WGS-84模型下時差頻差半定規(guī)劃定位算法

李萬春*,彭吳可,彭麗,馬葉子,李英祥

1.電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)空間安全研究中心,成都 611731

2.成都信息工程大學(xué) 通信工程學(xué)院 氣象信息與信號處理四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610225

3.清華大學(xué)醫(yī)學(xué)院,北京 100084

WGS-84模型下時差頻差半定規(guī)劃定位算法

李萬春1,2,*,彭吳可1,3,彭麗1,馬葉子1,李英祥2

1.電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)空間安全研究中心,成都 611731

2.成都信息工程大學(xué) 通信工程學(xué)院 氣象信息與信號處理四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610225

3.清華大學(xué)醫(yī)學(xué)院,北京 100084

利用多顆衛(wèi)星的時差頻差對輻射源進(jìn)行位置和速度的測量,其本質(zhì)意義上是一個含有噪聲項(xiàng)的高度非線性方程組求解問題,針對地面目標(biāo)而言,可以采用基于WGS-84地球模型作為目標(biāo)位置和速度約束,更進(jìn)一步的增加了定位系統(tǒng)的復(fù)雜性。提出了一種基于半定規(guī)劃(SDP)的定位解算法,將非線性方程求解問題通過適當(dāng)?shù)乃沙?轉(zhuǎn)化為半定優(yōu)化(SDO)的問題,借助于業(yè)界較為成熟的CVX等優(yōu)化軟件進(jìn)行定位求解,并研究了該模型條件下的克拉美羅下界(CRLB)。仿真結(jié)果表明,該算法能夠較好地逼近克拉美羅下界。

WGS-84模型;時差定位;頻差定位;半定規(guī)劃;克拉美羅下界

空間中相距一定距離的多顆衛(wèi)星組成衛(wèi)星簇,測量地面輻射源輻射的電磁信號傳播到其中兩顆衛(wèi)星的到達(dá)時間差,以及信號到達(dá)兩衛(wèi)星的頻率差,結(jié)合輻射源所在地球面作為定位面,就可以實(shí)現(xiàn)輻射源定位[1-3]。

基于時差頻差測量的輻射源定位問題,相關(guān)文獻(xiàn)最早見于Ho和Xu提出的兩步加權(quán)最小二乘(2WLS)解析算法[1],其核心思想是在待求目標(biāo)位置與速度未知的情況下引入?yún)⒖颊镜侥繕?biāo)的斜距和斜距變化率,通過一定的代數(shù)轉(zhuǎn)換將復(fù)雜的非線性測量方程轉(zhuǎn)化為針對上述未知量的線性方程,采用加權(quán)最小二乘法(WLS)獲得未知量的初始解,再根據(jù)斜距與斜距變化率與目標(biāo)位置速度之間的約束關(guān)系,利用WLS得到最終的定位解。在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[5]引入了觀測器誤差,獲得了更為穩(wěn)健的定位解。文獻(xiàn)[6]引入了多維標(biāo)量的方式進(jìn)行目標(biāo)定位。文獻(xiàn)[7-11]從不同的角度討論了到達(dá)時差(TDOA)聯(lián)合到達(dá)頻差(FDOA)定位問題。

將半定規(guī)劃(SDP)引入到定位領(lǐng)域是當(dāng)下較為熱門的問題[12-16],Wang等[17]給出了一種基于SDP的TDOA與FDOA聯(lián)合定位算法,通過一定的轉(zhuǎn)換與松弛,將非線性測量方程轉(zhuǎn)化為SDP問題再求解。文獻(xiàn)[18-20]討論了幾種集中式的TDOA與FDOA聯(lián)合定位算法。

對于利用已知目標(biāo)的地理海拔高度進(jìn)行TDOA與FDOA的聯(lián)合定位問題,文獻(xiàn)[21]給出了一種解析算法,該算法通過非線性測量方程,將問題轉(zhuǎn)化為求解一元高階多項(xiàng)式方程。由于該方法沒有考慮到測量方程的誤差影響,所以在測量噪聲較大的情況下不夠穩(wěn)健。本文在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上,結(jié)合 WGS-84模型,并將該模型作為約束條件,提出了一種基于半定規(guī)劃的穩(wěn)健定位求解算法,仿真結(jié)果表明,該算法收斂較快,精度高,算法的穩(wěn)健性好,是一種有效的定位算法。論文章節(jié)安排如下:第1節(jié)為定位模型,第2節(jié)為定位算法,第3節(jié)為仿真分析,第4節(jié)為結(jié)論。

1 定位模型

假設(shè)某時刻在地固坐標(biāo)系(ECEF)中,空間中N顆衛(wèi)星的位置和速度分別為si(i=1,2,…,N)和˙si(i=1,2,…,N),分別接收地面上某一輻射源發(fā)射的同一脈沖信號,比較脈沖到達(dá)時間,得到N-1組獨(dú)立的TDOA,比較脈沖到達(dá)頻率(FOA),得到N-1組獨(dú)立的FDOA。在三維空間中,根據(jù)每一組獨(dú)立的時差測量和每一組獨(dú)立的頻差測量都可以分別得到一個單葉雙曲定位面,兩個雙曲面和地球面的交點(diǎn)就是目標(biāo)所在的位置。

假設(shè)該時刻衛(wèi)星和目標(biāo)的大地直角坐標(biāo)分別為si(i=1,2,…,N)、˙si(i=1,2,…,N)和u、˙u。若測得的時差、頻差為τi1、fi1,那么可得到測量方程為

式中:i=2,3,…,N,di1=cτi1,˙di1=cfi1,c為電磁波的傳播速率。

本算法以地球面作為定位面,對其進(jìn)行精確建模。通常使用的地球面都是正球面模型,該模型和真實(shí)地球面相去甚遠(yuǎn),所以采用和地球面密合較好的WGS-84地球橢球面模型。

在WGS-84坐標(biāo)系下,具有高程的目標(biāo)的直角坐標(biāo)和大地經(jīng)緯高坐標(biāo)的關(guān)系為

將式(3)兩端對時間求導(dǎo),可得

將式(1)、式(3)和式(4)所構(gòu)成的復(fù)雜非線性方程組聯(lián)立求解,即可求出目標(biāo)的大地坐標(biāo)向量[x y z]和速度向量[˙x ˙y ˙z]。

式(3)和式(4)可以分別簡記為

2 定位算法

2.1 基于TDOA和FDOA測量的目標(biāo)定位

將時差和頻差的測量噪聲寫作Δα=[nT˙nT],其 中n=[n21n31… ni1]T,˙n=[˙n21˙n31… ˙ni1]T。ni1、˙ni1分別為第i站和第1站之間的時差、頻差測量誤差。假設(shè)Δα～N(0,Qα),其中Qα為噪聲的協(xié)方差。將時差、頻差以及觀察站和輻射源的距離差、速度差的值定義為

整理后可得

式中:G=[-1N-1IN-1]。-1N-1為N-1行1列的全1向量,將兩式合并可得

由最大似然估計(jì)可知,待估計(jì)的參數(shù)應(yīng)該使已測量到的數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率盡可能的大,因此建立目標(biāo)函數(shù)為

2.2 目標(biāo)定位的加權(quán)最小二乘解

將以上最大似然估計(jì)轉(zhuǎn)化為加權(quán)最小二乘估計(jì),詳細(xì)的證明過程見文獻(xiàn)[1]。

式中:

其中:B1=2diag(r2,r3,…,rN);˙B1=2diag(˙r2,˙r3,… ,˙rN)。

要利用該方法求解需要假設(shè)初值^φ=[^uT^u·T]T。根據(jù)初值估計(jì)出加權(quán)矩陣^Q=^BQα^BT。在本文的計(jì)算中直接假設(shè)初值^φ=0,計(jì)算出結(jié)果后進(jìn)行一次迭代計(jì)算。

2.3 利用SDR方法得到WGS-84模型下的SDP形式

首先對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化:

由中間變量r1,˙r1的物理意義可以得到約束條件為

根據(jù)式(13)由柯西許瓦茲不等式可得到

將Y=yyT代入可變換為

由WGS-84模型約束等式(3)和式(4),可得到約束條件為

將式(16)代入SDP問題中可得到

據(jù)此,對于標(biāo)準(zhǔn)的半定規(guī)劃問題,可利用相關(guān)的凸優(yōu)化工具來求解。

如果目標(biāo)靜止的話,推導(dǎo)如上,只需要將y中的第4～6行的元素置零即可。最后得到靜止目標(biāo)定位求解的SDP為

3 仿真分析

本節(jié)中考察目標(biāo)靜止與運(yùn)動2種情況下的定位仿真。

1)靜止目標(biāo)的定位

采用5個衛(wèi)星觀察站進(jìn)行定位,衛(wèi)星觀察站的位置與速度(ECEF坐標(biāo))如表1所示。

假設(shè)目標(biāo)位置為u=[-1 961 3 395 5 020]km,設(shè)定WGS-84模型的參數(shù)分別為:長半徑a=6 378.137 km,偏心率e=0.003 352 810 664,h=0 km。該仿真主要針對于海平面上的目標(biāo),因此將問題簡化為目標(biāo)高程差為零來計(jì)算。仿真結(jié)果如圖1所示。

表1 觀察站的位置和速度Table 1 Location and velocity of observatories

圖1 靜止目標(biāo)不同定位方法的位置RMSE比較Fig.1 Comparison of location RMSE with different positioning methods for stationary target

2)運(yùn)動目標(biāo)的定位

設(shè)定目標(biāo)位置為u=[-1 961 3 395 5 020]km,速度為˙u=[-6.5 -10 -18]km/h。假設(shè)WGS-84模型的參數(shù)分別為:長半徑a=6 378.137 km,偏心率e=0.003 352 810 664,h=0 km。該仿真同樣是針對于海平面上的目標(biāo),因此將問題簡化為目標(biāo)高程差為零來計(jì)算。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 運(yùn)動目標(biāo)不同定位算法的位置和位置和速度RMSE比較Fig.2 Comparison of location and velocity RMSE with different positioning algorithms for moving target

仿真圖繪制了帶約束條件的SDP算法(SDPC)和不帶約束條件的SDP算法(SDPU)的仿真結(jié)果,同時還繪制了其分別的CRLB限。從理論分析和仿真結(jié)果圖2(a)與圖2(b)中可以得到,引入WGS-84模型約束后,定位的理論精度對比于無約束時有較大的提升,并且該定位算法的性能接近克拉美羅下界。

4 結(jié) 論

1)本文提出了一種在WGS-84模型下的時差頻差聯(lián)合SDP定位算法。

2)在測量噪聲適當(dāng)?shù)那闆r下,所提方法性能逼近CRLB。

3)相比解析算法[4],本文算法更具備穩(wěn)健性。

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附錄A

克拉美羅下界(CRLB)是一個無偏線性估計(jì)量能達(dá)到的最低方差,其值為Fisher矩陣的逆,Fisher矩陣定義為

式 中:q=[r21r31… rN1˙r21˙r31…˙rN1]T;ri1和˙ri1為沒有誤差的di1和˙di1即第i站和第1站之間真實(shí)的時差和頻差值;p(q;θ)為q的概率密度函數(shù),θ為待估計(jì)的參數(shù)。對于本文的算法,需要考慮兩種情況,一是靜止目標(biāo),二是運(yùn)動目標(biāo)。首先考察靜止目標(biāo)。

1)靜止目標(biāo)無約束CRLB

式中:qo(θ)為服從高斯分布的概率密度函數(shù)p(q;θ)的均值;Q為其協(xié)方差矩陣。

由文獻(xiàn)[17]可得

2)靜止目標(biāo)約束CRLB

由文獻(xiàn)[21]可知,當(dāng)存在額外的約束條件時其CRLB為

式中:F為約束條件關(guān)于估計(jì)量的梯度,即

其CRLB為

根據(jù)約束條件可計(jì)算得到

4)運(yùn)動目標(biāo)約束CRLB

由文獻(xiàn)[21]可知,當(dāng)存在額外的約束條件時

其CRLB為

CRLB(θ)=J-1-J-1F(FTJ-1F)-1FTJ-1(A8)

式中:F為約束條件關(guān)于估計(jì)量的梯度,即

Semidefinite programming algorithm with TDOA and FDOA measurements based on WGS-84 earth model

Ll Wanchun1,2,*,PENG Wuke1,3,PENG Li1,MA Yezi1,Ll Yingxiang2

1.Center for Cyber Security,School of Electronic Engineering,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 611731,China;
2.Meteorological lnformation and Signal Processing Key Laboratory of Sichuan Higher Education lnstitutes,School of Communication Engineering,Chengdu University of lnformation Technology,Chengdu 610225,China;
3.School of Medicine,Tsinghua University,Beijing 100084,China

ln essence,detecting the location and velocity of a radiation source by utilizing time difference of arrival/frequency difference of arrival(TDOA/FDOA)for multiple satellites can be deemed as a highly nonlinear solution problem within noise.For a ground target,the WGS-84 earth model is the constraint condition,which makes the location system become more complicated.ln this paper,a new algorithm for solving this location problem is proposed based on the semi-definite programming(SDP).Based on the novel algorithm,the nonlinear location problem can turn into a semidefinite optimization(SDO)by an appropriate relaxation which can be solved by some mature software like CVX.According to this model,the Cramer-Rao Lower Bound(CRLB)of the location problem is then given.The computer simulation demonstrates that the proposed algorithm can approach the CRLB effectively.

WGS-84 earth model;location by time difference of arrival,location by frequency difference of arrival;semidefinite programming;Cramer-Rao lower bound

2016-10-12;Revised:2016-11-28;Accepted:2017-03-17;Published online:2017-04-01 13:27

URL:www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170401.1327.002.html

Meteorological lnformation and Signal Processing Key Laboratory of Sichuan Higher Education lnstitutes

V19;TN967.1

A

1000-6893(2017)07-320843-08

10.7527/S1000-6893.2017.320843

2016-10-12;退修日期:2016-11-28;錄用日期:2017-03-17;網(wǎng)絡(luò)出版時間:2017-04-01 13:27

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170401.1327.002.html

氣象信息與信號處理四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金

*通訊作者.E-mail:liwanchun@uestc.edu.cn

李萬春,彭吳可,彭麗,等.WGS-84模型下時差頻差半定規(guī)劃定位算法[J].航空學(xué)報(bào),2017,38(7):320843.Ll W C,PENG W K,PENG L,et al.Semidefinite programming algorithm with TDOA and FDOA measurements based on WGS-84 earth model[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2017,38(7):320843.

(責(zé)任編輯:蘇磊)

*Corresponding author.E-mail:liwanchun@uestc.edu.cn