頻率不變寬帶波束形成權重系數的稀疏優化

張書瑞,馬曉峰*,盛衛星,韓玉兵

南京理工大學 電子工程與光電技術學院,南京 210094

頻率不變寬帶波束形成權重系數的稀疏優化

張書瑞,馬曉峰*,盛衛星,韓玉兵

南京理工大學 電子工程與光電技術學院,南京 210094

在基本的傅里葉變換頻率不變波束形成(FIB)基礎上,從減少抽頭權重系數數量,降低FIB運算量角度出發,提出基于最小l0范數的抽頭權重系數稀疏優化模型,并采用正交匹配追蹤(OMP)算法來求解該優化問題。在高增益、等波紋、低旁瓣FIB方向圖的要求下,所提出的優化方法使得稀疏率降低到3.53%,且能夠保證稀疏優化后的方向圖誤差小于1%。接著進一步開展陣元數量的稀疏優化,有效地減少了陣元通道數,進一步降低了算法實現的硬件復雜度。仿真結果驗證了所提方法的正確性和有效性。

相控陣;寬帶信號處理;頻率不變波束形成;稀疏優化;低復雜度

在雷達、通信、成像等領域中,系統寬帶化和一體化是發展趨勢。寬帶雷達具有更強的抗干擾能力和更高的距離分辨率,可以獲取更多的目標特征信息,同時,寬帶系統也有利于雷達、通信和成像系統的多功能一體化集成。因此,寬帶數字陣列天線的需求越來越迫切[1-5],開展低成本高效寬帶數字波束形成技術的研究具有十分重要的理論價值和現實意義[6-9]。

空時聯合優化結構常用于寬帶陣列信號處理,這類方法所需的空時二維系數規模較大,迭代收斂速度慢,且單次迭代運算復雜。另外,空時聯合優化方法需要預延時結構來實現波束指向控制,無論在模擬域還是數字域,延時誤差均是不可避免的,這會造成寬帶波束形成性能的嚴重下降[10-11]。空頻聯合優化方法也是寬帶自適應陣列信號處理的主要研究方向[6,12],由于這類方法將時域信號轉換到變換域上,再進行自適應陣列信號處理,計算量較大。

頻域不變波束形成(Frequency Invariant Beamforming,FIB)能夠有效地解決寬帶波束形成頻率不一致的問題,所以FIB是近年來寬帶波束形成的研究熱點。文獻[6,13-14]提出了基于傅里葉變換的均勻線陣FIB,該結構與空時聯合優化技術所采用的抽頭延時結構相同,抽頭權重系數的求解只需離散傅立葉逆變換(Inverse Discrete Fourier Transform,IDFT)和加窗處理即可。該方法實現簡單,并且能夠推廣到多維陣列。文獻[15]提出了基于子帶分解的FIB,該方法將通帶范圍內的信號分解為相應子帶進行窄帶波束形成,然后利用最小二乘法實現FIB,由于該方法要進行信號子帶分解,增加了計算復雜度。文獻[16]利用最小二乘(Least Squares,LS)、線性約束(Constrained Least Squares,CLS)、無約束(Unconstrained Least Squares,ULS)和整體約束(Constrained Total Least Squares,CTLS)準則來計算FIB抽頭權重系數。在不同準則約束下,優化目標均為不同頻點方向圖與參考頻點方向圖的均方誤差最小。這些準則的優化目標直接,但得到的FIB方向圖性能和選取參考方向圖有很大的關系,計算復雜度較高;若要實現高增益、等波紋、低旁瓣等高要求的FIB方向圖,權重計算復雜度會進一步提高,方向圖的頻域一致性也會惡化。

針對FIB的零陷干擾抑制問題,文獻[17]利用固定角度方向零陷約束和等波紋原型濾波器,實現了零陷可控的低旁瓣FIB。同時,針對FIB的系數稀疏優化問題,文獻[17]還提出了一種門限稀疏約束優化方法,但是,該方法難以確保方向圖誤差控制在可接受的范圍內,且無法實現抽頭延時線(Tapped Delay Lines,TDLs)的稀疏。文獻[18]提出了基于壓縮感知(Compressive Sensing,CS)的FIB稀疏理論,該文獻將最小l0范數問題退化到最小l1范數上求解,由于約束條件放寬,基于最小l1范數求得的有效權重系數個數要大于基于最小l0范數的方法。另外該方法是利用文獻[16]提出的FIB準則來計算未稀疏的抽頭權重系數,計算復雜度高。

在高增益、等波紋、低旁瓣FIB方向圖的要求下,方向圖綜合需要消耗大量的自由度,增加了稀疏優化的難度。本文在高增益、等波紋、低旁瓣的傅立葉變換FIB基礎上,提出了求解基于最小l0范數抽頭權重系數稀疏約束的優化模型,在FIB方向圖惡化程度受控的前提下,實現了稀疏權重迭代過程的快速收斂,優化得到了稀疏表示的抽頭權重系數。在此基礎上,增加了抽頭延時線的稀疏優化方法,該優化方法對各抽頭延時線的可視期望信號增益進行判斷,若不滿足增益要求,優化方法會消除該抽頭延時線的權重系數,即有效地減少了陣元通道(橫向濾波器)數。本文所提出的稀疏優化方法實現簡單,仿真結果也驗證了本文方法的正確性和有效性。

1 高增益等波紋低旁瓣FIB

如圖1所示,設均勻線陣含有M個各向同性的全向天線,陣元間距d取通帶范圍內最高頻率對應波長的一半。采用如圖2所示的空時抽頭結構實現頻率不變的高增益、等波紋、低旁瓣FIB,每個陣元后的橫向濾波器階數為K。

圖1 均勻線陣示意圖Fig.1 Equally spaced linear array

圖2 頻域不變波束形成結構Fig.2 Frequency invariant beamforming structure

設Sm(k)(m=1,2,…,M)為k時刻、第m個陣元接收到的信號,其表達式為

式中:c為光速;f為信號頻率;θ為來波信號方向;Ts為采樣周期;fs為采樣頻率。

定義am,k(m=1,2,…,M,k=1,2,…,K)為FIB抽頭權重系數,那么FIB的方向圖響應H(f,θ)可以表示為

[6,14],定義F1=f/fs,F2=(df sinθ)/c,將其代入式(2)中,得到方向圖函數G(F1,F2)關于F1和F2的表達式為

由式(3)可知,方向圖函數G(F1,F2)與FIB抽頭權重系數am,k滿足二維離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)對關系,即G(F1,F2)為am,k的二維頻響特性。那么,只要使得G(F1,F2)與來波信號頻率f無關,再對G(F1,F2)關于F1和F2進行二維逆離散傅立葉變換(Inverse DFT,IDFT),就能得到基于傅立葉變換的FIB抽頭權重系數am,k。要使得波束方向圖與頻率無關,只與掃描角度有關,那么FIB的方向圖頻響特性應表示為

H(f,θ)=G(F1,F2)=一般地,ΔΦ=0°,U(sinθ)為只與波束指向角度有關的函數。由F1和F2的定義可知

文獻[19]指出,時域低通FIR濾波器的頻響特性與空域波束形成方向圖具有對應的關系,那么式(4)中的U可以通過原型低通等波紋濾波器的頻響特性來表征,這樣就可以設計得到期望的高增益、等波紋、低旁瓣FIB方向圖。

當波束指向法向0°時,相當于原型低通等波紋FIR濾波器的頻響特性的歸一化頻率F=0。因為sinθ∈[-1,1],F∈[-0.5,0.5],并且要滿足當F=0時,sinθ=0,根據文獻[6,14],定義F=sinθ/2。同理,若波束指向偏離法向θ0時,原型低通FIR濾波器的頻率響應就要在頻率維上平移sinθ0/2,那么就有F=(sinθ-sinθ0)/2。因為波束指向法向(0°)和偏離法向(θ0)的分析方法相同,為了簡化分析,后續僅考慮波束指向法向的情況,即F=sinθ/2。

已知X階低通等波紋FIR濾波器的系數為p(x),且X一般為奇數。那么該低通等波紋FIR濾波器的頻響特性P(F)表示為

由F=sinθ/2,式(4)中的U(sinθ)可以表示為

那么,高增益、等波紋、低旁瓣FIB的抽頭權重系數am,k的計算步驟為

步驟1 將式(7)代入式(4),可得G(F1,F2)=

步驟2 對G(F1,F2)進行二維IDFT,求得q(n1,n2)。

步驟3 對q(n1,n2)在n1和n2維度上分別使用M點和K 點的窗函數進行加窗處理,從而求得高增益、等波紋、低旁瓣FIB的抽頭權重系數am,k(m=1,2,…,M,k=1,2,…,K)。

2 基于稀疏優化的FIB

為了描述方便,對第1節給出的FIB表述進行重新建模。將通帶范圍內的寬帶信號均分為I個子帶,將空域掃描角度范圍等間隔地分為J份,那么不同頻率不同角度的來波信號S(f,θ)表示為

在式(9)～式(12)中,m=1,2,…,M,k=1,2,…,K。在式(12)中,sm,k(fi,θj)表示頻率為fi(i=1,2,…,I)、來波方向為θj(j=1,2,…,J)的信號經過第m個陣元的第k個抽頭延時后的數據。將第1節所求得的未稀疏FIB抽頭權重系數

am,k(m=1,2,…,M,k=1,2,…,K)改寫為向量形式a:

那么該FIB頻響特性,即方向圖響應可以描述為

式(15)給出了未稀疏FIB在不同頻率下的方向圖響應。接下來,定義稀疏FIB的權重系數向量w為

式中:wm,k為重新定義的第m個陣元的第k個抽頭權重系數。若m=^m、k=^k位置的抽頭權重系數經過稀疏優化后,為非有效系數,則w^m,^k=0。那么稀疏后的FIB方向圖響應H～(f,θ)可以重新描述為

定義稀疏優化后FIB方向圖的相對誤差為

由式(19)方向圖相對誤差的定義可知,ε表示稀疏優化FIB方向圖在主瓣區和旁瓣區與未稀疏FIB方向圖的相對誤差。該參數描述了稀疏優化FIB方向圖與未稀疏FIB方向圖相比的惡化程度。ε越小惡化程度越小。權重系數稀疏約束引入的目的是盡可能多的減少有效抽頭權重系數的數量,且保證方向圖誤差在可接受的范圍內。那么抽頭權重系數稀疏優化問題就可以用式(20)來描述:

式中:w0為w的l0范數,即w中非零元素的個數;·2表示l2范數;α描述了稀疏優化方法允許方向圖相對誤差的最大值。

若式(20)中的信號為窄帶信號(即I=1)、橫向抽頭濾波器的個數K=1,則該問題就退化為文獻[20-21]中的窄帶陣元稀布問題。本文利用文獻[22]提出的正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法來求解式(20)的最小l0范數問題。OMP算法解決的是最小l0范數問題,它的基本思想是:以貪婪迭代的方法選擇觀測矩陣S(f,θ)的行,在每一次的迭代過程中,從完備原子庫(即觀測矩陣S(f,θ))中選擇與方向圖Hr(f,θ)最匹配的原子(即S(f,θ)的行),并將所選原子利用Gram-Schmidt正交化方法進行正交處理,再將Hr(f,θ)在這些正交原子構成的空間上投影,得到Hr(f,θ)在各個已選原子上的分量和余量,然后在剩余原子庫中繼續選出與Hr(f,θ)余量最為匹配的原子,經過數次迭代之后,當方向圖相對誤差足夠小時(例如滿足小于允許的最大相對誤差α),Hr(f,θ)便可以由選出的原子線性表示,線性權重即為所要求的稀疏權重系數w。

對于抽頭延時結構,式(20)只能在滿足目標函數的條件下,實現對抽頭權重系數的稀疏優化。為了實現對抽頭延時線的稀疏優化,即將陣元通道數進一步減少,本文提出了抽頭延時線的稀疏優化約束。其原理為,當該陣元后的抽頭延時權重對主瓣范圍Θs內信號的增益小于給定的抽頭延時線稀疏閾值β時,將該抽頭延時線上的權重系數全部置為0,即消除該抽頭延時線。那么該抽頭延時線稀疏優化約束表示為

式中:m=1,2,…,M。

那么基于抽頭權重系數稀疏和抽頭延時線稀疏的寬帶FIB稀疏優化方法的步驟可以描述為

步驟1 初始化:設置式(20)和式(21)中的α和β,余量H0=Hr(f,θ),迭代次數n=1,稀疏權重系數^w0=0MK×1,支撐集^S0=S(f,θ),并且為了描述方便,將支撐集分解為行向量表示的形式^S0=[S0(1) S0(2) … S0(MK)],索引集A=?。

步驟2 計算相關系數u=^Sn-1[Hn-1]T,將u中最大值對應的位置記錄為λ(n),并將支撐集^Sn-1對應位置的向量記錄為ˉS=Sn-1[λ(n)]。

步驟3 更新支撐集^Sn,將支撐集中對應的索引向量各元素置為0,即Sn[λ(n)]=[0 0 …0]1×IJ,并且更新索引集A=A∪ˉS。

步驟4 利用最小二乘法計算式(22),進行

權重逼近,求得W:

步驟5 得到第n次迭代的抽頭稀疏系數^wn[λ(x)]=W(x),x=1,2,…,n。

步驟6 令w=^wn,通過式(21)進行抽頭延時線是否稀疏的約束判斷。

步驟7 若滿足式(23),停止迭代;否則,通過式(24)求得余量Hn,令n=n+1,跳轉到步驟2。

按照上述步驟,再結合第1節的內容,就可以得到基于抽頭權重系數稀疏和抽頭延時線稀疏的高增益、等波紋、低旁瓣FIB的稀疏權重系數。

為了評價稀疏優化FIB方向圖的一致性,參照文獻[18],定義方向圖頻域一致性均方誤差R為式中:fr為參考頻率。在FIB的實際應用當中,需要確保通帶范圍內的方向圖主瓣區保持一致,從而減少天線系統對寬帶信號接收的失真影響;旁瓣區則只需要有較低的旁瓣特征即可。因此,式(25)中的積分求和范圍為通帶頻率的主瓣區。

3 仿真分析

首先將給出原型低通等波紋FIR濾波器的頻響特性,即期望的FIB方向圖,并且給出未稀疏的高增益、等波紋、低旁瓣FIB的方向圖;接著對本文提出的FIB稀疏方法進行仿真驗證,并與文獻[18]提出的基于最小l1范數稀疏約束的FIB和文獻[17]所提出的基于門限約束的FIB進行性能比較和分析。

3.1 未稀疏FIB的方向圖

為了得到高增益、等波紋、低旁瓣特性的頻率不變方向圖,原型低通等波紋FIR濾波器的階數X=37,通過式(7)得到該原型濾波器的頻響特性,即期望的FIB方向圖。均勻線陣FIB的陣元間距為d=c Ts[13-14],陣元數M=59,橫向濾波器階數K=71,通帶范圍(歸一化頻率)為f/fs∈[0.3,0.5]。

由圖3的歸一化幅頻響應可知,原型低通等波紋FIR濾波器的頻響特性(即期望的方向圖)的旁瓣電平為 -40 dB左右,3 dB波束寬度為4.1°。

由圖4的未稀疏FIB不同頻率下歸一化方向圖可知,基于傅立葉變換下FIB的3 d B波束寬度為4.1°左右、旁瓣電平為-40 dB,且能保持較高的頻率一致性。

圖3 原型濾波器歸一化幅頻響應Fig.3 Normalized frequency response of prototype filter

圖4 未稀疏FIB的歸一化方向圖Fig.4 FIB beam pattern without sparse optimization

3.2 稀疏FIB的算法仿真和性能分析

在本文的稀疏優化算法中,稀疏后的FIB方向圖允許的最大相對誤差均為1%,即式(23)中的α=0.01。對于本文所提抽頭延時線稀疏優化方法,式(21)中的β=2×10-5;主瓣區Θs為[-3°,3°]。其他仿真條件與3.1節相同。

對于本文所提算法,仿真分為兩部分,一部分為只有基于最小l0范數的抽頭權重系數稀疏約束,沒有抽頭延時線的稀疏約束;另一部分為在最小l0范數權重系數稀疏約束的基礎上,加入抽頭延時線的稀疏約束,即式(21)。

由圖5和圖6稀疏優化權重FIB的歸一化方向圖可知,擁有抽頭延時線約束和不擁有抽頭延

圖5 抽頭稀疏優化的FIB歸一化方向圖Fig.5 FIB beam pattern with proposed sparse design of taps

圖6 抽頭和延時線稀疏優化的FIB歸一化方向圖Fig.6 FIB beam pattern with proposed sparse design of taps and TDLs

圖7 抽頭稀疏優化后的有效抽頭位置

圖8 抽頭和延時線稀疏優化后的有效抽頭和被消除延時線的位置Fig.8 Location of effective taps and eliminated TDLs with proposed sparse design of taps and TDLs

Fig.7 Location of effective taps with proposed sparse時線約束的FIB方向圖均能夠保持4.1°的3 dB主瓣寬度,并且能夠實現-40 d B左右等波紋低旁瓣的要求。由圖7和圖8稀疏優化后的有效抽頭位置可以看到,未添加抽頭延時線稀疏約束的抽頭陣列每一個通道均含有有效權重系數,接收通道數未減少,而添加抽頭延時線稀疏約束的抽頭陣列減少了6個陣列單元,有效的減少了接收通道數。

參照文獻[18],求解基于最小l1范數的抽頭權重系數稀疏約束,利用MATLAB的CVX工具箱來求解該優化問題,設置的迭代停止條件與本文方法相同,為稀疏后的FIB方向圖相對誤差小于1%。另外將文獻[17]門限稀疏約束的門限設置為1.2×10-3,即若權重系數的絕對值小于約束門限時,該權重系數設置為0。其他仿真條件與3.1節相同。圖9和圖10將給出這兩種稀疏約束方法的有效抽頭位置。

圖9 利用文獻[18]理論稀疏優化后的有效抽頭位置Fig.9 Location of effective taps with method in Ref.[18]

圖10 利用文獻[17]理論稀疏優化后的有效抽頭位置Fig.10 Location of effective taps with method in Ref.[17]

由圖9和圖10可知,文獻[17-18]所提出的稀疏約束方法能夠減少抽頭權重系數,但是有效抽頭個數要大于本文所提出的方法,且每一個抽頭延時線均含有有效權重系數,無法實現抽頭延時線的稀疏。

表1給出了各個算法迭代次數、稀疏后的有效權重系數個數(稀疏率)、稀疏后方向圖的相對誤差、頻率一致性以及陣元通道稀疏后對FIB性能影響的分析。與未稀疏方法相比,所有抽頭權重系數稀疏算法均能夠有效地減少抽頭權重系數個數,其中基于最小l0范數無抽頭延時線稀疏約束的FIB擁有最小的有效權重系數。與文獻[18]的基于l1范數稀疏約束和文獻[17]的門限稀疏約束相比,本文基于l0范數的稀疏約束能夠大量地減少抽頭權重系數。由式(19)計算不同稀疏方法的方向圖相對誤差,基于最小l1范數和本文所提方法均能夠滿足1%的方向圖相對誤差。由于基于約束門限的稀疏方法沒有方向圖誤差約束,所以相較其他稀疏約束方法,其方向圖相對誤差較大。利用式(25),計算各個FIB的方向圖一致性R,其中通帶范圍內的主瓣區Θs為[-3°,3°],歸一化參考頻率為fr/fs=0.4。相較未稀疏和其他稀疏方法,本文所提方法能夠滿足方向圖一致性的要求,在通帶范圍內的主瓣區能夠保證較好的方向圖一致性,從圖5和圖7的不同頻率下歸一化方向圖也可以得到相同的結論。

由表1還可知,抽頭權重稀疏優化的迭代次數和有效權重個數是相同的。但是附帶抽頭延時線稀疏約束的優化方法有效權重個數是小于迭代次數的;并且,相較抽頭權重稀疏優化方法,附帶抽頭延時線稀疏約束的優化方法需要更多的迭代次數,擁有更多的有效抽頭權重個數。這是由于某幾次迭代在步驟5中利用式(21)進行條件判斷,置零了所得到的有效權重,需要重新尋找與Hr(f,θ)余量最為匹配的原子,造成了迭代步驟次數增加。從消除通道陣元數來說,只有本文所提基于最小l0范數抽頭權重系數稀疏約束和抽頭延時線稀疏約束能夠在高增益、等波紋、低旁瓣的FIB要求下,有效地稀疏抽頭數和通道數。

表1 不同算法的性能分析Table 1 Performance analysis of different algorithm

圖11 稀疏率與算法性能的關系Fig.11 Relationship of sparse rate and algorithm performance

由圖11可知,隨著稀疏率的逐漸增加(即有效抽頭個數的逐漸增多),本文所提算法的迭代次數逐漸增加,但稀疏優化方向圖的相對誤差逐漸減小。所以要得到較低的方向圖相對誤差,就要有較多的有效抽頭權重個數(大的稀疏率),需要更多的算法迭代次數。

4 結 論

從降低FIB運算量的角度出發,本文提出了如下的稀疏優化方法。

1)提出了基于l0范數權重系數稀疏約束的優化模型和求解方法,確保方向圖惡化在一定范圍內的前提下,有效地實現FIB抽頭延時權重系數的稀疏優化。

2)在1)基礎上,增加了抽頭延時線的稀疏約束,在有效稀疏抽頭權重系數的同時,減少了陣元通道數,進一步降低了算法實現的硬件復雜度。

本文算法實現簡單,有利于寬帶陣列天線在低復雜度的情況下,實現高增益、等波紋、低旁瓣等高指標要求的FIB方向圖。仿真結果驗證了本文算法的正確性和有效性。

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Sparse optimization for weight coefficient of wideband frequency invariant beamforming

ZHANG Shurui,MA Xiaofeng*,SHENG Weixing,HAN Yubing

School of Electronic and Optical Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China

To reduce the computational complexity of the basic Fourier transform frequency invariant beamforming(FlB),the sparse optimization for tap weights of the FlB is proposed based on minimum l0norm.The optimization is solved by the orthogonal matching pursuit(OMP).,With the proposed method,the sparse rate of the effective tap weights decreases to 3.53%when the relative error of the FlB beam pattern is less than 1%.At the same time,the beam patterns of FlB synthesized by sparse tap weights can hold high gain,equiripple and low sidelobes.To reduce the number of tapped delay lines(TDLs),the sparse optimization for the TDLs is also presented,which effectively decreases the number of sensor elements,and reduces the implementation complexity.The simulation results verify the correctness and effectiveness of the proposed method.

phased array;wideband signal processing;frequency invariant beamforming;sparse optimization;low complexity

2016-09-18;Revised:2016-12-13;Accepted:2017-01-17;Published online:2017-01-19 08:27

URL:www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170119.0827.002.html

s:National Natural Science Foundation of China(61401207);Key Projects Foundation of Shanghai Aerospace(SAST201437);College Graduate Scientific Research lnnovation Fund in Jiangsu Province of China(KYZZ16_0187)

TN958.92

A

1000-6893(2017)07-320794-09

10.7527/S1000-6893.2017.320794

2016-09-18;退修日期:2016-12-13;錄用日期:2017-01-17;網絡出版時間:2017-01-19 08:27

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170119.0827.002.html

國家自然科學基金(61401207);上海航天基金重點項目(SAST201437);江蘇省研究生培養創新工程(KYZZ16_0187)

*通訊作者.E-mail:maxiaofeng@njust.edu.cn

張書瑞,馬曉峰,盛衛星,等.頻率不變寬帶波束形成權重系數的稀疏優化[J].航空學報,2017,38(7):320794.ZHANG S R,MA X F,SHENG W X,et al.Sparse optimizationfor weight coefficient of wideband frequency invariant beamforming[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2017,38(7):320794.

(責任編輯:蘇磊)

*Corresponding author.E-mail:maxiaofeng@njust.edu.cn