極角為參數的雙曲線參數方程

張鵬宇

摘 要：圓錐曲線的參數方程是高中數學中的難點內容之一，只有真正理解了方程中的參數含義，才能有效掌握與靈活運用這一部分知識。雙曲線作為一種重要的圓錐曲線，其參數方程必須得到重視與理解。教材中雙曲線的參數方程以離心角作為參數，雖然參數方程形式簡單，但是離心角作圖復雜，不易直觀理解。為了體現參數方程中參數的直觀易懂性，選用極角作為參數構造了雙曲線的另外一種參數方程。對照兩種參數方程，對雙曲線參數方程的理解與掌握十分有益。

關鍵詞：雙曲線 參數方程 離心角 極角

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）09（c）-0235-02

在高中數學教材參數方程部分，雙曲線的參數方程為：，，其中是離心角，。這里選用離心角為參數，優點是參數方程形式簡單，選取自然，代入方程后恰為三角恒等式；缺點是離心角不太直觀。能否選用比較直觀的參數得到雙曲線的參數方程呢？

回憶圓的參數方程：圓的參數方程為，，參數是圓上點與圓心連線繞圓心相對于軸的正方向的旋轉角。結合教材中剛學過的極坐標知識，發現圓的參數方程中的參數恰為圓上點的極坐標中的極角。類似的，下面選取雙曲線上點的極角作為參數，構造出了雙曲線的另外一種參數方程。

1 平面極坐標系知識回顧

在平面上取一定點，稱為極點，由出發的一條射線OX，稱為極軸，極點與極軸便構成了極坐標系。

有了極坐標系后，平面上任一點的位置就可以用線段的長度以及從到OP的角度（規定角度取逆時針方向為正）來確定，有序數對就稱為點的極坐標，記為，稱為點的極徑，稱為點的極角。當限制，時，平面上除極點以外，其他每一點都有唯一的一個極坐標。極點的極徑為零，極角任意。

2 雙曲線的新的參數方程

定理：在直角坐標系中，設是雙曲線上一點。選原點為極點，軸為極軸建立極坐標系。設點的極坐標為。則以極角為參數時，雙曲線的參數方程如下：

雙曲線中左支曲線的參數方程為：

，

雙曲線中右支曲線的參數方程為：

，

證明：（1）先討論雙曲線右支曲線的參數方程。

①時，如圖1所示，過作軸垂線，垂足為，則在直角三角形中，，故，代入中并整理得，所以此時參數方程為，。

②時，如圖2所示，過作軸垂線，垂足為，則在直角三角形中，，，即，故，代入中并整理得，所以此時參數方程為，。極角范圍也可表示為，將（1）、（2）中結果合并，便得雙曲線中右支曲線的參數方程為，。

（2）再討論雙曲線左支曲線的參數方程。

①時，如圖3所示，過作軸垂線，垂足為，則在直角三角形中，，，即，故，代入中并整理得，所以此時參數方程為，。

②時，如圖4所示，過作從軸垂線，垂足為，則在直角三角形中，，即，故，代入中并整理得，所以此時參數方程為，。將①、②中結果合并，便得雙曲線中左支曲線的參數方程為，。

3 舉例與比較

例：已知雙曲線方程為： ，求證該雙曲線上的所有點與兩條漸近線的距離的積是一個定值。

證明：方法一：用教材中參數方程做。設為雙曲線上任意一點，兩條漸近線的方程為；，由點到直線的距離公式易得：M點到兩條漸近線的距離為；。則：

=

==，為定值。

方法二：用本文給出的參數方程做。設為雙曲線右支曲線上任意一點（在左支上時類似），兩條漸近線的方程為；，由點到直線的距離公式易得：點到兩條漸近線的距離為：

= =；

= =，則

= ==，為定值。

比較發現，本文給出的參數方程有兩個缺點：一是需要分情況，參數方程不是一個解析式；二是解析式中含有分式。與教材中給出的參數方程比，形式更復雜，從而在做題時比較繁瑣，因而選用教材中結果為好，這也體會到了教材中為什么給出以離心角為參數的參數方程，不給出用其他變量為參數的參數方程。當然，本文給出的參數方程能一眼看出參數的幾何意義，理解起來更直觀，對理解教材中曲線的參數方程部分的相關知識有幫助。

4 結語

通過選用極角作為參數給出了雙曲線的一種參數方程。該方程的優點是參數簡單直觀，容易理解；缺點是參數方程不是一個解析式，形式較復雜。教材中給出的參數方程，優點是參數方程是一個解析式，形式簡單；缺點是參數是離心角，作圖復雜，不易直觀理解。將這兩種參數方程對比學習，對理解與掌握雙曲線的參數方程部分的相關知識十分有益。

參考文獻

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