展開的魅力

■湖南省永州市第四中學 何小衛

展開的魅力

■湖南省永州市第四中學 何小衛

在高中物理的學習過程中,同學們在獲取知識的同時,還要加強對科學思維方法的訓練。展開的思維方法是物理學習中一種常見的方法,靈活運用這種思維方法來解題,有時會獲得意想不到的效果。

一、直線運動的展開

例1一位電腦愛好者設計了一個“貓捉老鼠”的動畫游戲。如圖1所示,在一個邊長為a的大立方體木箱的一個頂角G上,老鼠從貓的爪間逃出,選擇了一條沿著木箱棱邊的最短路線,奔向洞口,洞口處在木箱的另一頂角A處。若老鼠在奔跑中保持速度大小v不變,并不重復跑過任一條棱邊及不再回到G點,聰明的貓也選擇了一條最短的路線奔向洞口。設貓和老鼠同時從G點出發,則貓奔跑的速度為多大時,貓恰好在洞口再次捉住老鼠?

圖1

解析:將木箱的其中兩個面展開如圖2所示,則老鼠走過的最短路程s=3a(三條棱),貓走過的最短路程s0=貓與老鼠同時抵達洞口A,則解得貓的速度

圖2

點評:在求解本題時若將思維局限于貓沿木箱的棱邊奔跑就會出錯,而將木箱展開,我們就會發現原本很難思考的問題變得輕而易舉了。

二、螺旋曲線的展開

例2如圖3所示,一個圓柱體的直徑為D,其側面刻有螺距為h的螺旋形凹槽,槽內有一小球。當用外力拉繞在圓柱體側面的繩子時,小球將沿凹槽滑下。若小球能沿凹槽自由下落,則外力作用下繞在圓柱體側面的繩子的加速度為( )。

圖3

解析:取小球下滑一個螺距的過程為研究對象,將這段螺旋線展開為如圖4所示的直角三角形,其中兩直角邊分別為圓柱體的螺距h和圓柱體截面的周長πD,所以tanα=對小球有對繩子有答案為B。

點評:如果直接思考小球沿螺旋形凹槽下滑,將會無法下手,而采用展開法進行分析,就豁然開朗了。

圖4

三、平拋運動的展開

例3如圖5所示,沿水平方向向一堵墻擲出一個彈性小球,拋出點O到水平面的高度為h,到墻壁的水平距離為s,小球與墻壁的碰撞時間極短,且碰撞時小球的動能不改變,碰后小球落在距墻壁2s的水平地面上,求小球從擲出點到落地點運動的時間及落地時的速度大小。

圖5

解析:小球和墻壁相碰的時間極短且無動能損失,則小球反彈后的速度大小不變且與水平方向間的夾角也不變,因此可以利用運動的對稱性將小球的運動軌跡展開如圖6所示。小球的水平總位移為3s,運動時間t=設小球落地時的速度為vt,則由動能定理得

圖6

點評:因為碰撞中無能量損失,所以小球的反彈速度與原速度關于墻對稱,這樣就可以將小球的運動軌跡展開用全程的平拋運動來求解了。

四、斜拋運動的展開

例4如圖7所示,在水平面上有兩個豎直光滑墻壁A和B,其間距為d,一個小球以初速度v0從兩墻壁之間的O點斜向上拋出,小球與墻壁A和B各發生一次碰撞后正好落回拋出點O,求小球的拋射角θ(結果可以用三角函數表示)。

解析:將小球在兩墻壁之間的運動軌跡展開,如圖8所示,則該運動是一完整的斜拋運動。小球的水平位移x=v0tcosθ,豎直位移小球落地時有x=2d,y=0,又有v0sinθ=gt,解得

圖7

圖8

點評:利用展開的思想將小球的運動軌跡轉變成一完整的斜拋運動的軌跡后,可以采用斜拋的解題思路,也可以將斜拋運動轉化成對稱的兩個平拋運動問題來處理。

五、電場和磁場中運動的展開

例5回旋加速器是用于加速帶電粒子、使之獲得高能量的裝量,其核心部分有兩個D型金屬扁盒,兩盒間的窄縫寬度為d,兩盒分別與高頻交變電源的兩極相接,兩盒間的電勢差大小恒為U,因而兩盒間窄縫區域形成電場強度大小不變,方向呈周期性變化的勻強電場。兩盒處在勻強磁場中,磁感應強度為B,方向垂直于盒面。設帶電粒子的最大回旋半徑為Rmax,試求帶電粒子在回旋加速器窄縫區域內運動的時間。

解析:設粒子被加速后獲得的最大速率為vmax,粒子的電荷量為q,則由牛頓第二定律和圓周運動規律得粒子在回旋加速器的盒內、盒間交替運動,且粒子在盒內磁場中做勻速圓周運動,在盒間窄縫區域內電場中做勻加速直線運動。粒子在回旋加速器中運動的速率—時間圖像如圖9甲所示,其中 Δt1、Δt2、Δt3…為粒子在兩盒間各段勻加速直線運動的時間。將圖9甲中與Δt1、Δt2、Δt3…對應的運動“拆”出來,將速率—時間圖像進行“合”處理,即“展開”如圖9乙所示。通過優化組合可以等效模擬出一初速度為零、末速度為vmax的勻加速直線運動,該等效勻加速直線運動的時間與粒子在盒間窄縫區域內的運動時間相等。設該等效勻加速直線運動的時間為t,則解得

圖9

點評:本題要求解出粒子在盒間窄縫內不連貫運動時間的總和,因此需要先將粒子在盒間窄縫內的運動“展開”構建出一種有規律的、直觀的運動形式——勻加速直線運動,使所求問題得以簡化。

(責任編輯 張 巧)