基于無偏LS-SVM的混沌系統的混合同步控制*

趙垚鑫， 張國山

(天津大學 電氣與自動化工程學院，天津 300072)

基于無偏LS-SVM的混沌系統的混合同步控制*

趙垚鑫， 張國山

(天津大學電氣與自動化工程學院，天津300072)

為實現超混沌系統與混沌系統的混合同步控制，通過對主系統采樣，獲得訓練樣本數集，設計了從系統混合同步軌線的形式；采用無偏最小二乘支持向量機(LS-SVM) 的方法，引入核函數，獲得優化目標，根據優化目標，求出混合同步軌線，設計了控制器。以超混沌Lorenz-Stenflo系統為主系統，Chen混沌系統為從系統為例，基于Matlab進行數值仿真，驗證了方法的有效性。

混沌系統； 最小二乘支持向量機； 混合同步

0 引 言

混沌同步在傳感器優化[1]、圖像信號處理[2]、保密通信等領域展現出了重要的應用價值和前景[3]，成為非線性科學領域的熱點課題，得到廣泛研究。

與混沌系統比較，超混沌系統具有2個或2個以上正的Lyapunov指數，其動力學行為更加隨機、更加不可預測，具有更高的保密性，在各領域應用更加廣泛。近年來，提出了介于兩個混沌系統之間的混合同步概念，如Chen系統和Lu系統的自適應混合同步[4]，超混沌Lorenz系統和超混沌Qi系統的混合同步，基于被動法的超混沌Lu系統的混合同步[5]，基于主動非線性法的Liu系統和Chen系統的混合同步[6]，基于非線性法的Arneodo系統和Rossler混沌系統的混合同步等。

本文基于數據驅動思想，采用最小二乘支持向量機(least square support vector machine,LS-SVM)算法，通過對主系統求解，得到訓練樣本數集，結合從系統，在無偏LS-SVM框架下求出混合同步軌線，設計了控制器，實現主從系統的混合同步控制。此外，根據無偏思想[7]，消去計算過程中的偏置項，省去冗余計算，改進了計算精度。

1 超混沌與混沌系統的混合同步控制

1.1 問題描述

考慮如下非線性混沌系統，系統(1)為主系統，系統(2)為從系統

(1)

(2)

式中x,y∈Rn;f,g為R×Rn→Rn的可微函數；u(t,x,y)為控制輸入。

定義混合同步誤差e=x-qy，設計控制器u使得具有同初值x0,y0的系統滿足

分別取q=1，q=-1，可實現系統(1)，(2)的同步與反同步，將其結合在主從系統的同步控制中，即可實現混合同步。

1.2 混合同步控制器設計

首先，通過四階龍格—庫塔法對主系統(1)進行數值求解，得

式中n為狀態向量維數；m為每一維訓練樣本點個數。

根據文獻[8]闡述的回歸預測無偏LS-SVM的主要思想，可將混沌系統混合同步問題轉換為非線性系統的回歸問題，設混沌系統(2)的混合同步軌線為

(3)

式中wl為權重向量；b為偏置項;φ(t)為非線性映射函數，將輸入向量由原空間映射到高維特征空間。由于偏置項b的存在，會導致后續計算中系數矩陣冗余，為提高計算速度與精度，在此引入常值參數λ，將偏置項合并到權值向量wl中，在形式上消除偏置項b，消除冗余計算。設

可將式(3)轉換為

(4)

同理，將式(2)中f(x)轉化到高維空間，其形式如下

(5)

(6)

(7)

(8)

式中i=2,…,m;j=1,…,m;l=1,…,n。根據Karush-Kuhn-Tucker(KKT)最優化條件，對各個變量求偏導數，可得

(9)

式中 通常Φ(·)的表達式未知，為此，引入核函數，從而避免高維空間中的點積運算，簡化計算。由于混沌系統通常用微分方程來描述，在此對核函數的導數進行定義，根據Mercer[9]定理，特征映射函數[7]的導數可以寫成核函數導數的形式

例如

本文采用徑向基核函數，其表示形式為

K(x,xk)=exp{-(x-xk)2/σ2}

(10)

代入求解矩陣方程式(10)，可得到系數矩陣，則由式(4)可知，從系統的混合同步軌線為

(11)

由式(5)可知，f(x)近似形式為

(12)

u(t)辨識形式為

(13)

為了說明該控制器的有效性，將其代入式(2)，重構該系統，形式如下

(14)

根據式(14)，通過龍格—庫塔法求該系統的解并將其與式(1)的參考軌跡對比。

2 仿真實驗

為驗證本文方法的有效性和優越性，以超混沌Lorenz-Stenflo系統[11]為主系統， Chen系統為從系統，采用四階龍格—庫塔法，基于Matlab進行混合同步數值仿真。

例：主系統為超混沌Lorenz-Stenflo系統

(15)

式中y=[y1,y2,y3,y4]T∈R4為狀態向量，初始狀態為y(0)=[0.028,0.02,0.03,0.04]T。

從系統為Chen系統

(16)

式中x=[x1,x2,x3,x4]T∈R4為狀態向量，初始狀態為x(0)=[5,6,7,8]T;u(t)∈R4為待求的控制器。

定義混合同步誤差：el=xl-qlyl，l=1,2,3,4，其中，當ql=1時，為系統同步控制；q1=-1，為系統反同步控制。文中，取q1=q3=1，q2=q4=-1。取超混沌系統的離散解采樣樣本容量m=500，作為訓練點，采樣區間t∈[0,30]s。

超混沌Lorenz-Stenflo系統與 Chen系統混合同步控制軌線曲線如圖1所示。

圖1 主系統與從系統的混合同步軌線

由圖1(a),(c)看出:x1-y1,x3-y3運動軌跡的方向一致，且基本重合，表明在控制器的作用下達到了同步。由圖1(b)，(d)看出:x2-y2,x4-y4運動軌跡方向完全相反，幅值基本相等，表明在控制器的作用下達到了反同步。

設計的最優控制器，Chen系統的控制輸入信號如圖2所示。其中(a)，(c)實現了x1-y1,x3-y3的同步控制；(b)，(d)實現了x2-y2,x4-y4的反同步控制。

圖2 混合同步控制器

圖3 主從系統的誤差曲線

由圖3可知:在混合同步控制器的作用下，x1-y1,x3-y3,x2-y2,x4-y4的軌線誤差均隨時間的變化趨于零，且收斂速度較快。

仿真結果表明:在控制器的作用下，超混沌Lorenz-Stenflo系統與 Chen系統的混合同步誤差系統漸近穩定，隨著時間的變化很快趨于零，達到了設計要求，實現了混合同步控制。

3 結 論

采用LS-SVM方法，根據主系統的采樣數據，訓練從系統，求得超混沌系統和混沌系統的混合同步控制器和混合同步軌線。設計的控制器可以使主從系統達到混合同步，且控制器的顯式表達是連續可微的閉式形式。在主系統中各待同步狀態已知或可通過狀態觀測器估算的前提下，可通過搭建LS-SVM框架完成混合同步控制器的設計以及從系統中待同步狀態的同步跟蹤。以Lorenz-Stenflo超混沌系統與Chen混沌系統為例，仿真結果充分說明了同步方法的科學性和有效性。

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HybridsynchronizationcontrolofchaoticsystemsbasedonunbiasedLS-SVM*

ZHAO Yao-xin, ZHANG Guo-shan

(SchoolofElectricalEngineering&Automation，TianjinUniversity,Tianjin300072,China)

To realize hybrid synchronization control of hyper chaotic system and chaotic system,training sample number is obtained by sampling master system, and the hybrid synchronous trajectory of the slave system is set up.By using a method based on least square support vector machine(LS-SVM),and introducing the kernel function,the optimization target can be obtained,and according to optimization target,hybrid synchronous trajectory is gotten,and the controller is designed.Taking the hyper chaotic Lorenz-Stenflo system as master system,and Chen chaotic system as slave system,numerical simulations based on Matlab is carried out and verify efficiency of the method.

chaotic system; least square support vector machine(LS-SVM); hybrid synchronization

10.13873/J.1000—9787(2017)11—0115—04

TP 391

A

1000—9787(2017)11—0115—04

2016—10—20

國家自然科學基金資助項目(61473202)

趙垚鑫(1992-)，女，碩士研究生，主要研究方向為數據驅動控制，混沌控制的研究。

張國山(1961-)，男，教授，博士生導師，從事非線性系統控制理論，智能控制與混沌控制及應用的研究工作。