的是,該證明過(guò)程具有普適性,對(duì)于任意的可展曲面都可以采用相同的證明方法。即任意可展曲面的展開(kāi)圖上的圓在空間中都是等測(cè)地曲率曲線。

3)通過(guò)計(jì)算比較了等測(cè)地曲率曲線和固定角曲線與測(cè)地線的鋪放工藝性優(yōu)劣。等測(cè)地曲率曲線纖維的殘余應(yīng)變與固定角軌跡相比更小,鋪放角度的偏差比測(cè)地線更小。等測(cè)地曲率曲線在保證較小的纖維應(yīng)變的同時(shí)還能一定程度滿足纖維方向的要求,適用于圓錐曲面的小角度鋪放。

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Trajectory planning method for constant geodesic curvature curve of cone

LlU Yongjiao,WANG Xianfeng,XlAO Jun*

College of Material Science and Technology,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China

To solve the problem of excessive residual strain of fiber in conical shell laying process,a trajectory planning method with constant geodesic curvature is proposed.Analysis shows that the geometric curvature of the trajectory determines the residual strain of the fiber.The expression for the constant curvature curve is then derived by calculating the geometrical curvature of the arbitrary curve on the cone,and the constant geodesic curvature curve is proved to be a circular arc on the conical surface.The trajectory laying process is analyzed by calculating the residual strain of the constant geodesic curvature trajectory and its angle with the conical busbar.The results show that the constant geodesic curvature trajectory is better designability and laying processability than the fixed angle trajectory and the geodesic trajectory.

composite material;automated fiber placement;trajectory planning;constant geodesic curvature;conical surface

2016-11-01;Revised:2016-11-29;Accepted:2016-12-27;Published online:2017-02-17 16:14

URL:www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170217.1614.014.html

s:Major National Science and Technology Special Projects(2016ZX04002-001);A Project Funded by the Priority Academic Program Development of Jiangsu Higher Education lnstitutions

V261;TB332

A

1000-6893(2017)07-420904-08

10.7527/S1000-6893.2016.420904

2016-11-01;退修日期:2016-11-29;錄用日期:2016-12-27;網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2017-02-17 16:14

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170217.1614.014.html

“高檔數(shù)控機(jī)床與基礎(chǔ)制造裝備”科技重大專項(xiàng) (2016ZX04002-001);江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

*通訊作者.E-mail:j.xiao@nuaa.edu.cn

劉永佼,王顯峰,肖軍.圓錐面等測(cè)地曲率曲線的軌跡規(guī)劃方法[J].航空學(xué)報(bào),2017,38(7):420904.LlU Y J,WANG X F,XlAO J.Trajectory planning method for constant geodesic curvature curve of cone[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2017,38(7):420904.

(責(zé)任編輯:李世秋)

*Corresponding author.E-mail:j.xiao@nuaa.edu.cn